張金剛，相里斌，汶德勝，王書振

(1.中國(guó)科學(xué)院 光電研究院，北京 100194；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院 西安光學(xué)精密機(jī)械研究所,陜西 西安 710119；4. 西安電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 710071)

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，光學(xué)成像技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于天文觀測(cè)、遙感、測(cè)繪和軍事偵察等諸多領(lǐng)域，它正逐漸成為人們獲取各種空間信息、發(fā)現(xiàn)和識(shí)別目標(biāo)的重要依據(jù)。而近些年新興的計(jì)算光學(xué)成像技術(shù)是利用光學(xué)技術(shù)和信號(hào)數(shù)字處理技術(shù)來(lái)獲得更高性能的光學(xué)成像的新學(xué)科，是公認(rèn)的新一代光學(xué)成像技術(shù)。而在光學(xué)成像的過(guò)程中難免會(huì)產(chǎn)生各種干擾，產(chǎn)生圖像像差，色差校正是像差數(shù)字校正中最復(fù)雜的環(huán)節(jié)之一。

像差校正方法分為基于物理模型算法和盲復(fù)原算法兩類，基于物理模型的算法主要有基于維納濾波的方法，基于逆濾波的方法，基于happy-laplacian[1]先驗(yàn)信息的方法等。這些方法所采用的圖像退化核函數(shù)是已知的，可以較好地校正色差，復(fù)原出清晰圖像。在使用此方法時(shí)，所建退化圖像物理模型的精確度會(huì)影響修正效果，如果建立的物理模型存在較大誤差，修正后圖像可能產(chǎn)生人工振鈴噪聲，不能很好地恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，圖像退化是個(gè)極復(fù)雜的過(guò)程，很難精確的用數(shù)學(xué)模型描述，因此傳統(tǒng)的物理模型算法適用范圍受到限制。相比而言，圖像盲復(fù)原算法可以在圖像退化核函數(shù)未知的情況下，利用退化圖像來(lái)估計(jì)退化核函數(shù)，進(jìn)行像差修正，因此這類算法具有更強(qiáng)實(shí)用性。但由于盲復(fù)原算法缺乏先驗(yàn)知識(shí)，存在計(jì)算復(fù)雜度高且退化核函數(shù)估計(jì)誤差較大等缺點(diǎn)，影響像差校正效果。隨著對(duì)大量圖像的觀察并統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性[2]，各種先驗(yàn)知識(shí)被不斷發(fā)掘，并用于圖像退化核函數(shù)估計(jì)中[3]。

傳統(tǒng)的盲復(fù)原算法的先驗(yàn)知識(shí)是通過(guò)建立最大后驗(yàn)概率模型，統(tǒng)計(jì)并分析清晰圖像的概率分布曲線得到的，概率分布曲線的擬合參數(shù)一般由人為設(shè)定[4]，并沒(méi)有有效利用清晰圖像的統(tǒng)計(jì)特性，算法魯棒性較差，不能很好恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)。

本文首先從大量自然圖像中分析了3個(gè)通道的關(guān)聯(lián)性，總結(jié)出“同一物體的邊緣在RGB三個(gè)通道中應(yīng)該處于同一位置”的色差先驗(yàn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試和論證，提出了基于該色差先驗(yàn)的解卷積算法。該算法能夠有效提升存在大色差圖像的成像質(zhì)量，相比傳統(tǒng)方法，本文提出的色差數(shù)字校正技術(shù)能夠很好地處理色差帶來(lái)的圖像質(zhì)量下降問(wèn)題。

2 光學(xué)系統(tǒng)成像過(guò)程

光學(xué)系統(tǒng)成像過(guò)程實(shí)質(zhì)上是個(gè)降質(zhì)過(guò)程,通過(guò)該過(guò)程中的一系列先驗(yàn)知識(shí)來(lái)建立降質(zhì)模型，然后針對(duì)降質(zhì)模型的退化過(guò)程，使用一些常用或新穎的技術(shù)手段來(lái)重建和恢復(fù)圖像，如最基本的圖像插值算法，超分辨算法，解卷積算法等。圖像解卷積是圖像處理領(lǐng)域的一類典型問(wèn)題，其模型假設(shè)為，獲得的圖像是真實(shí)場(chǎng)景與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積受噪聲污染后的結(jié)果。其成像原理可用圖1表示。

圖1 光學(xué)系統(tǒng)成像原理示意圖 Fig.1 Schematic diagram of optical system imaging principle

假設(shè)b代表用透鏡得到的物理像，u為真實(shí)圖像，k為像差引起的像質(zhì)退化參數(shù)，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n為系統(tǒng)噪聲，*為卷積運(yùn)算符。則成像模型以矩陣向量形式可以表示為：

B=u*k+n,

(1)

上述問(wèn)題是一個(gè)欠定問(wèn)題，降質(zhì)過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)迥異，從而會(huì)有無(wú)窮多解。數(shù)字校正建模即構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，使得從上述無(wú)窮多解中選出最有可能的一個(gè)。數(shù)字校正建模一般具有如下形式：

?k-b‖2+g(u) ,

(2)

其中，‖u?k-b‖2為數(shù)據(jù)適定項(xiàng)，g(u)為正則化項(xiàng)。

在不同的噪聲情況下，數(shù)據(jù)適定項(xiàng)‖u?k-b‖2有可能用其他的約束來(lái)代替，比如‖u?k-b‖1，但多數(shù)情況下為‖u?k-b‖2，如文獻(xiàn)[6-7]。因?yàn)樗硎镜脑肼暻樾螢楦咚狗植肌?/p>

近年，國(guó)內(nèi)外對(duì)解卷積圖像恢復(fù)算法的研究成果中，根據(jù)不同的先驗(yàn)條件，采用的正則化項(xiàng)的表示形式多種多樣，甚至為了權(quán)衡各正則化項(xiàng)的優(yōu)缺點(diǎn)，會(huì)選取若干種約束的組合作為約束條件。其中比較常見(jiàn)的約束為:

在正則化項(xiàng)的選擇和確定過(guò)程中，需要充分分析成像過(guò)程的物理機(jī)制以及成像系統(tǒng)的性能參數(shù)，以形成有效的先驗(yàn)信息，包括圖像的平滑性，噪聲的統(tǒng)計(jì)模型，圖像紋理保持，圖像熵約束等，使病態(tài)的重建問(wèn)題盡可能的良態(tài)化。

色差又稱為色散現(xiàn)象，可分為“縱向色差”和“橫向色差”?？v向色差，即不同顏色光線的波長(zhǎng)不同，焦距也不同。橫向色差，理論上色散可以出現(xiàn)在影像中央也可能出現(xiàn)在邊緣，不過(guò)由于邊緣的光程較長(zhǎng)，因此色散也就特別明顯。由于短波長(zhǎng)的折射率較高，因此紫色對(duì)色差特別敏感。由色差而形成的紫邊，通常可以在畫面邊緣看到，而由于紫色折射得較多，所以紫邊一般都是由內(nèi)向外擴(kuò)散。

為了消除色差，需要找到關(guān)于色差的先驗(yàn)知識(shí)[13-14]。在分析色差形成原理的基礎(chǔ)上，首先分析了大量自然圖像，比對(duì)了具有色差和不具有色差情況下圖像的差異。通過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，圖像的平滑區(qū)域在有無(wú)色差的情況下區(qū)別不明顯，僅僅是灰度值大小不同；而在圖像的邊緣區(qū)域則既存在關(guān)聯(lián)，又有差異。

在本文中，根據(jù)這一結(jié)論，結(jié)合數(shù)字圖像處理技術(shù)，以色差先驗(yàn)知識(shí)為依據(jù)，提出了基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法。

3 基于色差先驗(yàn)的像差校正模型

以圖2所示的房屋為例，左上圖為沒(méi)有色差的圖片，左下圖為存在色差的圖片。可以看出，由于色差的存在導(dǎo)致房屋邊緣的地方出現(xiàn)“紫邊”。

圖2 色差先驗(yàn)示意圖 Fig.2 Schematic diagram of chromatic aberration prior

截取兩圖同一水平位置的剖線，RGB三個(gè)通道的灰度值曲線分別用紅、綠、藍(lán)顯示在右側(cè)相應(yīng)位置。受色差影響，圖像在3個(gè)通道的模糊程度不同，這里紅色通道相對(duì)清晰，邊緣較為銳利，而綠色通道邊緣較為平滑，藍(lán)色通道平滑程度更大，因此造成圖像在視覺(jué)上表現(xiàn)出偏紫色的邊緣瑕疵。如果不存在色差，同一物體的邊緣在RGB三個(gè)通道的強(qiáng)度略有不同，但邊緣則應(yīng)該處于同一位置。這一現(xiàn)象廣泛存在于自然圖像之中，因此可視為清晰圖像的一種先驗(yàn)知識(shí)，作為正則化約束加入到解卷積優(yōu)化算法之中，對(duì)色差進(jìn)行數(shù)字校正。

本文將這一圖像先驗(yàn)知識(shí)稱為色差先驗(yàn)，具體含義是同一物體的邊緣在RGB通道應(yīng)處于同一位置，數(shù)學(xué)上可近似表示為

(3)

(4)

式中，ki表示i通道的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),i的取值范圍為R、G、B通道，ui表示該通道待求解的清晰圖像，*表示卷積，gi是該通道的拍攝圖像，‖·‖1表示l1范數(shù)，‖·‖2表示l2范數(shù)，是對(duì)圖像邊緣等特征稀疏性的表達(dá)，α和β分別表示全變分項(xiàng)和色差先驗(yàn)項(xiàng)的權(quán)值。

4 基于ADMM的模型求解

模型(4)可以利用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[16-17]求解。ADMM算法通過(guò)分解協(xié)調(diào)過(guò)程，將大的全局問(wèn)題分解為多個(gè)較小、較容易求解的局部子問(wèn)題，并通過(guò)協(xié)調(diào)子問(wèn)題的解而得到全局問(wèn)題的解，適用于大規(guī)模問(wèn)題的快速求解。相比傳統(tǒng)的優(yōu)化方法(如共軛梯度法，Primal-Dual法等)，ADMM具有容易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算速度快等特點(diǎn)，因此本文選擇ADMM方法進(jìn)行求解。針對(duì)模型(4)，需要把該模型分解為R、G、B三個(gè)通道單獨(dú)求解。

(5)

(6)

(7)

本文以求解uR為例，uG和uB的解法類似。

(8)

其中，uR∈Rn為第t代的目標(biāo)圖像的R通道分量，z∈Rn*3表示第t代的目標(biāo)圖像變量在水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向上的導(dǎo)數(shù)圖像。

(9)

故，

(10)

則z的迭代式為：

(11)

該式也可以表示為：

(12)

其中max、sgn分別為最大值和符號(hào)函數(shù)，“°”符號(hào)表示向量對(duì)應(yīng)元素相乘。

(13)

其中，KR為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)R通道分量對(duì)應(yīng)的toeplitz矩陣[18]。

(14)

式中，I和I-1分別為正向和逆向傅里葉變換，°表示向量或矩陣對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘。

拉格朗日乘子ζ的迭代過(guò)程為：

(15)

迭代終止條件可以設(shè)置成固定迭代次數(shù)或者迭代直到目標(biāo)圖像收斂為止。

(16)

5 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為了測(cè)試基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法的校正效果，本文將對(duì)同一幅模糊圖片分別使用基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法、BM3D算法[19]和YUV算法[20]求解，對(duì)比解卷積得到的圖像和峰值信噪比。

首先，使用模糊核卷積清晰圖像來(lái)仿真具有色差的模糊圖像。以圖3中的模糊核分別卷積圖4中的真值圖像得到圖5中的模糊圖像。

圖3 模糊核 Fig.3 Blur kernel

圖4 清晰圖片 Fig.4 Sharp image

圖5 仿真得到的模糊圖片 Fig.5 Blurred image

圖6 采用本文算法獲得的校正圖像 Fig.6 Deblurred image by our proposed algorithm

圖7 采用BM3D算法獲得的校正圖像 Fig.7 Deblurred image by BM3D algorithm

圖8 采用YUV算法獲得的校正圖像 Fig.8 Deblurred image by YUV algorithm

對(duì)仿真得到的模糊圖像分別使用基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法、BM3D算法和YUV算法解卷積，恢復(fù)的清晰圖像分別見(jiàn)圖6、圖7和圖8。對(duì)3種算法復(fù)原圖像分別計(jì)算峰值信噪比以衡量算法的優(yōu)劣，其中基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法解卷積圖像的峰值信噪比為35.809 dB，BM3D算法解卷積圖像的峰值信噪比為27.227 dB，YUV算法解卷積圖像的峰值信噪比為31.842 dB。無(wú)論是直觀的圖像恢復(fù)效果還是由計(jì)算得出的峰值信噪比，本文提出的基于色差先驗(yàn)的圖像解卷積算法都優(yōu)于另外兩種算法。

6 結(jié) 論

本文首先介紹了光學(xué)系統(tǒng)成像模型及像差校正原理，針對(duì)數(shù)字校正像差的問(wèn)題，給出了“同一物體的邊緣在3個(gè)顏色通道應(yīng)處于相同位置”的色差先驗(yàn)限制，將該先驗(yàn)知識(shí)以正則化項(xiàng)的形式反映在優(yōu)化算法之中，據(jù)此提出了基于色差先驗(yàn)的像差校正模型，并給出了基于ADMM的求解算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文的像差校正技術(shù)可將圖像的峰值信噪比提升10 dB以上，明顯優(yōu)于目前主流的BM3D和YUV算法，并且視覺(jué)提升效果明顯，基本滿足普通光學(xué)系統(tǒng)對(duì)像差的校正要求。