張永棠

(1.廣東東軟學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，廣東 佛山，528225； 2.廣東省大數(shù)據(jù)分析與處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州，510006； 3.南昌工程學(xué)院 江西省協(xié)同感知與先進(jìn)計(jì)算技術(shù)研究所，江西 南昌，330003)

渦旋光束因其特殊的螺旋形相位和自身攜帶的軌道角動(dòng)量(OAM)由Vig JR等人[1]提出后就引起了學(xué)術(shù)界的廣泛討論[2-3]。尤其是OAM可以改善光通信容量[4]，吸引了眾多學(xué)者對渦旋光束在大氣中的傳播特性進(jìn)行研究[5-6]。然而在一些應(yīng)用環(huán)境中，渦旋光束需要經(jīng)過空氣密度高頻變化的氣動(dòng)區(qū)域，其傳輸特性在現(xiàn)有文獻(xiàn)中提及較少，因此對渦旋光束氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的研究是渦旋光束在光通訊領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用的進(jìn)一步拓展。

目前在氣動(dòng)光學(xué)的研究中，例如Garciar等人[7]采用沿著光束行進(jìn)路徑積分計(jì)算OPD的方式，對經(jīng)過具有平型窗口凸臺(tái)周圍流場的光束的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)進(jìn)行了探究；Katos等人[8]通過搭建經(jīng)過超音速流場的實(shí)驗(yàn)光路并以O(shè)PD為計(jì)算結(jié)果，研究了超音速流場中邊界層處的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)；楊海馬等人[9]對光束經(jīng)過超音速湍流邊界層后光畸變的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了探討；Song X等人[10]研究了剪切層與孔徑對氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的影響，以上對于氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的研究，除了被研究光源均為高斯光束以外，光場計(jì)算的方法也均為基于費(fèi)馬原理的光線追跡法。

由于其他含有OAM的光束在通信時(shí)理論上可以看作是具有不同徑向指數(shù)和相同OAM的LG光束的線性疊加[11]，并且LG光束是渦旋光束中最為基本的一種渦旋光，因此文中將研究具有3種不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束，分別以攻角、海拔、速度作為流場唯一變化條件時(shí)，經(jīng)過小尺度流場后的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)。構(gòu)建了流場的氣動(dòng)模型和光場的傳輸模型，采用的是基于亥姆霍茲方程的數(shù)值仿真算法，光場的傳輸計(jì)算方法則有別于傳統(tǒng)的光線追跡理論。在該小尺度流場模型上，對LG光束和高斯光束在不同流場環(huán)境下經(jīng)過遠(yuǎn)場衍射后的SR和成像偏移進(jìn)行研究，得出LG光束在小尺度流場內(nèi)所表現(xiàn)出的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)規(guī)律性的結(jié)論以及與高斯光束有別的特性。

1 理論分析

1.1 氣動(dòng)模型

為了便于研究，文中構(gòu)建了如圖1所示的啟動(dòng)模型，LG光束所經(jīng)過的流場為一個(gè)由微小凸起(以下簡稱凸起)造成的流場。凸起為一圓柱體加上半球體構(gòu)成，置于平面中心，即凸起底面圓心位置為(0,0)。截取凸起正上方2×2×1.73 mm3的流場作為光束要經(jīng)過的小尺度流場。在LG光束傳播1.73mm后，可認(rèn)為光束進(jìn)入到折射率均勻的大氣之中，一般而言，2mm左右的傳播距離已經(jīng)能夠使得光束表現(xiàn)出氣動(dòng)光學(xué)應(yīng)。選用小尺度流場則是因?yàn)樾〕叨葧r(shí)流場的雷諾數(shù)較小，湍流激烈程度也較小，在流場仿真中更易形成穩(wěn)定可收斂的流場。

采用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)仿真時(shí)，設(shè)置飛行速度為0.6Ma至4.6Ma，飛行高度為6km至10km，攻角為0°至20°，流場仿真方法選用大渦模擬。此處的攻角定義為來流與凸起橫軸之間的夾角，光束沿著凸起的縱軸垂直出射，觀察方向沿著光束出射方向的反方向。

圖1 流場尺寸示意圖Fig.1 Flow field parameters

1.2 傳輸模型

在非均勻介質(zhì)中，麥克斯韋方程可以簡化為如下的亥姆霍茲方程：

2Ur+k2n2rUr=0

(1)

將光場復(fù)振幅Ur展開為拋物型表達(dá)式Ur=Ax,y,zeikz代入(1)式中，在滿足旁軸近似?zzA?k?zA時(shí)，(1)式可以演變?yōu)檎穹鵄對傳播方向z的隱式微分方程[12]：

(2)

(3)

光束出氣動(dòng)區(qū)域后，使用離散化的夫瑯禾費(fèi)衍射積分公式對遠(yuǎn)場光振幅進(jìn)行計(jì)算[13]：

(4)

式中z0為衍射距離，2a、2b分別為y、x兩方向的衍射面長度。Δx1=Δy1=0.01，Δz=0.001。

光束穿過小尺度流場后，其遠(yuǎn)場成像質(zhì)量采用SR和成像位移兩種參數(shù)分別從相位穩(wěn)定性和相對于光信號(hào)接收器件而言的振幅穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行評價(jià)。SR通常采用的計(jì)算公式為[14-15]

SR=exp-k×Δrms2

(5)

其中Δrms為OPD的均方差。成像位移的計(jì)算公式為

(6)

其中，高斯光束在初始面處的振幅分布如下：

(7)

(8)

以上對光場的傳輸計(jì)算和對評價(jià)參數(shù)的計(jì)算，采用的軟件均為Mathematica。

2 振幅和相位穩(wěn)定性

為了更好的分析光束的振幅和相位穩(wěn)定性，并且有較直觀的仿真視覺圖像，參照了文獻(xiàn)[7,10,13]中的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，本研究采取攻角取值為[0°,5°,10°,15°,20°]，海拔取值為[6km,7km,8km,9km,10km]，速度取值為[0.6Ma,1.6Ma,2.6Ma,3.6Ma,4.6Ma]的條件進(jìn)行仿真。采用徑向指數(shù)p=0，拓?fù)浜蓴?shù)l=1,2,3的LG光束(為方便描述，分別簡記為L1、L2、L3)以及高斯光束作為仿真對象，分別探究攻角、海拔、馬赫數(shù)的變化對LG光束光強(qiáng)和OPD的影響。

圖2展示了上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的初始光強(qiáng)分布和相位分布圖像。其中圖2(a)-(d)為光強(qiáng)分布、圖2(e)-(h)相位分布。

從圖2可以看出，不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束以及高斯光束經(jīng)過氣動(dòng)區(qū)域后，不同大小的光斑會(huì)攜帶不同位置的OPD數(shù)值，這些OPD數(shù)值會(huì)體現(xiàn)在實(shí)部和虛部的變化當(dāng)中，變化了的實(shí)部虛部會(huì)在遠(yuǎn)場衍射中進(jìn)一步影響光強(qiáng)的分布，使其充分地顯示出氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)。因此在計(jì)算光束的SR和成像偏移，可以研究光束的相位穩(wěn)定性和振幅穩(wěn)定性。

2.1 光束的相位穩(wěn)定性

由(5)式可知，SR與光束的OPD均方差呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，因此，本研究采用SR來描述光束的相位穩(wěn)定性。圖3是高斯光束和L1、L2、L3光束的SR值隨攻角變化的曲線圖。

圖3 SR隨攻角變化曲線圖Fig.3 SR at different angles of attack

由圖3可知，隨著攻角的增大，各光束的SR均逐漸下降。對于LG光束而言，在同一攻角下，隨著拓?fù)浜蓴?shù)的增加，SR也在增加，可見當(dāng)攻角作為流場唯一變化條件時(shí)，拓?fù)浜蓴?shù)越大，光束的相位穩(wěn)定性越好，并且LG光束的SR總是大于高斯光束的SR，故LG光束的相位穩(wěn)定性高于高斯光束。此外，隨著攻角的增大，不同光束間的SR差值在縮小，可見在大攻角的情況下，拓?fù)浜蓴?shù)對相位穩(wěn)定性的影響不大，而在小攻角處，拓?fù)浜蓴?shù)大的LG光束具有明顯的相位穩(wěn)定優(yōu)勢。

圖4展示了在0°攻角、2.6Ma的飛行速度下，高斯光束和L1、L2、L3光束SR值隨海拔增加的變化曲線。

圖4 SR隨海拔變化曲線圖Fig.4 SR at different altitudes

由圖4可知，隨著海拔的增大，各光束的SR值均在逐漸增大，各光束間SR的差值也在擴(kuò)大，且LG光束的SR值依舊高于高斯光束。對于LG光束而言，在同一海拔下，隨著拓?fù)浜蓴?shù)的增加，SR也在增加。所以在海拔作為流場唯一變化條件時(shí)，拓?fù)浜蓴?shù)越大，LG光束的相位穩(wěn)定性越好，且相互之間的差距隨著海拔的增大而擴(kuò)大。

圖5展示了在0°攻角，10km飛行高度下，高斯光束和L1、L2、L3光束的SR值隨馬赫數(shù)的變化曲線。

圖5 SR隨馬赫數(shù)變化曲線圖Fig.5 SR at different Mach Numbers

由圖5可知，在馬赫數(shù)由亞音速增加到超音速之時(shí)[15]，各光束的SR值都有一個(gè)大的跌落，但是對于L2和L3兩束LG光束而言，當(dāng)馬赫數(shù)繼續(xù)增加時(shí)，其SR值幾乎維持不變，而L1光束與之相比，則依舊呈現(xiàn)出下降的趨勢?？梢姰?dāng)馬赫數(shù)作為流場唯一變化條件時(shí)，LG光束的拓?fù)浜蓴?shù)越大，光束相位穩(wěn)定性越好，且相互之間差距較大。當(dāng)馬赫數(shù)大于2Ma時(shí)，馬赫數(shù)對拓?fù)浜蓴?shù)大于1的LG光束相位穩(wěn)定性的影響不大。

圖5中顯示，高斯光束于3.6Ma處的SR值較其在2.6Ma時(shí)的SR值略大，約在2×10-22，而于4.6Ma又有所下降。該現(xiàn)象的可能原因是3.6Ma下的仿真流場，在光束路徑所經(jīng)過的流場部分，較大的空氣密度浮動(dòng)與2.6Ma相比處在所計(jì)算的截面較為外側(cè)的區(qū)域，而相同束腰下高斯光束的光斑最小，所以于3.6Ma處高斯光束的SR又略有上升。

就相位穩(wěn)定性而言，LG光束的拓?fù)浜蓴?shù)越大，相位穩(wěn)定性越好，且均優(yōu)于高斯光束。其中拓?fù)浜蓴?shù)大于1的LG光束在經(jīng)過高馬赫數(shù)飛行產(chǎn)生的流場后其相位穩(wěn)定的優(yōu)勢非常明顯。當(dāng)且僅當(dāng)攻角作為流場唯一變化條件時(shí)，隨著攻角的增加，LG光束間的相位穩(wěn)定性差距在減小。

2.2 光束的振幅穩(wěn)定性

圖6 成像偏移隨著攻角的變化Fig.6 Imaging displacements at different angles of attack

圖7 成像偏移隨著海拔的變化Fig.7 Imaging displacements at different altitudes

當(dāng)海拔、馬赫數(shù)、攻角分別作為流場唯一變量時(shí)，采用成像偏移(以下簡稱偏移)來查看氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)對光束質(zhì)心位置產(chǎn)生的影響。高斯光束以及L1、L2、L3三種LG光束在10km、2.6Ma飛行速度下偏移量隨攻角增大而變化的曲線圖如圖6所示。

由圖6可以看出，隨著攻角的增加，偏移也在逐漸增大。對于高斯光束和L1、L2兩束LG光束而言，在攻角小于15°的時(shí)候，偏移變化幅度很小，而當(dāng)攻角大于15°后，這三束光的偏移量均大大增加，可見對于這三束光，在一定的攻角范圍內(nèi)，均能較好的保持成像位置。并且發(fā)現(xiàn)L1光束的偏移量一直保持在高斯光束之下，可見其比高斯光束有著更好的振幅穩(wěn)定性。而對于L3光束而言，隨著攻角的增加，其偏移大幅增加。因此，對LG光束而言，拓?fù)浜蓴?shù)越大，其成像偏移越大，當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)大于2時(shí)，振幅穩(wěn)定性極差。在攻角為0°至15°的范圍內(nèi)時(shí)，對高斯光束和拓?fù)浜蓴?shù)小于3的LG光束而言，攻角變化對其偏移的影響并不明顯。

高斯光束以及L1、L2、L3三種LG光束在0°攻角、2.6Ma飛行速度下偏移量隨海拔增加而變化的曲線圖如圖7所示。

由圖7可以看到，隨著海拔的增加各光束的偏移量均呈現(xiàn)下降的趨勢。L1、L2光束偏移量均明顯小于L3，且三者之差越來越小。可見海拔越高，光束的振幅穩(wěn)定性越好，雖然各光束之間的振幅穩(wěn)定性差距隨著海拔的增加而減小，但相互之間的差距仍然很大。

圖8展示了高斯光束以及L1、L2、L3三種LG光束在0°攻角、10km飛行高度下隨馬赫數(shù)的增大，偏移量的變化曲線。

圖8 成像偏移與馬赫數(shù)的關(guān)系Fig.8 Imaging displacement at different Mach numbers

由圖8可知，隨著馬赫數(shù)的增加，成像偏移量有增加有減少。與之前的規(guī)律相似，高斯光束和L1、L2兩束LG光束的偏移量均明顯小于L3光束，其中L1光束又小于高斯光束，并且在0.6Ma、1.6Ma處，L2的偏移量也小于高斯光束。對于高斯光束和L1、L2兩束LG光束而言，在馬赫數(shù)由亞音速升至超音速的過程中，偏移量有個(gè)極大的增加。而在速度由1.6升至4.6Ma的過程中，偏移量經(jīng)歷了下降、上升、下降的過程。對于L3光束而言，當(dāng)速度從0.6Ma升至3.6Ma時(shí)，其偏移量一直在增加，只是增加的幅度不一樣，但在4.6Ma處，偏移量有所下降。該現(xiàn)象的可能原因是當(dāng)馬赫數(shù)較大時(shí)，激波進(jìn)一步靠近頭部，雷諾數(shù)也在增加，因此邊界層變薄[2]，故圖像偏移量下降。所以在其它飛行條件不變時(shí)，各光束的振幅穩(wěn)定性在馬赫數(shù)大于音速后都有極大的降低，而當(dāng)馬赫數(shù)繼續(xù)增加時(shí)，振幅穩(wěn)定性則產(chǎn)生波動(dòng)，沒有穩(wěn)定的走向。

就振幅穩(wěn)定性而言，拓?fù)浜蓴?shù)越大，振幅穩(wěn)定性越差，其中L3光束的振幅穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于L1、L2光束，且僅有L1光束，其振幅穩(wěn)定性總是優(yōu)于高斯光束。在攻角為0°到15°時(shí)，攻角的變化對拓?fù)浜蓴?shù)小于3的LG光束的振幅穩(wěn)定性沒有明顯影響。

3 結(jié)論

采用大渦模擬對小尺度流場進(jìn)行了仿真，得到了流場區(qū)域內(nèi)的空氣密度數(shù)據(jù)，再由旁軸近似的數(shù)值算法，仿真計(jì)算了不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束在經(jīng)過小尺度流場后，又經(jīng)過2m遠(yuǎn)場衍射后的OPD和光強(qiáng)分布，并以SR和成像偏移對遠(yuǎn)場光束質(zhì)量進(jìn)行了評價(jià)。在對不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束遠(yuǎn)場成像質(zhì)量的比較中發(fā)現(xiàn)，LG光束的拓?fù)浜蓴?shù)越大，其穿過小尺度氣動(dòng)區(qū)域后的相位穩(wěn)定性就越好，且總是優(yōu)于高斯光束；在高馬赫數(shù)時(shí)，拓?fù)浜蓴?shù)大的LG光束相位穩(wěn)定的優(yōu)勢相當(dāng)明顯；當(dāng)且僅當(dāng)攻角作為小尺度流場唯一變化條件增大時(shí)，不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束其相位穩(wěn)定性的差距是在減小的。而拓?fù)浜蓴?shù)與振幅穩(wěn)定性則呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的關(guān)系，尤其是拓?fù)浜蓴?shù)大于2的LG光束，其振幅穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于L1、L2光束，此時(shí)有且只有L1光束的振幅穩(wěn)定性優(yōu)于高斯光束，即L1光束無論在振幅穩(wěn)定性還是相位穩(wěn)定性方面，其在小尺度流場內(nèi)的表現(xiàn)都優(yōu)于高斯光束；當(dāng)攻角在0°到15°之間變化時(shí)，拓?fù)浜蓴?shù)小于3的LG光束振幅穩(wěn)定性幾乎不受影響。通過對不同拓?fù)浜蓴?shù)的LG光束與高斯光束經(jīng)過小尺度流場后的遠(yuǎn)場成像質(zhì)量的比較，對渦旋光束在氣動(dòng)環(huán)境下的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)探究提供了方法上的借鑒。