陳士云，范元勛，雷建杰

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

行星滾柱絲杠與滾珠絲杠類似，是一種將螺旋運動轉化為直線運動的裝置，其主要由絲桿、滾柱以及螺母三部分組成，并巧妙的將行星運動與螺旋運動結合在一起。行星滾柱絲杠具有承載能力強、剛度大、效率高、磨損小以及壽命長等優(yōu)點，目前，主要應用在航空航天、精密機床、工業(yè)機器人、醫(yī)療器械以及精密光學儀器等高速重載或精密傳動領域[1]。

行星滾柱絲杠嚙合接觸狀態(tài)(既嚙合間隙量或干涉量)對其傳動性能有著很大的影響。行星滾柱絲杠在傳動間隙較大時會導致伺服系統(tǒng)難以實現(xiàn)精確的位置控制[2]；同樣，過多干涉會導致行星滾柱絲杠預緊力過高，摩擦磨損加劇，壽命降低[3]。行星滾柱絲杠的嚙合接觸狀態(tài)成為影響行星滾柱絲杠傳動性能的關鍵因素之一。

在行星滾柱絲杠嚙合接觸特性分析研究方面，趙英等將行星滾柱絲杠嚙合接觸區(qū)離散成多個平面，在離散的平面內分析行星滾柱絲杠嚙合接觸狀態(tài)[4]。Velinsky S A 等基于空間螺旋曲線的Frenet坐標系對行星滾柱絲杠嚙合點的位置進行了計算[5]。徐強等對PWG型行星滾柱絲杠嚙合接觸干涉進行了分析，提出了通過調整滾柱與絲桿嚙合中心矩的方法以消除嚙合干涉現(xiàn)象[6]。付曉軍等通過建立滾柱、絲桿以及螺母螺旋曲面方程，推導出行星滾柱絲杠嚙合方程，但并沒有考慮嚙合干涉問題[7]。

行星滾柱絲杠具有空間螺旋行星傳動的基本屬性，其嚙合點的分布具有空間特點，需要建立空間模型才能對其嚙合接觸狀態(tài)進行定量分析。本文基于行星滾柱絲杠的特點，建立行星滾柱絲杠螺旋曲面方程。由于空間螺旋曲面嚙合問題的求解十分復雜，為簡化計算，對行星滾柱絲杠嚙合接觸區(qū)域進行了分析，并將嚙合區(qū)螺旋曲面離散成有限個數(shù)的點，進而對其嚙合接觸狀態(tài)進行快速求解。在SolidWorks中對行星滾柱絲杠建模并虛擬裝配，對其干涉量進行分析，分析結果與本文提出的計算方法所得結果一致，驗證了方法的正確性。在嚙合分析計算的基礎上，提出了通過調整絲桿螺紋幾何中徑的方法以消除行星滾柱絲杠在實際裝配過程中的干涉問題，理論分析計算結果與實際加工裝配情況一致，驗證了方法和分析結果的有效性。

1 螺旋曲面方程

1.1 坐標系的建立

根據(jù)行星滾柱絲杠的結構特點，建立如圖1所示的空間坐標系。主要有固定坐標系(Oxyz)、滾柱坐標系(ORxRyRzR)、滾柱截面坐標系(Orxryrzr)、絲桿截面坐標系(Osxsyszs)、螺母截面坐標系(Onxnynzn)。圖中，rs、rr、rn分別表示滾柱、絲桿和螺母螺旋面幾何半徑(即螺紋中徑)，a為嚙合中心距，即滾柱軸線與絲桿軸線之間的距離。

圖1 嚙合接觸分析坐標系

1.2曲面方程

行星滾柱絲杠牙型輪廓如圖2a、圖2b、以及圖2c所示，圖中P0表示螺距，Rr為滾柱型面圓弧半徑，β為型面牙型半角。

圖2 絲桿、螺母及滾柱牙型輪廓

考慮到對稱性，僅對行星滾柱絲杠滾柱、絲桿以及螺母一側螺旋曲面建立參數(shù)方程。

滾柱左側母線上一點M在滾柱坐標系中的參數(shù)方程為：

(1)

式中，ur為角參變量，xrM、yrM、zrM為M點在滾柱坐標系中坐標。

該母線繞滾柱軸線做螺旋運動所形成的螺旋曲面參數(shù)方程為[8]：

(2)

式中，θr為滾柱母線繞滾柱軸線zr的轉角，Pr為滾柱導程，一般有Pr=P0。

同理，絲桿右側母線繞絲桿軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(3)

式中，θs為絲桿右側母線繞絲桿軸線z的轉角，Ps為絲桿導程，有Ps=nsP0，ns為絲桿頭數(shù)，us為參變量。

螺母右側母線繞螺母軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(4)

式中，θn為螺母右側母線繞絲桿軸線z的轉角，Pn為螺母導程，有Pn=nnP0，nn為螺母頭數(shù)，un為參變量。

螺母螺旋面與絲桿螺旋面坐標系與固定坐標系重合，滾柱坐標系與固定坐標系滿足下式:

(5)

根據(jù)矩陣運算法則，式中需假設一個新的參數(shù)t=tR=1[8]，a嚙合中心距距離。

2 嚙合狀態(tài)計算

嚙合狀態(tài)計算的目的是：通過改變行星滾柱絲杠絲桿、滾柱、螺母螺紋的相關參數(shù)，理論上精確控制行星滾柱絲杠的嚙合干涉量或嚙合間隙量。

由于用解析法計算一對空間螺旋曲面的嚙合問題十分復雜，文獻[4]將螺旋曲面離散成有限個相互平行的平面內的曲線，然后對曲線接觸情況進行分析，但該方法對復雜螺旋曲面的求解依然有一定的難度。本文對文獻[4]方法進行改進，將螺旋曲面離散成有限個數(shù)的點，求解相應點的軸向距離，從而對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)進行精確求解。以滾柱與絲桿嚙合狀態(tài)仿真計算為例，具體步驟如下：

(1)將滾柱、絲桿螺旋曲面離散成有限個點。為減小計算量，僅對滾柱、絲桿螺旋曲面可能出現(xiàn)嚙合接觸的區(qū)域(如圖3陰影部分)離散成有限個點。得到行星滾柱絲杠端面(XOY平面)內滾柱、絲桿嚙合接觸區(qū)離散點坐標PRSi(xRSi,yRSi)。

圖3 嚙合接觸區(qū)域示意圖

(2)求解PRSi點處滾柱與絲桿螺旋曲面上點軸向坐標值。將式：

(6)

代入滾柱螺旋曲面方程(2)可以求解出PRSi點處滾柱螺旋曲面坐標PRi(xRSi,yRSi,zRi)。同理將式(6)代入式(3)可以求出PRSi點處絲桿螺旋曲面坐標PSi(xRSi,yRSi,zSi)。

(3)求解嚙合干涉量或嚙合間隙量。通過計算點PRi、PSi在z軸方向坐標差值即可得出螺旋曲面軸向干涉或軸向間隙量。同時沿z軸坐標方向，坐標差值最小點為嚙合點。

(4)改變滾柱或絲桿螺紋參數(shù)，循環(huán)計算，直到得到滿足實際需求嚙合狀態(tài)，得到實際裝配螺紋參數(shù)。

滾柱與螺母的嚙合狀態(tài)計算和滾柱與絲桿計算類似，不再贅述。

3 算法實現(xiàn)與驗證

在Matlab中對上述算法進行編程實現(xiàn)。為驗證算法的正確性，通過改變絲桿、螺母螺紋幾何中徑，使用本文計算方法計算行星滾柱絲杠嚙合干涉量，同時在SolidWorks中建立行星滾柱絲杠虛擬裝配模型[9]，對行星滾柱絲杠嚙合干涉量進行計算，將所得到的結果進行對比。

根據(jù)行星滾柱絲杠運動特性，計算出如表1所示行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)[10]。

表1 行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)

使用本文所述嚙合狀態(tài)計算方法對表1參數(shù)行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)進行計算，計算時絲桿和滾柱的嚙合中心距采用理論值a=13mm。

在對嚙合狀態(tài)進行計算時，本文方法計算結果為螺旋面軸向距離，負值為嚙合干涉狀態(tài)，正值為嚙合間隙狀態(tài)。在SolidWorks中進行虛擬裝配時，嚙合干涉狀態(tài)計算所得結果為干涉體積,虛擬裝配模型如圖4所示。滾柱和絲桿嚙合干涉量計算部分結果如表2所示。

圖4 行星滾柱絲杠虛擬裝配

絲桿幾何中徑直徑(mm)虛擬裝配(mm3)本文算法(mm)19.52.17-2.07×10-219.491.25×10-3-1.57×10-219.485.81×10-4-1.07×10-219.471.66×10-4-5.7×10-319.462.71×10-6-7.31×10-419.45865.46×10-9-3.13×10-519.458544×10-11-1.25×10-619.45852 0(無干涉)8.75×10-6

從表2中可以看出，隨絲桿幾何中徑的減小，SolidWorks中虛擬裝配計算所得到的干涉量體積變化趨勢與本文算法所計算干涉量變化趨勢一致。虛擬裝配與本文算法計算所得結果均顯示為絲桿幾何中徑在19.45852mm時，存在嚙合間隙，絲桿幾何中徑在19.45854mm時存在嚙合干涉，可得兩種計算方法所得零側隙嚙合狀態(tài)下絲桿中徑直徑均為(19.45852mm，19.45854mm)區(qū)間內，本文方法計算結果與SolidWorks中虛擬裝配計算結果吻合。且通過本文方法計算，可將滾柱和絲桿軸向螺旋面軸向距離控制在10-5mm以內。滾柱和螺母之間嚙合干涉計算驗證與滾柱和絲桿計算方法相同，其計算結果與虛擬裝配計算結果吻合。此外，在對多種不同規(guī)格行星滾柱絲杠進行計算驗證時，本文方法計算結果均與虛擬裝配計算結果相符，而且均可以將軸向間隙控制在0.001mm以內，完全滿足實際工程需求，證明了算法的正確性及實用性。

4 嚙合干涉消除

由上文計算可知，當行星滾柱絲杠絲桿和滾柱以理論中心距a=rr+rs進行裝配時，會出現(xiàn)嚴重的干涉現(xiàn)象，計算結果與文獻[6，10]所述相同。對表1中所給參數(shù)行星滾柱絲杠進行計算時，得到絲桿與滾柱嚙合軸向距離分布如圖5左圖所示，可以看出，滾柱與絲桿嚙合區(qū)域干涉明顯。實際計算結果中螺旋面最小軸向距離為-0.0207mm，嚙合干涉區(qū)很大，嚙合點在行星滾柱絲杠端面內投影坐標為Pxy(9.7648,0.3191)。

圖5 滾柱與絲桿軸向距離分布

通過實例計算可以看出，在通過調整絲桿幾何中心距調整絲桿與滾柱的嚙合干涉量時，不改變嚙合點在行星滾柱絲杠端面內投影位置。在對多種其它規(guī)格行星滾柱絲杠進行計算時，所得到結果相同。通過調整絲桿幾何中徑，在達到消除嚙合干涉的同時，不影響行星滾柱絲杠的運動特性[11]。

在按理論參數(shù)對螺母與滾柱嚙合干涉量進行計算時，螺母與滾柱間無干涉現(xiàn)象，與實際裝配情況相符。在對行星滾柱絲杠進行設計時，可以通過適當調整螺母幾何中徑值實現(xiàn)對滾柱和螺母之間的預緊量或間隙量進行調節(jié)，且不改變滾柱與螺母嚙合點在行星滾柱絲杠端面內投影位置，即不改變行星滾柱絲杠的運動特性。

5 結論

(1)文中通過建立了行星滾柱絲杠螺旋曲面嚙合的空間坐標系及螺旋曲面方程，將螺旋曲面離散成有限個點，對行星滾柱絲杠嚙合干涉量定量分析計算，并通過虛擬裝配驗證了方法的正確性；

(2)通過對絲桿、螺母幾何中徑對行星滾柱絲杠裝配干涉量影響分析計算，提出調整絲桿、螺母幾何中徑的方法實現(xiàn)消除或控制嚙合干涉量，且對絲桿、滾柱螺紋幾何中徑的調整不改變行星滾柱絲杠運動特性，在實際加工裝配中，通過調整絲桿螺紋幾何中徑有效的控制了干涉問題。