賀政綱，黃 娟

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031)

鐵路運輸系統(tǒng)是一個受多種因素共同影響的復雜時變系統(tǒng)，鐵路貨運量與影響因素之間存在復雜的、難以量化的非線性關系，由于受政策因素的影響較大，鐵路貨運量容易產(chǎn)生突變情況。例如： GB 1589—2016[1]已于2016年9月21日起正式實施，如果公路運輸車型變小，裝貨量變少，導致公路運輸價格上漲，鐵路的優(yōu)勢進一步突顯，再加上近期煤炭價格的持續(xù)上漲，鐵路貨運勢必受到較大影響。為了對鐵路貨運量做一個精確的預測，提高模型的預測精度，學者們在鐵路貨運量的預測方法上已經(jīng)做了大量的研究，預測方法由最初的分形理論、Rough Set理論、神經(jīng)網(wǎng)絡模型、灰色模型GM(1,1)、支持向量機等單一理論[2-7]的運用向多種理論相結合的改進模型發(fā)展[8-14]。對于具有飽和狀態(tài)的S形序列，有學者提出了灰色Verhulst模型來進行時間序列的預測，模型的改進目前主要從初始條件、參數(shù)優(yōu)化、無偏性等角度切入[15-18]，應用的改進方法以及理論主要包括對原始數(shù)據(jù)作倒數(shù)生成、等維灰數(shù)遞補預測法、Logistic函數(shù)、線性規(guī)劃方法等，對模型背景值進行優(yōu)化的研究目前還比較少。文獻[19]利用Logistic函數(shù)擬合模型中的一階累加生成序列，對灰色Verhulst模型的背景值進行優(yōu)化，建立了一種優(yōu)化的灰色Verhulst模型。粒子群優(yōu)化算法(PSO)早已被廣泛地應用到各領域的參數(shù)優(yōu)化當中，但在現(xiàn)有文獻中，PSO算法與灰色Verhulst模型相結合的文獻較少。文獻[20]用PSO算法代替最小二乘法優(yōu)化灰色Verhulst模型中的參數(shù)，以此確定對新項目的年度經(jīng)費投資額。文獻[21]提出基于最小一乘準則來估計灰色Verhulst模型的參數(shù)，并使用PSO求解此最小一乘的參數(shù)。為提高灰色Verhulst模型的預測精度，本文從模型的背景值入手，采用PSO對灰色Verhulst模型的背景值進行優(yōu)化，以實際值與預測值之間的相對誤差為適應度函數(shù)，以適應度函數(shù)值最小化為目標選取模型的最優(yōu)參數(shù)值，為了減少歷史數(shù)據(jù)對預測結果的影響程度，充分利用新生數(shù)據(jù)，利用滑動窗對原始數(shù)據(jù)序列進行動態(tài)更新來提高預測精度以及預測年限，并使用Fourier序列修正模型的誤差，使所建模型的精度進一步得到改善。

1 灰色Verhulst模型

灰色Verhulst模型是以灰色系統(tǒng)理論為基礎的改進模型，其建模過程如下[16-19]。

設X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始數(shù)據(jù)序列，一階累加生成序列為X(1)，由文獻[18]中對灰色Verhulst模型傳統(tǒng)背景值的誤差分析可知，當傳統(tǒng)背景值取為z(1)(k)=0.5x(1)(k-1)+0.5x(1)(k)時，將帶來一定的誤差，因此，本文取模型的背景值為z(1)(k)=λx(1)(k-1)+(1-λ)x(1)(k)，其中λ∈[0,1]，k=2,3,…,n?；疑玍erhulst模型及其白化方程分別為

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

( 1 )

( 2 )

式中：t為時間；a和b為參數(shù)，其值采用最小二乘估計：[a,b]T=(BTB)-1BTYn。取初始值x(1)(1)=x(0)(1)，灰色Verhulst模型的時間響應式為

( 3 )

( 4 )

2 FPSO灰色Verhulst模型的建立

2.1 模型的基本原理

在灰色Verhulst模型中，λ的取值與z(1)(k)的值直接相關，z(1)(k)的值又進一步直接影響到參數(shù)a、b的取值，而模型的預測精度完全取決于a和b，因此，對背景值的優(yōu)化具有較強的實際意義。本文以實際值與預測值之間的相對誤差為適應度函數(shù)，采用PSO算法對λ的值進行優(yōu)化取得參數(shù)a、b的最佳值，以此提高灰色Verhulst模型的精度，其適應度函數(shù)為

( 5 )

在每一次迭代中，粒子的速度和位置更新式為[22]

( 6 )

由于鐵路貨運量受外部因素的影響較大，僅憑歷史數(shù)據(jù)不能完全表現(xiàn)外部因素對貨運量的影響，為了減少歷史數(shù)據(jù)對預測結果的影響程度，充分利用新生數(shù)據(jù)，提高預測的精度，本文利用滑動窗對預測過程進行動態(tài)調整。即每進行一次預測后，把預測序列的最后一個數(shù)據(jù)序列作為原始數(shù)據(jù)序列的最后一個數(shù)據(jù)，同時去掉原始數(shù)據(jù)序列中的第一個數(shù)據(jù)，把新的數(shù)據(jù)序列作為下一次預測的原始數(shù)據(jù)序列為

( 7 )

式中：X(N)表示第(N+1)次預測的原始數(shù)據(jù)序列，X(N+1)表示第(N+2)次預測的原始數(shù)據(jù)序列，N為非負整數(shù)。

為了消除實際值與預測值之間的誤差ε(0)(k)，本文采用Fourier序列對預測值進行修正，誤差的計算式為[23-24]

( 8 )

式中：k=2,3,…,n；T=n-1為區(qū)間長度；δ=(n-1)/(2-1)為有限序列合理擴張度的下限值；A0，Ai，Bi由最小二乘法估計：C=(PTP)-1PTε(0)，C和P的取值如下:

修正過后的預測值如式( 9 )所示，其中k=2,3,…,n。稱所建模型為FPSO灰色Verhulst模型，以下簡稱FPGVM。

( 9 )

2.2 模型的預測步驟

步驟1對預測對象的歷史數(shù)據(jù)進行篩選，選定n(n>4)[25]個連續(xù)的歷史數(shù)據(jù)作為預測的原始數(shù)據(jù)序列，并對X(0)進行一階累加，生成一階累加序列X(1)。

步驟2初始化種群，隨機生成m個初始粒子群，設定粒子i(i=1,2,…,m)的位置由λi、ai、bi3個量共同確定，其中λi=(λi1,λi2,…,λid)，ai=(ai1,ai2,…,aid)，bi=(bi1,bi2,…,bid)，粒子的速度為vi=(vi1,vi2,…,vid)，其中λ∈[0,1]。

步驟3基于a、b的值根據(jù)式( 3 )計算得到一階累加的估計值。

步驟4根據(jù)式( 4 )計算得到原始數(shù)據(jù)序列的預測值。

步驟5根據(jù)適應度函數(shù)式( 5 )計算每個粒子的適應度值。

步驟6把粒子i的適應度值和其局部最優(yōu)Pid的適應度值相比較，若比Pid更小，則更新Pid；把所有粒子的適應度值和Pgd的適應度值相比較，若比Pgd更小，則更新Pgd。

步驟7根據(jù)式( 6 )更新各粒子的速度和位置。

步驟8若滿足終止條件，則輸出原始數(shù)據(jù)的預測值，否則回到步驟3。

步驟9根據(jù)式( 9 )進行誤差修正，輸出修正過后的預測值。

步驟10若要進行下一年度預測值的運算，則進行步驟11，否則運算結束。

步驟11根據(jù)式( 7 )更新原始數(shù)據(jù)序列，返回步驟1繼續(xù)下一年度預測值的運算，直至到達預測年限為止。算法流程如圖1所示。

圖1 FPSO灰色Verhulst模型的預測流程

3 基于FPGVM的鐵路貨運量預測

根據(jù)鐵路貨運的實際情況，本文分別以具有增長趨勢(數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)持續(xù)增長的態(tài)勢)、擺動發(fā)展趨勢(數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)持續(xù)增長和減少兩種態(tài)勢)、交叉發(fā)展趨勢(數(shù)據(jù)序列交叉呈現(xiàn)擺動發(fā)展和持續(xù)增長兩種發(fā)展態(tài)勢)的3種貨運量數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)序列，把FPGVM、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(RBFNN)、傳統(tǒng)灰色Verhulst模型(GVM)、灰色模型GM(1,1)4種模型的預測結果進行對比，以平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)、平均相對誤差(MPE)為標準來評價4種模型的優(yōu)劣，以此對FPGVM的有效性與實用性進行驗證。本文的數(shù)據(jù)來源為《中國統(tǒng)計年鑒1995—2015》以及國家統(tǒng)計局網(wǎng)站，運算通過MATLAB 7.1編程，在AMD 1.90 GHz CPU，4G RAM，Windows 7操作系統(tǒng)的計算機上運行。設最大迭代次數(shù)itermax=100，粒子數(shù)m=60，學習因子c1=c2=1.49，最大慣性權重wmax=0.9，最小慣性權重wmin=0.1。

3.1 具有增長趨勢的鐵路貨運量預測

由我國新石鐵路(河南省新鄉(xiāng)到山東省石臼港)的貨運量可知，1998—2013年新石鐵路貨運量呈現(xiàn)持續(xù)增長的態(tài)勢，因此以1998—2004年新石鐵路貨運量為具有增長趨勢的原始數(shù)據(jù)，對新石鐵路2005—2013年的貨運量進行預測，優(yōu)化后的參數(shù)結果為λ1=0.465 3，a1=-0.402 6，b1=-0.542 1，預測結果如表1、圖2、圖3所示。

表1 2005—2013年新石鐵路貨運量預測結果

圖2 2005—2013年新石鐵路貨運量預測結果

圖3 新石鐵路貨運量預測的評價指標

由表1、圖2、圖3可知，在具有增長趨勢的鐵路貨運量預測中，F(xiàn)PGVM的平均絕對誤差、均方根誤差、平均相對誤差分別為83.7萬t、106.5萬t、1.6%。與GM(1,1)、RBFNN、GVM相比，F(xiàn)PGVM的平均相對誤差分別減小了2.2%、3.2%、9.6%。其中，F(xiàn)PGVM的最大、最小相對誤差分別為3.5%、0.2%，GM(1,1)的最大、最小相對誤差分別為12.3%、0.2%，RBFNN的最大、最小相對誤差分別為9.4%、0.5%，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型適用于具有S型發(fā)展趨勢的數(shù)據(jù)序列的預測，故在該次預測中，GVM的最大、最小相對誤差分別高達19.7%、6.2%，F(xiàn)PGVM的最大、最小相對誤差均為4個模型中的最小值，預測精度與GVM、GM(1,1)、RBFNN相比都有較大提高。

3.2 具有擺動趨勢的鐵路貨運量預測

由2015和2016年的全國鐵路貨運量數(shù)據(jù)可知，2015年3月—2016年10月全國鐵路貨運量呈現(xiàn)擺動發(fā)展態(tài)勢，因此以2015年3月—2015年9月的全國鐵路貨運量為具有擺動發(fā)展的原始數(shù)據(jù)，對全國2015年10月—2016年10月的貨運量進行預測，優(yōu)化后得到的參數(shù)結果為λ2=0.534 2，a2=-0.483 9，b2=-0.632 4，預測結果如表2、圖4、圖5所示。

表2 2015年10月—2016年10月全國鐵路貨運量預測結果

圖4 2015年10月—2016年10月全國鐵路貨運量預測結果

圖5 2015年10月—2016年10月全國鐵路貨運量預測評價指標

由表2、圖4和圖5可知，在具有擺動發(fā)展的鐵路貨運量預測中，F(xiàn)PGVM的平均絕對誤差、均方根誤差、平均相對誤差分別為529.1、627.5萬t、2.0%，與GM(1,1)、RBFNN、GVM相比，F(xiàn)PGVM的平均相對誤差分別減小了4.6%、1.8%、3.3%，F(xiàn)PGVM的最大、最小相對誤差分別為6.3%、0.1%，GM(1,1)的最大、最小相對誤差分別為16.8%、0.5%，RBFNN的最大、最小相對誤差分別為11.3%、0.4%，GVM的最大、最小相對誤差分別為12.9%、0.4%，F(xiàn)PGVM的最大、最小誤差也均為4個模型中的最小值。

3.3 具有交叉發(fā)展趨勢的鐵路貨運量預測

由全國鐵路貨運量數(shù)據(jù)可知，1995—2013年的鐵路貨運量交叉呈現(xiàn)擺動發(fā)展和持續(xù)增長兩種發(fā)展態(tài)勢，因此以1995—2001年全國鐵路貨運量為具有交叉發(fā)展趨勢的原始數(shù)據(jù)，對全國1995—2014年的貨運量進行預測，優(yōu)化后的參數(shù)結果為λ3=0.510 2，a3=-0.523 3，b3=-0.512 4，預測結果如表3、圖6、圖7所示。

由表3、圖6、圖7可知，在具有交叉發(fā)展趨勢的鐵路貨運量預測中，F(xiàn)PGVM的平均絕對誤差、均方根誤差、平均相對誤差分別為5 197.5萬t、6 427.1萬t、1.9%，與GM(1,1)、RBFNN、GVM相比，F(xiàn)PGVM的平均相對誤差分別減小了5.2%、1.1%、3.3%，F(xiàn)PGVM的最大、最小相對誤差分別為4.4%、0.0%，GM(1,1)的最大、最小相對誤差分別為14.1%、0.0%，RBFNN的最大、最小相對誤差分別為9.5%、0.0%，GVM的最大、最小相對誤差分別為6.3%、0.0%，F(xiàn)PGVM的最大仍然為4個模型中的最小值。

表3 1995—2014年全國鐵路貨運量預測結果

圖6 1995—2014全國鐵路貨運量預測結果

圖7 1995—2014年全國鐵路貨運量預測評價指標

我國鐵路貨運量在1995—1999年和2007—2014年由于受自然災害、金融危機、國家政策等因素的影響存在著波動現(xiàn)象，突變點較多，而在使用GM(1，1)對貨運量進行預測的過程中，發(fā)現(xiàn)這些突變性因素沒有在模型中得到反映，預測曲線趨于平滑，突變點較少，誤差較大，例如1996年、1998年、2007—2012年的相對誤差分別為-10.5%、9.1%、-12.9%、-12.7%、-8.8%、-12.0%、-14.1%和-8.8%，遠遠高于GM(1，1)的平均相對誤差7.1%。相反，GM(1，1)對2000—2006年的預測精度相對1995—1999年和2007—2014年較高，相對誤差分別為5.9%、3.2%、2.5%、-1.2%、-6.2%、-4.9%、-6.5%，均在平均相對誤差之下。

4 結論

FPGVM對3種趨勢貨運量的預測誤差相差不大，平均相對誤差分別為1.8%、2.0%、1.9%，由此可知，F(xiàn)PGVM對具有擺動發(fā)展態(tài)勢以及增長趨勢的數(shù)據(jù)序列的預測都是可行有效的，并在一定程度上反映出了鐵路運輸過程中由于自然災害、金融危機、國家政策等因素帶來的波動現(xiàn)象，與實際運輸過程相符，預測精度更高。本文將PSO算法和Fourier序列應用到灰色Verhulst模型中，確定了FPSO灰色Verhulst模型的預測思路，該模型主要有以下特點：

(1)FPGVM是一種數(shù)據(jù)序列動態(tài)更新的基于迭代的參數(shù)優(yōu)化預測模型，以平均相對誤差最小為適應度函數(shù)來取得預測值，數(shù)據(jù)的動態(tài)更新減少了歷史數(shù)據(jù)對預測結果的影響程度，能充分利用新生數(shù)據(jù)，提高預測精度。

(2)Fourier序列使預測值與實際值之間的誤差更小，模型的精度得到進一步的提高。

(3)FPGVM在預測過程中，其復雜度與迭代次數(shù)有關，為O(iter×n×m)。

FPSO灰色Verhulst模型能更好地反應鐵路運輸過程中的突變因素，是一種減少誤差、充分利用新生數(shù)據(jù)、提高預測精度的有效方法。本文沒有考慮外界因素對貨運量的影響，因此只適用于短期預測。在后續(xù)的研究中，將把鐵路貨車擁有量、國內(nèi)生產(chǎn)總值、鋼鐵產(chǎn)量等外界影響因素對鐵路貨運量的影響考慮進去，提高預測年限。