龐春橋，陶 鋼，聞 鵬，任保祥，李智宇，王小峰

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094)

單兵榴彈作為班組作戰(zhàn)的主力彈種，其主要戰(zhàn)斗任務(wù)之一是面殺傷敵方有生力量，為了提高單兵榴彈面殺傷效果，一般采取空炸的模式[1]。在以往的研究中，研究人員往往將射擊效率和目標(biāo)毀傷效率分開研究。文獻(xiàn)[2-3]中采用蒙特卡羅方法進(jìn)行了彈丸模擬打靶研究；文獻(xiàn)[4-5]中進(jìn)行了不同形式的非接觸式彈藥的殺傷概率計(jì)算；然而以上研究是分開獨(dú)立進(jìn)行的，很難給出彈丸實(shí)際作戰(zhàn)效能。在引信的研究方面，目前研究人員最關(guān)注的是如何提高引信的精度以及先進(jìn)引戰(zhàn)配合系統(tǒng)設(shè)計(jì)[6-7]，這在接觸式毀傷彈藥和防空反導(dǎo)彈藥[7]的設(shè)計(jì)中是很重要的，然而對(duì)于單兵空炸榴彈而言，時(shí)間引信的精度并非越高越好，這主要是由單兵空炸榴彈的作戰(zhàn)使命決定的。因此，引信的選擇需要根據(jù)彈丸性質(zhì)及其需要完成的作戰(zhàn)使命來(lái)確定。

本文首先從外彈道及作戰(zhàn)時(shí)的射擊方法出發(fā)，采用蒙特卡洛方法對(duì)典型目標(biāo)距離(300 m，500 m，800 m)進(jìn)行模擬打靶，得到了時(shí)間引信誤差對(duì)單兵空炸榴彈空間散布規(guī)律的影響。然后將射擊效率與坐標(biāo)毀傷定律相結(jié)合，給出了非接觸式毀傷彈藥作戰(zhàn)效能的簡(jiǎn)單計(jì)算模型。最后進(jìn)行了算例分析，得到了時(shí)間引信誤差對(duì)單兵空炸榴彈作戰(zhàn)效能的影響。

1 外彈道方程的建立

1.1 氣象條件

本文選用我國(guó)炮兵標(biāo)準(zhǔn)氣象條件[8]，其地面值為：

(1)

在對(duì)流層(y≤9 300 m)溫度隨高度的標(biāo)準(zhǔn)定律為：

τ=τ0n-6.328×10-3y

(2)

氣壓隨高度變化的標(biāo)準(zhǔn)定律為：

(3)

空氣密度隨高度變化的標(biāo)準(zhǔn)定律為：

H(y)=ρ/ρ0n=π(y)τ0n/τ

(4)

在計(jì)算過(guò)程中有以下經(jīng)驗(yàn)公式：

H(y)=e-1.059×10-4y

(5)

1.2 空氣阻力函數(shù)

彈丸的空氣阻力加速度ax應(yīng)為

ax=Rx/m=gRx/G

(6)

其中：m為彈丸的質(zhì)量;G為彈重。將空氣阻力以阻力系數(shù)形式代入式(6)，得

cH(y)F(v)cH(y)vG(v)

(7)

4.737×10-4v2Cxon(M)

若記F(v)=vG(v)=v2K(v)，則有

這里F(v)，G(v)，K(v)統(tǒng)稱為阻力函數(shù)。從表達(dá)式不難看阻力函數(shù)不僅是速度v，而且是音速C的函數(shù)，對(duì)于不同的阻力定律，對(duì)應(yīng)的阻力函數(shù)也不相同，本文采用43年阻力定律(見圖1)。

1.3 彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組

在直角坐標(biāo)系中，彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組可表示為：

(8)

初始條件：t=0時(shí)

vx=v0cosφ0cosθ0,vy=v0cosφ0sinθ0,

vz=v0sinφ0，x=0,y=0,z=0

1.4 計(jì)算參量及計(jì)算方法

彈丸直徑：d=82 mm；彈丸質(zhì)量：m=2.3 kg；彈丸初速：v=255 m/s；彈形系數(shù)：i=1.2。

在確定初始值之后，對(duì)上述方程組聯(lián)立采用四階Runge-Kutta法求解。對(duì)于一般情況有s個(gè)微分方程組和t個(gè)代數(shù)方程組，變量則共有s+t個(gè)。在這s+t個(gè)變量中，第s+1，…，s+t個(gè)變量可以表示成第1，…，s個(gè)變量的函數(shù)，所以仍可以歸結(jié)為s個(gè)變量s個(gè)微分方程的求解問(wèn)題，即

(9)

取步長(zhǎng)h=xn+1-xn，如果已知xn,yin，可以用以下公式確定xn+1時(shí)的yi,n+1,i=1,2,…,s。

i=1,2,…,s

(10)

其中

i=1,2,…,s

這樣，就可以求出整個(gè)外彈道飛行過(guò)程中各參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。

值得注意的是外彈道方程計(jì)算的準(zhǔn)確性是后文模擬打靶的基礎(chǔ)，在進(jìn)行模擬打靶之前首先需要對(duì)外彈道程序進(jìn)行試驗(yàn)符合。為此分別針對(duì)400 m和500 m射程進(jìn)行了外彈道試驗(yàn)，并將實(shí)際初速作為初始條件，實(shí)際射程作為截至條件代入上述程序計(jì)算彈丸飛行時(shí)間，與高速錄像記錄的實(shí)際飛行時(shí)間相比，誤差在0.5%以下，程序計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有很好的一致性，可以保證外彈道計(jì)算的精度。

1.5 外彈道計(jì)算結(jié)果

為了方便射手在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下快速瞄準(zhǔn)射擊，參考瑞典薩博公司卡爾·古斯塔夫無(wú)后坐力炮實(shí)戰(zhàn)手冊(cè)射擊方法：500 m以內(nèi)目標(biāo)均采用統(tǒng)一的射擊彈道進(jìn)行瞄準(zhǔn)射擊，即射程為600 m的彈道，針對(duì)500 m內(nèi)不同距離的目標(biāo)只需根據(jù)實(shí)際距離在彈上進(jìn)行引信裝定即可；而對(duì)于500 m以外的目標(biāo)，采用目標(biāo)距離加100 m的彈道線進(jìn)行射擊，并在彈上根據(jù)實(shí)際目標(biāo)距離進(jìn)行裝定。以此實(shí)現(xiàn)其殺傷榴彈在目標(biāo)頂部一定距離處空炸，提高毀傷效率。

根據(jù)上文建立的外彈道方程組，結(jié)合以上射擊方法要求分別計(jì)算300 m，500 m，800 m目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)射擊彈道線如圖2和圖3所示。

根據(jù)外彈道計(jì)算結(jié)果可以得到作戰(zhàn)條件下的瞄準(zhǔn)參數(shù)以及彈丸時(shí)間引信的裝定參數(shù)，具體結(jié)果如表1所示。

表1 射擊瞄準(zhǔn)參數(shù)及引信裝定參數(shù)

2 空炸榴彈空間散布規(guī)律

2.1 模擬方法

評(píng)估空炸榴彈空間散布規(guī)律的方法與常規(guī)密集度計(jì)算方法一致，利用距離概率誤差Ex，方向概率誤差Ez和高低概率誤差Ey進(jìn)行評(píng)定，具體計(jì)算公式為：

(11)

影響空炸榴彈空間散布(密集度)的因素很多，對(duì)于火炮系統(tǒng)，組成系統(tǒng)的火炮條件、彈藥條件、目標(biāo)探測(cè)與計(jì)算精度、發(fā)射陣地條件及氣象條件等都對(duì)密集度產(chǎn)生影響，其中很多因素相互關(guān)聯(lián)和相互影響?；谀壳暗恼J(rèn)識(shí)，概括起來(lái)主要有以下幾個(gè)方面：影響高低(距離)散布的主要因素是彈道系數(shù)散布、初速散布、射角(垂直跳角)散布，時(shí)間引信誤差[9-10](0.01 s，0.10 s，0.20 s，0.30 s)，彈丸質(zhì)量誤差和縱風(fēng)散布等；影響方向散布的主要因素是偏流散布、水平跳角和橫風(fēng)散布等。

為了充分利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際射擊過(guò)程中隨機(jī)因素進(jìn)行模擬，本文采用蒙特卡羅方法[11]進(jìn)行模擬打靶，其中模擬過(guò)程中考慮的影響因素如表2所示。

表2 干擾因素誤差

表2中的誤差項(xiàng)及最大誤差范圍是影響模擬打靶精度的另一個(gè)重要因素，為了控制精度，表中參數(shù)綜合參考了試驗(yàn)數(shù)據(jù)，專家意見以及相關(guān)參考文獻(xiàn)，因此具有較高的可信度，可以滿足模擬打靶要求。

2.2 模擬結(jié)果

模擬打靶的精度隨著模擬次數(shù)的增加而提高，綜合考慮打靶精度和計(jì)算時(shí)間效率，每個(gè)目標(biāo)距離進(jìn)行1 200發(fā)模擬打靶，采用4種時(shí)間精度的引信進(jìn)行裝定，每種方案各進(jìn)行300發(fā)射擊。模擬得到以下散布結(jié)果(以300 m處結(jié)果為例)，其中圖4中深色區(qū)域?yàn)榭照駨椀目臻g分布情況，而圖中的淺色區(qū)域?yàn)榭臻g分布在三個(gè)平面內(nèi)的投影情況。

在圖4中，X表示射程，Y表示彈道高，Z表示射擊方向，表3表示了空間散布概率誤差的具體數(shù)據(jù)。根據(jù)以上模擬結(jié)果可知，隨著時(shí)間引信精度的提高，射程方向上的概率誤差Ex大幅度降低，而高低誤差Ey和方向誤差Ez的變化并不顯著。采用高精度引信可以大幅提高時(shí)間裝定的精度，進(jìn)而降低彈丸射程方向的概率誤差，提高射程方向密集度。

表3 空間散布概率誤差

3 作戰(zhàn)效能的概率計(jì)算

榴彈屬于非接觸式毀傷彈藥，該類彈藥毀傷目標(biāo)是由于沖擊波或破片的作用。確定此類彈藥的毀傷作用效率主要采用坐標(biāo)毀傷定律G(x,y,z)，即目標(biāo)的毀傷概率與彈藥相對(duì)目標(biāo)的爆炸位置的函數(shù)關(guān)系[12]。對(duì)于單兵空炸榴彈而言，由于其射角小，彈道平直，所以其在目標(biāo)上空爆炸時(shí)基本呈水平狀態(tài)如圖5所示，此時(shí)在地面產(chǎn)生的破片場(chǎng)可以近似認(rèn)為是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖6所示。由此便可以將坐標(biāo)毀傷定律進(jìn)行簡(jiǎn)化，即破片場(chǎng)覆蓋區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)絕對(duì)毀傷G(x,y,z)=1，而覆蓋區(qū)域外的目標(biāo)絕對(duì)不毀傷G(x,y,z)=0，坐標(biāo)毀傷定律呈階梯形式。然而在進(jìn)行作戰(zhàn)效能評(píng)估時(shí)，只考慮毀傷概率是不夠的，還需要將其與射擊效率相結(jié)合。

3.1 射擊效率評(píng)估

在任何類型的射擊中都存在散布，這個(gè)隨機(jī)變量的分布率由彈藥的命中點(diǎn)(或爆炸位置表征)，被稱為散布率。通常情況下，給定的散布率是概率密度φ(x,z)。對(duì)于空炸榴彈而言，其具有空間散布特點(diǎn)，因此概率密度可以表征為φ(x,y,z)，此時(shí)φ(x,y,z)dxdydz為在元體積dxdydz中具有彈藥爆炸的概率?？紤]一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)平面散布情況，首先選擇一個(gè)固定的平面，在其上建立直角坐標(biāo)系XOZ。當(dāng)非接觸彈藥對(duì)海面或地面目標(biāo)射擊時(shí)，如果X軸與射擊方向一致，則沿X軸的散布表征射程散布，沿Z軸的散布表征方向散布。此時(shí)，散布率將具有最簡(jiǎn)單的形式：

(12)

在實(shí)際作戰(zhàn)的有效評(píng)估中，不常使用σx，σz，而是采用沿OX，OZ軸的概率誤差，分別表示為Ex，Ez：

(13)

采用概率誤差是非常方便的，Ex表示在射程方向上，有50%的命中點(diǎn)(或爆炸位置)位于X=±Ex的范圍內(nèi)，Ez表示在偏移方向上，有50%的命中點(diǎn)(或爆炸位置)位于Z=±Ez的范圍內(nèi)。此時(shí)的散布率具有以下形式：

(14)

其中，射程偏差(Ex)與方向偏差(Ez)通常被認(rèn)為是獨(dú)立的。因此，這些值可以被互相獨(dú)立的處理。

3.2 作戰(zhàn)效能評(píng)估

對(duì)于單兵空炸榴彈而言，其主要作戰(zhàn)使命之一是對(duì)分布在一定區(qū)域內(nèi)的敵方有生力量進(jìn)行覆蓋殺傷。根據(jù)上文對(duì)坐標(biāo)毀傷定律的階梯形式簡(jiǎn)化，以及單兵空炸榴彈破片場(chǎng)的描述可知，其實(shí)現(xiàn)毀傷的爆炸點(diǎn)位置(根據(jù)目標(biāo)位置和破片場(chǎng)的寬度a確定)可簡(jiǎn)化為一個(gè)矩形區(qū)域如圖7所示，即彈丸在該區(qū)域爆炸，目標(biāo)絕對(duì)毀傷。此時(shí)，便可以得到單發(fā)射擊單個(gè)目標(biāo)的毀傷概率計(jì)算公式：

(14)

其中:φ(x,z)為散布率；G(x,z)為坐標(biāo)毀傷定律，呈階梯形式，即毀傷G(x,z)=1，不毀傷G(x,z)=0。

在大多數(shù)情況下，積分式(14)由已知的函數(shù)表示，當(dāng)彈丸實(shí)現(xiàn)毀傷的爆炸點(diǎn)位置是如圖7所示的矩形時(shí)，根據(jù)概論統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以方便地給出相應(yīng)的計(jì)算公式為：

(15)

(16)

通過(guò)方程式(15)可以計(jì)算出射擊一發(fā)時(shí)單個(gè)目標(biāo)的毀傷概率，如果不考慮射擊相關(guān)性，當(dāng)進(jìn)行n發(fā)射擊時(shí)，該目標(biāo)的毀傷概率為：

(17)

當(dāng)每發(fā)射擊下的目標(biāo)毀傷概率相等時(shí)，方程式(17)可以簡(jiǎn)化為Wn=1-(1-W1)n。

以上討論了單個(gè)目標(biāo)毀傷概率的計(jì)算公式。對(duì)于分布在一定區(qū)域內(nèi)的敵方有生力量而言，屬于多目標(biāo)毀傷的情況。大多數(shù)情況下，對(duì)一組多目標(biāo)射擊的任務(wù)構(gòu)成是命中盡可能多的組成單元。在這種情況下，為了評(píng)價(jià)武器的作戰(zhàn)效能，往往選擇被毀傷目標(biāo)的平均數(shù)(數(shù)學(xué)期望)作為評(píng)估指標(biāo)，即：

Mm=M[Xm]

(18)

其中隨機(jī)變量Xm表示毀傷目標(biāo)的數(shù)目。該方程給出了數(shù)學(xué)期望最普遍的形式，適合任意多目標(biāo)射擊的情況。為了推導(dǎo)毀傷單元數(shù)學(xué)期望數(shù)的公式，我們提出毀傷目標(biāo)的總數(shù)是m個(gè)隨機(jī)變量的總和：

(19)

對(duì)于第j個(gè)目標(biāo)單元對(duì)應(yīng)的Xj，定義如下：

如果第j個(gè)單元被毀傷，Xj=1；

如果第j個(gè)單元未被毀傷，Xj=0；

從上面的方程中很容易發(fā)現(xiàn)，毀傷目標(biāo)的總數(shù)Xm等于所有隨機(jī)變量Xj的總和，由復(fù)雜數(shù)學(xué)期望的定理可得：

(20)

用Wj表示在所有射擊完成時(shí)第j個(gè)目標(biāo)單元的毀傷概率。于是，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義有：

M[Wj]=Wj·1+(1-Wj)·0=Wj

(21)

將方程(21)代入方程(20)可以得到：

(22)

3.3 算例及結(jié)果

根據(jù)第二章模擬打靶結(jié)果，采用不同時(shí)間精度引信的差異主要體現(xiàn)在彈丸射程散布，而引信精度對(duì)彈丸方向散布和高低散布的影響較小，特別是針對(duì)近距離目標(biāo)。盡管如此，在進(jìn)行某一距離處的作戰(zhàn)效能計(jì)算時(shí)，為了保證評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性，仍然需要考慮彈丸的空間散布影響。然而在分析時(shí)間引信精度對(duì)某一距離處作戰(zhàn)效能的影響計(jì)算時(shí)，炸高散布變化的影響遠(yuǎn)小于射程散布變化的影響。因此為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以不考慮炸高的散布。

為了探討引信誤差和破片散布扇形角對(duì)單兵空炸榴彈作戰(zhàn)效能的影響，我們對(duì)彈丸及目標(biāo)參數(shù)做如下假設(shè)：

1) 彈丸分別采用最大誤差范圍是±0.01 s，±0.10 s，±0.20 s，±0.30 s的4種時(shí)間引信；

2) 由于射角較小，假設(shè)彈丸空炸時(shí)均處于水平狀態(tài)；

3) 彈丸破片飛散扇形角分別為30°和60°，且破片飛散中心角均為90°，其密集殺傷半徑為20 m；

4) 300 m處目標(biāo)上方彈丸的炸高均為8 m(參照?qǐng)D2)；

5) 敵方一個(gè)9人的標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗班組分布在300 m處一個(gè)30 m×30 m的正方形區(qū)域，如圖8所示；

6) 作戰(zhàn)中不能獲悉敵班組各個(gè)成員的具體位置，射擊時(shí)將目標(biāo)區(qū)域看作一個(gè)組目標(biāo)進(jìn)行瞄準(zhǔn)射擊，瞄準(zhǔn)點(diǎn)為其散布區(qū)域正中心；

7) 多發(fā)射擊時(shí)，不觀察結(jié)果，不轉(zhuǎn)移射擊，不考慮射擊相關(guān)性。

根據(jù)前面介紹的方法及對(duì)彈丸目標(biāo)參數(shù)的假設(shè)，對(duì)單兵空炸榴彈的作戰(zhàn)效能進(jìn)行計(jì)算評(píng)估可以得到以下結(jié)果。

表4 敵方標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗班組分布為(a)時(shí)的毀傷效能

表5 敵方標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗班組分布為(b)時(shí)的毀傷效能

圖8給出了敵方一個(gè)9人的標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗班組分布情況，其中相比圖8(a)中的分布，圖8(b)中的成員No.4，No.5，No.6沿火線方向移動(dòng)5m。表4和表5分別給出了敵方標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗班組在兩種不同的分布條件下，單兵空炸榴彈的作戰(zhàn)毀傷效能結(jié)果。根據(jù)結(jié)果可知：在不提高破片飛散角的情況下，提高時(shí)間引信的精度時(shí)，敵班組成員被殺傷的數(shù)學(xué)期望數(shù)先增大后減?。辉诓惶岣邥r(shí)間引信精度的情況下，提高彈丸破片飛散角(由30°提高到60°)時(shí)，敵班組成員被殺傷的數(shù)學(xué)期望數(shù)平均提高兩倍以上。此外，隨著時(shí)間引信精度的提高，單兵空炸榴彈作戰(zhàn)效能受到目標(biāo)分布狀態(tài)的影響逐漸增大。因此，在單兵空炸榴彈的研制過(guò)程中，需要合理選擇時(shí)間引信精度。

4 結(jié)論

1) 提高時(shí)間引信精度可以大幅度提高單兵空炸榴彈的時(shí)間裝定精度，有效降低射程散布，但在方向散布和高低散布方面貢獻(xiàn)不大；

2) 在不提高破片飛散角的情況下，盲目提高時(shí)間引信精度并不一定能提高作戰(zhàn)效能。

3) 在合理的時(shí)間引信精度情況下，提高破片飛散角(由30°提高到60°)，可使單兵空炸榴彈的作戰(zhàn)效能提高兩倍以上。

4) 隨著時(shí)間引信精度的提高，單兵空炸榴彈作戰(zhàn)效能受目標(biāo)分布狀態(tài)的影響逐漸增大，特別是引信誤差為0.01 s時(shí)，單兵空炸榴彈的作戰(zhàn)效能受目標(biāo)分布情況的影響十分嚴(yán)重，而目標(biāo)分布情況在實(shí)際作戰(zhàn)中是不可控的，應(yīng)盡量避免。

5) 在考慮實(shí)際作戰(zhàn)效能的情況下，研究人員需要根據(jù)評(píng)估結(jié)果合理選擇引信的精度。對(duì)于單兵空炸榴彈而言，目前更應(yīng)該關(guān)注如何提高破片的飛散扇形角。