王金亮 黃艷麗

【中圖分類號】N94 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）12-0045-01

近年來，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為在許多領(lǐng)域卓有成效的應(yīng)用，已經(jīng)有越來越多的高校為計算機、物理、數(shù)學(xué)、控制等專業(yè)的本科生和研究生開設(shè)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的課程。目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為研究主要包括：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析與控制，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步分析與控制以及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無源性分析與控制。具體如下：一、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析與控制

一方面， 穩(wěn)定性是許多網(wǎng)絡(luò)能正常運行的前提。例如，電網(wǎng)不穩(wěn)定，就會發(fā)生大規(guī)模的斷電事故。1996年8月10日，美國西部9個州發(fā)生的斷電事故致使這一地區(qū)的空中和地面交通陷入混亂，數(shù)百萬人的正常生活受到嚴(yán)重影響。食物網(wǎng)中各物種的種群密度不穩(wěn)定，就會導(dǎo)致一些物種的數(shù)量大規(guī)模增加，一些物種的數(shù)量大規(guī)模的減少，從而破壞生態(tài)平衡。鑒于此，不同領(lǐng)域的研究人員深入分析了各種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性并取得了很多有意義的成果，不僅考慮了節(jié)點狀態(tài)僅依賴于時間的常微分網(wǎng)絡(luò)模型，而且考慮了節(jié)點狀態(tài)是時空依賴的偏微分網(wǎng)絡(luò)模型。

另一方面，許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型自身不是穩(wěn)定的。在這種情況下，我們就需要采取一些控制策略使得網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定的。近年來，為了使得網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到期望的狀態(tài)，研究人員提出了許多有效的控制方案，比如牽制控制策略，脈沖控制策略，自適應(yīng)控制策略等。不同的控制策略都有各自的優(yōu)越性，比如牽制控制只需要對網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點或邊施加控制，對于大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)來講這是非常重要和有意義的；脈沖控制只需要在一些離散的時間序列施加控制，控制成本較低并且對網(wǎng)絡(luò)模型的要求也很低；自適應(yīng)控制可以調(diào)節(jié)參數(shù)使其收斂到合適的值，從而更容易實現(xiàn)。二、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步分析與控制

同步是指兩個或者多個動態(tài)系統(tǒng)通過相互耦合使得在不同的初始條件下各自演化的動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)逐漸接近，最后達到相同的狀態(tài)[1]。在自然界和人類社會中，同步現(xiàn)象是十分常見的。不幸的是，并非所有的同步現(xiàn)象都是有益的，比如成千上萬的人同時過橋引起橋體振動、通信網(wǎng)絡(luò)中的信息擁塞等。鑒于此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題受到了不同領(lǐng)域研究人員的廣泛關(guān)注。

對于節(jié)點狀態(tài)僅依賴于時間的網(wǎng)絡(luò)模型，人們利用李雅普諾夫泛函方法，矩陣論，圖論以及一些放縮技術(shù)分析了其同步，并結(jié)合牽制控制，脈沖控制，自適應(yīng)控制等控制方法研究了其同步控制問題[2]。與常微分網(wǎng)絡(luò)模型相比，對于偏微分網(wǎng)絡(luò)模型的同步問題研究的較少，在我看來主要原因有兩方面：一方面，偏微分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論還不夠成熟，許多在常微分方程系統(tǒng)里的結(jié)果不能直接推廣到偏微分方程系統(tǒng)。另一方面，與常微分網(wǎng)絡(luò)相比，現(xiàn)實世界中由偏微分方程描述的網(wǎng)絡(luò)較少。三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無源性分析與控制

眾所周知，無源性是系統(tǒng)耗散性概念的一種特殊形式。1972年，Willems[3，4] 基于供應(yīng)率w（u，y） 和存儲函數(shù)S（·）≥0 如下定義了系統(tǒng)的耗散性：

〖XC67.JPG；%25%25〗

其中t0，t1∈R 且t1≥t0 ，u（t），y（t） 和x（t，t0，x0，u） 分別代表系統(tǒng)的輸入，輸出和狀態(tài)。Lyapunov函數(shù)可以看作是一類特殊的存儲函數(shù)，因此在許多情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題可以通過耗散性來解決。到目前為止，已經(jīng)有大量的研究人員考慮了系統(tǒng)的耗散性，并得出了許多重要的成果 [5，6]。基于上述系統(tǒng)耗散性的定義，選取供應(yīng)率w（u（t），y（t））=yT（t）u（t）-γ2yT（t）y（t），我們就可以得到系統(tǒng)無源，輸入嚴(yán)格無源和輸出嚴(yán)格無源的概念。

近年來，無源性在許多領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用，比如穩(wěn)定性、復(fù)雜性、信號處理、混沌控制與同步、模糊控制、協(xié)同控制、過程控制等。由于無源性在許多方面成功的應(yīng)用，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無源性及其控制問題已經(jīng)被大量的研究。

通過以上介紹發(fā)現(xiàn)，研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為不僅具有重要的理論意義而且具有重要的應(yīng)用價值，并且關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為的研究結(jié)果非常豐富。當(dāng)然，這也就導(dǎo)致了在給學(xué)生講授復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)課程時的一系列問題，具體如下：

1.缺乏合適的教材。

眾所周知，編寫一本優(yōu)秀的教材需要花費大量的時間，而教材里介紹的成果大多數(shù)是幾年前發(fā)表的相對成熟的結(jié)果，甚至更早。在當(dāng)今科技飛速發(fā)展的時代，每年都有數(shù)萬篇關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的文章被發(fā)表，這導(dǎo)致很難給學(xué)生介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的最新研究進展。

2.需要提前學(xué)習(xí)的課程較多。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為的研究中用到了很多理論知識，比線性系統(tǒng)理論，穩(wěn)定性理論，矩陣論，數(shù)學(xué)分析，常微分方程，偏微分方程，切換系統(tǒng)理論，Matlab等。但是，這其中的很多課程學(xué)生了解的比較少，特別是本科生，這就為學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中帶來了很多困難。特別是，一些高校把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)課程安排到了大三或大四。由于大家忙著考研和找工作，很難抽出時間來去補習(xí)其它的課程。

3.內(nèi)容比較抽象。

在現(xiàn)有的大多數(shù)關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為研究結(jié)果中，大部分都是一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)。對于很多學(xué)生來講，顯得太枯燥，特別是如果在老師講授過程中提到了一些知識學(xué)生不明白從而使其不能理解結(jié)果得出的理由，這就會讓學(xué)生更加失去學(xué)習(xí)的耐心和興趣。

參考文獻

[1]盧新彪， 復(fù)雜動態(tài)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的同步與控制研究[D]. 上海： 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文， 2008.

[2]王金亮， 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的若干動力學(xué)行為分析與控制[D]. 北京： 北京航空航天大學(xué)， 2014.

[3]J. C. Willems， Dissipative dynamical systems part I： General theory， Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1972， 45（5）：321-351.

[4]J. C. Willems， Dissipative dynamical systems part II： Linear systems with quadratic supply rates， Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1972， 45（5）： 352-393.

作者簡介：王金亮，男，1984年1月出生，博士，教師，副教授，本論文由天津工業(yè)大學(xué)校級教育教學(xué)改革項目（No. 2017-2-26）支持。