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(1.浙江理工大學機械與自動控制學院，杭州 310018；2.清華大學航空航天學院，北京 100084)

0 引 言

物體在水中運動時，受到的阻力大約是在空氣中運動的1000倍，這是水下防御系統(tǒng)缺乏高效硬毀傷手段的主要原因之一。在當前國際環(huán)境下，研制高速突防、高效毀傷的水下攻擊性武器，對我國有著至關重要的意義。超空泡技術是一種高效減阻技術，可以將物體在水下運動時受到的阻力減少90%，因此吸引了眾多學者投入大量的精力對其進行研究。

1969年，Logvinovich[1]提出了空泡的獨立膨脹原理。Lee等[2]數(shù)值研究了剛性材料高速射彈入水空泡的發(fā)展和潰滅，發(fā)現(xiàn)當射彈的形狀不變時，深閉合的時間與入水速度無關，是一個常數(shù)，入水速度對深閉合發(fā)生位置的影響微乎其微。Savchenko[3]對表征超空泡特征的無量綱參數(shù)即弗勞德數(shù)(Fr)、空化數(shù)(σ)、韋伯數(shù)(We)、雷諾數(shù)(Re)等進行了分析。Roohi[4]使用一種改進的VOF方法，針對不同空化數(shù)下不同幾何模型的入水空泡進行了數(shù)值模擬，準確預測了空泡的發(fā)展和潰滅。魏照宇等[5]數(shù)值研究了回轉(zhuǎn)體以較高的速度從空氣中入水時的沖擊特性，得到了入水過程中的流體動力學的一些基本規(guī)律。楊衡等[6]實驗研究了不同頭型彈體低速入水空泡的形成、發(fā)展特性及其影響因素，得到了入水角度、速度、彈體頭部形狀對彈體入水空泡及彈道穩(wěn)定性的影響規(guī)律。馬慶鵬等[7-8]對錐頭圓柱體高速入水誘導的超空泡流動進行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)入水速度較高時，空泡首先會發(fā)生面閉合，隨后才會發(fā)生深閉合，空泡最大直徑和航行體頭部壓力隨著入水速度的提高而增加。黃海龍等[9]數(shù)值模擬了圓柱后體對圓錐垂直入水空泡的影響，結(jié)果顯示，后體模型的存在，會增強流場內(nèi)的空化效應，有利于模型肩部流動分離點附近自然空化的發(fā)生。陳晨等[10]對錐頭圓柱體高速入水過程進行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)在自由液面上方的噴濺形態(tài)、空泡表面閉合時間以及空泡內(nèi)部空化效應受空氣域壓力影響較大。盧炳舉等[11]數(shù)值研究了高速射彈以408.00 m/s的初速度入水過程中的空泡流場特性，得到了射彈入水過程的空泡形態(tài)、入水深度規(guī)律、速度衰減規(guī)律以及阻力特性。王瑞琦等[12]實驗及數(shù)值研究了平頭彈丸低速垂直入水時空泡的形成、發(fā)展及閉合現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)空泡面閉合會產(chǎn)生上下兩股射流，并且向下的射流會撞擊彈丸尾部而改變彈丸的加速度。宋武超等[13]數(shù)值研究了不同頭型回轉(zhuǎn)體低速傾斜入水的流場特性，發(fā)現(xiàn)錐角越大，入水空泡的直徑越大，阻力系數(shù)也越大。本課題組也研究了入水物體頭型對空泡面積和空氣攜帶量的影響[14]。

面閉合過程對入水空泡的形成、發(fā)展乃至潰滅具有十分重要的影響。本文為了研究頭型對面閉合的影響，取不同頭型的圓柱體為研究對象，分析了頭型對圓柱體入水空泡面閉合時間以及空泡形態(tài)的影響。本文也研究了實際射彈模型入水過程中超空泡的產(chǎn)生和發(fā)展。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

本文假設流體為不可壓縮流體，通過求解混合相連續(xù)性和動量方程組來對超空泡流場進行數(shù)值研究，空化模型采用Schnerr-Sauer模型。

混合相連續(xù)方程[8,14-15]可以用公式表示為：

(1)

ρm=αwρw+αaρa+αvρv

(2)

αw+αa+αv=1

(3)

其中：t表示時間；ρm表示混合物密度；ρw,ρa,ρv分別表示水相、空氣相和蒸汽相的密度；αw,αa,αv分別表示水相、空氣相和蒸汽相的體積分數(shù)；xi(i=1,2,3)表示笛卡爾坐標；ui表示i方向的速度分量。

動量方程[8,14-15]可以用公式表示為:

(4)

μm=αwμw+αaμa+αvμv

(5)

其中：xj(j=1,2,3)表示笛卡爾坐標；fi表示i方向的單位質(zhì)量力；uj表示j方向的速度分量；μm表示混合物的動力粘性系數(shù)；μw,μa,μv分別表示水相、空氣相和蒸汽相的動力粘性系數(shù)。

Schnerr-Sauer空化模型[16]的水蒸氣傳輸方程為：

(6)

(7)

(8)

其中：RB代表氣核半徑，取1.00×10-3mm；pv為蒸汽壓力；p為環(huán)境壓力；V為水蒸氣速度。

1.2 計算模型、區(qū)域及邊界條件

本文采用的計算模型如圖1所示。其中，圖1(a)為圓柱體模型，長L均為72.00 mm，空化器直徑Dn均為6.00 mm，頭型分別為平頭型、圓錐型和圓頭型，圓錐頭型的錐角β為90.00°，圓頭頭型為半球型。圓錐型和圓頭型圓柱體肩部與其頭部頂點之間的距離ΔL為3.00 mm。圖1(b)為實際射彈模型，詳細參數(shù)如表1所示。其中：l1、l2、l3、l4、l5表示各段圓臺長度；d1、d2、d3、d4、d5表示各段圓臺上下底直徑。

圖1 計算模型示意圖

表1 實際射彈模型參數(shù)

為了提高計算效率，本文采用二維軸對稱模型，將三維問題簡化成二維問題進行數(shù)值模擬。計算區(qū)域及邊界條件設置如圖2所示。忽略重力的影響，以x軸作為對稱軸，設置上下邊界為無滑移壁面，左邊界為壓力出口，右邊界為壓力入口，壓強均為101325 Pa。計算區(qū)域?qū)捲O置為360.00 mm。設置空氣域的長度為400.00 mm，水深為2000.00 mm，物體頭部位于水面右側(cè)10.00 mm處。

圖2 計算區(qū)域及邊界條件設置

1.3 計算方法

在Fluent 15.0中嵌入用戶自定義函數(shù)，結(jié)合動網(wǎng)格技術控制物體以500.00 m/s的速度勻速向左運動。湍流模型選擇工程中應用最為普遍的標準k-ε兩方程模型。采用VOF方法對本文涉及到的多相流問題進行求解。采用PISO算法對壓力-速度耦合場進行求解，綜合考慮計算精度和計算效率，采用二階迎風格式對動量方程進行離散化，采用一階迎風格式對紊動能方程和紊動能耗散率方程進行離散化，采用CICSAM格式對體積分數(shù)進行離散化。

2 數(shù)值及網(wǎng)格驗證

2.1 網(wǎng)格劃分及無關性驗證

本文采用四邊形網(wǎng)格對計算模型進行網(wǎng)格劃分，為了保證超空泡流場和不同相間交界面的計算精度，在圓柱體周圍區(qū)域進行網(wǎng)格加密。為了排除網(wǎng)格疏密程度對模擬結(jié)果的影響，本文以平頭型圓柱體為例進行了網(wǎng)格無關性的驗證。創(chuàng)建了三種不同密度的網(wǎng)格，如表2所示。

表2 網(wǎng)格劃分情況

取時間步長為5.00×10-4ms，分別采用上述三種網(wǎng)格密度針對平頭型圓柱體的入水過程展開了數(shù)值模擬。圖3為當圓柱體頭部距離未擾動界面的垂直距離等于100.00 mm時，產(chǎn)生的入水空泡的無量綱尺寸在空間上的變化規(guī)律。三種不同網(wǎng)格密度計算結(jié)果的空泡輪廓隨空間的變化規(guī)律基本一致。但是在相同截面處，網(wǎng)格1計算結(jié)果的超空泡無量綱直徑略小于網(wǎng)格2和網(wǎng)格3的計算結(jié)果，網(wǎng)格2和網(wǎng)格3計算結(jié)果的空泡輪廓非常接近，差別可忽略不計。

圖3 網(wǎng)格無關性驗證

網(wǎng)格分辨率應當足夠高以精確獲取空間流場的信息，但是分辨率過高會降低計算效率，綜合考慮兩種因素，本文選擇第二種網(wǎng)格數(shù)量來對三種計算模型進行網(wǎng)格劃分。平頭型圓柱體的初始網(wǎng)格數(shù)量為648432，圓錐型圓柱體的初始網(wǎng)格數(shù)量為640265，圓頭型圓柱體的初始網(wǎng)格數(shù)量為641015，實際射彈模型的初始網(wǎng)格數(shù)量為622495，網(wǎng)格分布如圖4所示。

圖4 物體周圍網(wǎng)格

2.2 數(shù)值驗證

為了驗證本文計算方法的準確性，對文獻[17]中的模型進行了計算，圖5為本文與文獻[17]結(jié)果的對比情況。其中，圖5(a)為超空泡最大無量綱直徑隨著入水時間的變化，當入水時間相同時，本文的模擬結(jié)果略小于文獻[17]的計算結(jié)果，兩者的最大誤差為6.31%。圖5(b)為超空泡最大無量綱長度隨著入水時間的變化，在相同的入水時間，本文的模擬結(jié)果略大于文獻[17]的計算結(jié)果，兩者的最大誤差為7.90%。本文模擬得到的超空泡形狀比文獻[17]更加細長，誤差主要是由于測量誤差和模擬精度造成的。本文認為小于10.00%的誤差是可以接受的，所以本文采用的計算方法具有可靠性，可以應用到進一步的數(shù)值模擬中。

圖5 本文研究結(jié)果與文獻[17]的對比結(jié)果

3 計算結(jié)果及分析

3.1 不同頭型圓柱體入水的數(shù)值模擬

圖6為平頭型圓柱體的入水過程。其中，圖6(a)為水相圖，白色為水相，黑色為空氣相。在入水過程中，空泡從圓柱體頭部開始產(chǎn)生，包裹整個圓柱體。圖6(a)中1對應的入水時間為0.10 ms，后續(xù)每相鄰兩幅圖之間的時間間隔為0.20 ms。圖6(b)為對應時間下的速度云圖。當圓柱體在空氣中運動時，其動能會傳遞給周圍的空氣，使得其周圍的空氣隨著圓柱體一起穿過氣液交界面進入空泡中。平頭型圓柱體進入水體后，誘導的氣相速度可以達到圓柱體入水速度的1.00～1.36倍。圓柱體撞擊水面形成的噴濺在壓差作用下逐漸向?qū)ΨQ軸收縮，當入水時間達到0.90 ms時，平頭型圓柱體入水形成的超空泡發(fā)生面閉合，此時，空氣進入空泡的運動被阻斷，面閉合發(fā)生位置處的流場速度急劇減少，最后趨向于0，如圖6(b)中5—6所示。

圖6 平頭型圓柱體入水過程

圓錐型圓柱體的入水過程如圖7所示。其中，圖7(a)為水相圖，圖中1對應的入水時間為0.25 ms，后續(xù)每相鄰兩幅圖之間的時間間隔為0.20 ms，圖7(b)為對應時間下的速度云圖。與平頭型圓柱體不同，圓錐型圓柱體的入水空泡從其肩部開始產(chǎn)生，包裹整個圓柱體。圓錐型圓柱體誘導的氣相速度可以達到其入水速度的1.00～1.46倍，大于平頭型圓柱體。當入水時間達到0.85 ms時，圓錐型圓柱體入水空泡開始發(fā)生面閉合，略早于平頭型圓柱體。文獻[8]中，圓錐型圓柱體在入水后1.00 ms左右發(fā)生面閉合，與本文計算結(jié)果具有較好的一致性。

圓頭型圓柱體的入水過程見圖8。其中，圖8(a)為水相圖，圖中1—6對應的時間分別是0.10，0.30，0.50，0.70，0.90 ms和1.10 ms，圖8(b)為對應時間下的速度云圖。當圓頭型圓柱體從空氣中進入水中時，空泡從圓柱體的肩部開始產(chǎn)生，包裹整個圓柱體。與其他兩種頭型的圓柱體相比，圓頭型圓柱體誘導的氣相速度最大，可以達到其入水速度的1.00～1.47倍。圓頭型圓柱體入水空泡在0.70 ms時就已經(jīng)開始發(fā)生閉合。

圖7 圓錐型圓柱體入水過程

圖8 圓頭型圓柱體入水過程

為了研究面閉合發(fā)生的時間產(chǎn)生差異的原因，本文對不同頭型圓柱體入水空泡的無量綱尺寸隨著時間和空間的變化規(guī)律進行了定量的研究。

圖9為超空泡最大無量綱尺寸隨著入水時間的變化規(guī)律。其中，圖9(a)為超空泡最大無量綱長度的變化規(guī)律。在圓柱體勻速入水過程中，超空泡最大無量綱長度隨著入水時間呈線性增加的趨勢。在超空泡發(fā)生面閉合之前，當入水時間相同時，不同頭型圓柱體產(chǎn)生的超空泡的最大無量綱長度之間差別很小，這說明超空泡的最大無量綱長度對面閉合時間的影響可以忽略不計。

圖9(b)為超空泡最大無量綱直徑隨入水時間的變化規(guī)律。不同頭型圓柱體產(chǎn)生的超空泡的最大無量綱直徑隨著入水時間增大。在入水初期，增長率較快，隨著入水時間的增加，增長率開始逐漸減少。圓錐型圓柱體入水時，錐角越大，相同水深處的空泡直徑就越大[13]，平頭型圓柱體等價于β=180.00°的圓錐型圓柱體，而圓頭型圓柱體入水不易形成空泡[6]，所以當入水時間相同時，平頭型圓柱體入水空泡的最大直徑大于圓錐型圓柱體，又大于圓頭型圓柱體，頭型對超空泡最大直徑的影響顯著。圖9(b)得到的結(jié)果，與本課題組用二維模型計算出的結(jié)果是一致的[14]。

圖9 超空泡最大無量綱尺寸隨入水時間變化

圖10為當圓柱體頭部距離未擾動界面的垂直距離等于100.00 mm時，三種頭型圓柱體誘導產(chǎn)生的超空泡的無量綱尺寸在空間上的分布規(guī)律。在相同截面處，平頭型圓柱體產(chǎn)生的入水空泡的直徑最大，其次是圓錐型圓柱體，圓頭型圓柱體入水空泡的直徑最小。

圖10 超空泡無量綱尺寸的空間分布規(guī)律

3.2 實際射彈模型入水的數(shù)值模擬

為了獲得實際射彈模型入水空泡的形態(tài)發(fā)展特征，對其入水過程進行了數(shù)值模擬，水相圖見圖11。圖11中，1對應的入水時間為0.20 ms，后續(xù)每相鄰兩幅圖之間的時間間隔為0.40 ms。由于射彈模型的頭部直徑很小，導致其入水時所形成的空泡較小而被分成兩個部分。前部空泡從射彈模型頭部開始產(chǎn)生，在距離射彈模型頭部水平距離22.00 mm處終止。后部空泡在距離頭部水平距離24.00 mm處開始產(chǎn)生，包裹后側(cè)彈體區(qū)域。當入水時間達到1.80 ms時，射彈模型產(chǎn)生的入水超空泡開始發(fā)生面閉合。

圖11 實際射彈模型入水水相圖

為了驗證本文模擬得到的射彈模型入水空泡數(shù)值結(jié)果的準確性，將入水時間為2.20 ms時的空泡輪廓與Logvinovich半經(jīng)驗公式進行了對比，對比結(jié)果如圖12所示。在射彈模型周圍，通過數(shù)值模擬得到的空泡輪廓和半經(jīng)驗公式計算得到的空泡輪廓吻合度非常高，最大誤差僅為7%，滿足本文誤差要求。

圖12 本文研究結(jié)果與半經(jīng)驗公式對比

4 結(jié) 論

通過對不同頭型圓柱體和實際射彈模型的入水超空泡流場的數(shù)值模擬，將計算得到的數(shù)據(jù)進行后處理分析，并與文獻以及Logvinovich半經(jīng)驗公式進行對比分析，得出如下結(jié)論：

a) 當入水時間相同時，在相同截面處，平頭型圓柱體的入水空泡直徑最大，圓錐型圓柱體次之，圓頭型圓柱體入水空泡直徑最小。頭型對超空泡最大長度的影響很小，可以忽略不計。

b) 圓頭型圓柱體產(chǎn)生的入水空泡發(fā)生面閉合的時間最早，為0.70 ms，其次是圓錐型圓柱體，其產(chǎn)生的入水空泡在入水時間達到0.85 ms時開始發(fā)生面閉合，平頭型圓柱體產(chǎn)生的入水空泡發(fā)生面閉合的時間最晚，為0.90 ms。

c) 圓頭型圓柱體對周圍流場的速度分布影響最大，誘導的氣相速度可以達到圓柱體速度的1.00～1.47倍；圓錐型圓柱體次之，誘導的氣相速度是圓柱體速度的1.00～1.46倍。平頭型圓柱體對周圍流場的影響最小，誘導的氣相速度是圓柱體速度的1.00～1.36倍。

d) 實際射彈模型入水空泡會被分成兩部分，并在1.80 ms時發(fā)生面閉合。前部空泡從射彈模型頭部開始產(chǎn)生，在距離頭部22.00 mm時終止，后部空泡從距離頭部24.00 mm時開始產(chǎn)生，包裹射彈模型的后部區(qū)域。