田順洋

最近筆者聽了兩節(jié)課，一節(jié)課是四年級上冊的內(nèi)容租船問題，另一節(jié)課是四年級下冊的內(nèi)容雞兔同籠，同時在五年級上了一節(jié)利用最大公因數(shù)解決問題的課。這三節(jié)課看似關(guān)聯(lián)不大，但是解題的時候都要運用一一列舉的方法。而許多老師和學(xué)生對一一列舉的方法嗤之以鼻，都試圖找到一個通用的公式或者簡單的算法：在學(xué)習(xí)租船問題時，老師也好，學(xué)生也好，希望用一個除法算式就解決問題；學(xué)習(xí)雞兔同籠時，老師和大部分學(xué)生都希望通過假設(shè)法解決問題；學(xué)習(xí)尋找一組數(shù)的最大公因數(shù)時，很多學(xué)生都希望利用短除法來解決問題。在他們看來，除法算式、假設(shè)法、短除法等都是解決類似問題的“神器”，而一一列舉的方法既笨拙又麻煩，在解決現(xiàn)實生活中的問題時是不適用的。難道列舉這種笨拙的方法就真的不適用嗎？我看未必。

對于租船問題，要知道哪種方案最省錢，學(xué)生只有把所有可能的方案都一一列舉出來，然后通過計算得到最終的價格再進(jìn)行對比，才能確定方案。在這一節(jié)課當(dāng)中，老師要做的就是讓孩子們既快又準(zhǔn)地將所有的方案都羅列出來。要做到這一點，就得有序地進(jìn)行列舉。學(xué)生列舉出各種方案以后，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，我們在租船的時候要盡量兼顧兩個因素：盡量租單價便宜的，盡量減少空位。試想，如果我們用一個除法算式來解決這道題，又會有多少人知道如何調(diào)整它的余數(shù)？如果調(diào)整余數(shù)的時候不使用一一列舉的方法，學(xué)生能夠保證找到最佳方案嗎？

解決雞兔同籠問題也是如此。很多孩子覺得列表法非常麻煩，尤其是遇到數(shù)據(jù)很大的時候，很浪費時間。因此大家都試圖尋找一種能夠在短時間內(nèi)解決問題的方法，此時假設(shè)法呼之欲出。課堂上，老師講完列表法之后，馬上講解假設(shè)法———假設(shè)全都是雞，然后引導(dǎo)學(xué)生解出答案。接著讓學(xué)生獨立完成假設(shè)全是兔的解答過程，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠解決。這樣看來，學(xué)生似乎掌握了假設(shè)法。此時老師出了一道類似的題目讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法解決。令人意外的是：全班學(xué)生幾乎沒有人使用列表法，都在嘗試用假設(shè)法解決問題。難道假設(shè)法真那么好嗎？老師講授了假設(shè)全是雞的解法，學(xué)生做出了假設(shè)全是兔的解答過程，就說明學(xué)生已經(jīng)掌握了假設(shè)法嗎？如果將題目改成“雞和兔一共有32條腿，兔比雞多2只，求雞兔各有幾只”，這時候?qū)W生還能用假設(shè)法解決問題嗎？事實上，列表法雖然看似麻煩且笨拙，但是它能解決很多問題，而假設(shè)法只能解決某些特殊情況下的問題。此外，學(xué)生看似掌握了假設(shè)法，實際只是把假設(shè)法當(dāng)成一個公式，往里面更換數(shù)據(jù)而已。事實上，學(xué)生如果掌握了列表法，當(dāng)面對的數(shù)據(jù)很大時，不需要一一列舉，可以先列舉一部分，再根據(jù)其中的規(guī)律跳躍性調(diào)整，也能夠順利解決問題。盡管同樣的問題用假設(shè)法也可以解決，但對學(xué)生的思維要求很高，一般的學(xué)生很難達(dá)到，也很難理解。

同樣地，在尋找一組數(shù)的最大公因數(shù)時，學(xué)生不愿意用一一列舉的方法，也就是先分別找出每個數(shù)的因數(shù)，再找出它們的公因數(shù)，接著找出它們的最大公因數(shù)。他們覺得這樣繁瑣，非常希望得到一種更簡便的方法。當(dāng)班上有學(xué)生學(xué)會了利用短除法找最大公因數(shù)時，其他學(xué)生就會迫不及待地要求老師教短除法。難道利用一一列舉的方法找最大公因數(shù)就不好嗎？有學(xué)生利用先找出一個數(shù)的因數(shù)，然后從這些因數(shù)中找另一個數(shù)的因數(shù)，最后找它們的最大公因數(shù)，這樣的方法豈不是更好？教短除法固然好，但是教短除法之前，必須讓學(xué)生學(xué)會分解質(zhì)因數(shù)，而分解質(zhì)因數(shù)就是建立在一一列舉找公因數(shù)的基礎(chǔ)上的。如果只是一味地教學(xué)生利用短除法尋找一組數(shù)的最大公因數(shù)，無異于給學(xué)生一個公式，讓學(xué)生將數(shù)據(jù)往里面套而得到結(jié)果。這對學(xué)生的思維訓(xùn)練又有何益處呢？學(xué)生解決問題的能力如何得到提升？

小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師如果停留于對好方法的尋求，而忽略了最基本、最原始的方法，其實是得不償失的。因為很多時候看似一個好的方法、好的技巧，學(xué)生在解題的時候，更多的是模仿而沒有自己的思考。這就好比一個小孩學(xué)習(xí)走路，他還沒有完全會走就想著要學(xué)會跑，盡管他能夠跑起來但卻沒有力度，也是跑不穩(wěn)的。我們也常聽老師抱怨，在教學(xué)雞兔同籠時，剛教完用假設(shè)法解決問題，絕大多數(shù)孩子都會了，但是一段時間以后，很多孩子又不會了。孩子之所以會遺忘，是因為他沒有真正弄懂假設(shè)法，解決雞兔同籠問題的能力沒有得到提升。這樣看來，如果在教學(xué)的時候，老師和學(xué)生對一個公式化的東西都趨之若鶩，那教學(xué)效果將是很可怕的。因為我們都在沿著公式去走一條固化的道路，解決問題的能力無法得到提升。事實上，我們將看起來麻煩又笨拙的方法用到了極致，這種有技巧又方便快捷的方法還會遠(yuǎn)嗎？

（作者單位：長沙市岳麓區(qū)德潤園小學(xué)）