文/ 房延華

方案設(shè)計(jì)問題是中考的重要題型.它以生活中的素材為背景，考查我們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.下面以中考題為例，把方案設(shè)計(jì)題的解法歸類總結(jié)如下.

一、圖形設(shè)計(jì)問題

例1三塊正方形紙板的邊長(zhǎng)都是60cm，請(qǐng)分別按下列要求設(shè)計(jì)一種剪裁方法，折疊成一個(gè)禮品包裝盒（紙板的厚度忽略不計(jì)）．要求盡可能多地利用紙板，用虛線表示你的設(shè)計(jì)方案，并把剪裁線用實(shí)線標(biāo)出．

（1）包裝禮盒的六個(gè)面由六個(gè)矩形組成（如圖1），請(qǐng)畫出設(shè)計(jì)圖；

（2）包裝禮盒的上蓋由四個(gè)全等的等腰直角三角形組成（如圖2），請(qǐng)畫出設(shè)計(jì)圖；

（3）包裝禮盒的上蓋是雙層的，由四個(gè)全等的矩形組成（如圖3），請(qǐng)畫出設(shè)計(jì)圖．

解：答案不唯一．如圖4所示.

圖1

圖2

圖3

圖4

例2閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．

圖5

平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對(duì)于它們的性質(zhì)都非常熟悉.生活中還有一種特殊的四邊形——箏形．它的形狀與風(fēng)箏的骨架相似．

定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖5，四邊形ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形；

②有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形.

顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn).

如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下列任務(wù)：

（1）請(qǐng)說出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條；

（2）請(qǐng)仿照?qǐng)D5的畫法，在圖6所示的8×8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案.具體要求如下：

圖6

①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；

②既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；

③將新圖案中的四個(gè)箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）．

解：（1）相同點(diǎn)：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對(duì)角相等；③一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角

線；④一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；⑤都是軸對(duì)稱圖形；⑥面積等于對(duì)角線乘積的一半.

不同點(diǎn)：①菱形的對(duì)角線互相平分，箏形的對(duì)角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對(duì)邊分別平行，箏形的對(duì)邊不平行；④菱形的兩組對(duì)角分別相等，箏形只有一組對(duì)角相等；⑤菱形的鄰角互補(bǔ)，箏形的鄰角不互補(bǔ)；⑥菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，箏形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.

（2）如圖所示：

圖7

二、利用方程或不等式設(shè)計(jì)方案

例3足球比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．某足球隊(duì)共進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，得了12分，該隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)可能是（ ）

A.1或2. B.2或3. C.3或4. D.4或5.

解：設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，則負(fù)（6-x-y）場(chǎng)，

根據(jù)題意，得3x+y=12，∵x，y均為非負(fù)整數(shù)，且x+y≤6，

∴ 當(dāng)y=0時(shí)，x=4；當(dāng)y=3時(shí)，x=3. 選C．

例4某中學(xué)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜，若購(gòu)買甲種書柜3個(gè)、乙種書柜2個(gè)，共需資金1020元；若購(gòu)買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元．請(qǐng)解答：

（1）甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？

（2）若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共20個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金4320元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)幾種購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇．

解：（1）設(shè)甲種書柜單價(jià)為x元，乙種書柜的單價(jià)為y元.

答：設(shè)甲種書柜單價(jià)為180元，乙種書柜的單價(jià)為240元．

（2）設(shè)甲種書柜購(gòu)買m個(gè)，則乙種書柜購(gòu)買（20-m）個(gè).

∵m取整數(shù)，∴m為8，9，10．

購(gòu)買方案有三種：甲種書柜8個(gè)，乙種書柜12個(gè)；甲種書柜9個(gè)，乙種書柜11個(gè)；甲種書柜1個(gè)，乙種書柜10個(gè)．

三、利用函數(shù)設(shè)計(jì)方案

例5江南農(nóng)場(chǎng)收割小麥，已知1臺(tái)大型收割機(jī)和3臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥1.4公頃，2臺(tái)大型收割機(jī)和5臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥2.5公頃．

（1）求每臺(tái)大型收割機(jī)和每臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥各多少公頃？

（2）大型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為300元，小型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為200元，兩種型號(hào)的收割機(jī)一共有10臺(tái)，要求2小時(shí)完成8公頃小麥的收割任務(wù)，且總費(fèi)用不超過5400元，有幾種方案？請(qǐng)指出費(fèi)用最低的一種方案，并求出相應(yīng)的費(fèi)用．

解：（1）設(shè)每臺(tái)大型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥x公頃，每臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥y(cè)公頃.

（2）設(shè)大型收割機(jī)有m臺(tái)，總費(fèi)用為w元，則小型收割機(jī)有（10-m）臺(tái).

根據(jù)題意得w=300×2m+200×2（10-m）=200m+4000．

∴有3種方案．

∵w=200m+4000，200＞0，∴w隨m值的增大而增大，

∴當(dāng)m=5時(shí)，總費(fèi)用取最小值，最小值費(fèi)用為5000元．