劉國海

教學(xué)時(shí)常常發(fā)現(xiàn)：學(xué)生學(xué)習(xí)周長時(shí)學(xué)得很好，但學(xué)習(xí)了長方形面積之后，往往容易把長方形的面積和周長混淆，看似清晰的概念反而模糊了.針對這種情況，筆者設(shè)計(jì)了一套教學(xué)方案：一是重視學(xué)生在具體情境中理解周長與面積的含義；二是加強(qiáng)概念的建模，周長想成螞蟻跑步，面積就鋪小正方形；三是豐富鋪面積單位測面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，放慢面積公式的導(dǎo)出.自認(rèn)這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理清面積和周長的概念與區(qū)別，會(huì)有不錯(cuò)的效果.然而，在期末復(fù)習(xí)中，學(xué)生還是出現(xiàn)了亂套公式，把長方形面積與周長混淆的情況.郁悶之后決定找找面積周長混淆的深層原因.筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)調(diào)查表進(jìn)行書面調(diào)查：第1-3題重在檢測知識的掌握情況，第4-5題側(cè)重于學(xué)生對知識的理解，了解這一階段教學(xué)對學(xué)生的影響與效果，進(jìn)而聯(lián)系第1-3題的檢測找到學(xué)生解決問題對錯(cuò)的原因.

“長方形面積與周長”學(xué)習(xí)效果調(diào)查表

1.計(jì)算下面圖形的周長和面積.

周長：.

面積：.

2.如圖所示，把一個(gè)長方形框架沿對角線向外拉，變成一個(gè)平行四邊形后，它的面積將.（填“變大”“變小”或“不變”）

3.小明用同樣長的兩根鐵絲圍成甲、乙兩個(gè)圖形，比較它們的面積，（）.

A.甲比乙大B.乙比甲大

C.一樣大D.無法比較

4.請說說在長方形面積或周長的學(xué)習(xí)中給你留下印象最深的是：.

5.請你說說長方形面積與周長有哪些不同點(diǎn).（能找到幾個(gè)就寫幾個(gè)）

.

書面調(diào)查情況統(tǒng)計(jì)如下（調(diào)查人數(shù)為2個(gè)班共80人）：

題號12345

正確變大變小不變ABCD公式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)公式意義或測量工具

人數(shù)統(tǒng)計(jì)79443333631402782939

占百分比98.75553.7541.253.7578.7517.5033.751036.2548.75

通過調(diào)查情況的反饋，第1題是直接套用公式的計(jì)算，學(xué)生的準(zhǔn)確率很高（只有一個(gè)孩子在算周長時(shí)忘了“×2”），長方形周長和面積的計(jì)算公式給學(xué)生留下了深刻的印象，有33.75%的學(xué)生認(rèn)為在周長和面積的學(xué)習(xí)中留下印象最深的是“計(jì)算公式”，在對比周長與面積的不同點(diǎn)中，有36.25%的同學(xué)寫到計(jì)算公式.第2題與第3題都是比較兩個(gè)圖形面積的大小，但無法直接套用公式計(jì)算.有意思的是兩道同類型的問題，學(xué)生的準(zhǔn)確率卻相差比較大（分別為53.75%和78.75%），而且有31名學(xué)生在這兩題的面積大小判斷中是不一致的（既同一個(gè)人在一題中的判斷是正確的，在另一題中的判斷卻是錯(cuò)誤的），占總數(shù)的38.75%，這類學(xué)生在第4、5題的調(diào)查中基本上只寫了計(jì)算公式.還有11名學(xué)生認(rèn)為這兩個(gè)題中的兩個(gè)圖形的面積都是不變的，占13.75%，這些學(xué)生在后邊說說長方形面積與周長有哪些不同點(diǎn)中大多只寫了它們計(jì)算的公式的不同，沒有講出面積與周長的意義或是周長與面積的測量等方面的不同.第5題能寫出長方形周長和面積的含義、測量工具等方面不同的占48.75%，這類孩子普遍寫出的周長和面積的不同點(diǎn)比較多，整個(gè)調(diào)查卷的準(zhǔn)確率很高.第4題寫出諸如“周長是螞蟻沿圖形周邊爬一周”“一平方米可以站多少人”等課堂活動(dòng)與體驗(yàn)的只有10%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于寫計(jì)算公式的33.75%.

根據(jù)調(diào)查的結(jié)果，學(xué)生對周長面積的含義理解較好的普遍都學(xué)得比較好.學(xué)生對公式的記憶是很深刻的，對周長、面積的意義的理解反而淡化，甚至是模糊的.我仔細(xì)搜索、回憶“面積”“周長”教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)、每個(gè)細(xì)節(jié)，分析、思考著學(xué)生對面積與周長混淆的各種原因.

一、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)帶給學(xué)生的強(qiáng)刺激

一些學(xué)生還是靠直覺和經(jīng)驗(yàn)去解決問題，得出判斷，這很容易受信息的強(qiáng)度而影響答案.如調(diào)查卷中的第2題與第3題，同樣是比較兩個(gè)圖形的面積大小，但是卻有3875%的學(xué)生出現(xiàn)有一道題判斷正確，而另一道題卻判斷錯(cuò)誤的情況.在對這些孩子的訪談中發(fā)現(xiàn)，這些孩子把長方形想成是一根鐵絲圍成的，沿對角往外拉之后還是不變的（其實(shí)是周長不變），甚至有個(gè)別同學(xué)提醒是比較面積的大小后，還是覺得是一樣大的.顯然是課堂中拉長方形框架的活動(dòng)給學(xué)生留下了深刻的印象，學(xué)生憑直覺與經(jīng)驗(yàn)直接回答問題，直接根據(jù)自己想到的信息（鐵絲長不變）與問題掛鉤（面積不變），忽略了信息與問題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.

二、公式對學(xué)生的影響深刻

一些孩子在比較長方形周長與面積的不同點(diǎn)時(shí)僅僅是想到了公式的不同（應(yīng)該還是公式外在形式的不同）.他們從公式出發(fā)去理解周長與面積，去比較它們的不同點(diǎn).當(dāng)出現(xiàn)的問題不能用公式直接解決時(shí)，錯(cuò)誤率便馬上提高.然而，長方形周長和面積的公式都只需要知道長方形的長和寬，讓學(xué)生自己動(dòng)手去測量長方形的周長或面積時(shí)，也都只要測出長方形的長與寬，兩個(gè)公式如此的“形似”，使得一些學(xué)生在套用公式時(shí)難免會(huì)出錯(cuò).正是這兩個(gè)公式外在的相似混淆了公式內(nèi)涵的區(qū)別.

三、公式的熟練不能主動(dòng)提升知識本質(zhì)特征的理解

在教學(xué)中，雖然已經(jīng)很注重周長與面積意義的教學(xué)了，如教學(xué)中注重概念的建模，用螞蟻跑步建構(gòu)周長，用擺小正方形建構(gòu)面積的大小，然而在周長與面積的公式出來后，教材中許多題目都可以從公式出發(fā)，用公式直接解決，學(xué)生熟練了計(jì)算公式的應(yīng)用，卻忘記了周長、面積的意義.形象的概念建模與抽象的公式之間對學(xué)生來說有著巨大的鴻溝.就像教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，學(xué)生理解了算理，學(xué)會(huì)了算法，但是到了能熟練筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)后，在教學(xué)簡便運(yùn)算時(shí)，如對24×12要求用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算時(shí)，部分學(xué)生仍然不會(huì)做.因此，計(jì)算公式的不斷熟練，不一定能主動(dòng)提升對知識的理解，有時(shí)反而會(huì)讓學(xué)生忽略了公式背后的道理與內(nèi)涵.

四、“領(lǐng)袖”學(xué)生的影響不容忽視

記得在得出長方形面積的計(jì)算公式后，引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用公式環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生想辦法測出教室地面的面積，幾秒鐘的沉寂后，有個(gè)學(xué)生大聲說：“拿書本去鋪.”在這一“號召”下，全班同學(xué)都拿著數(shù)學(xué)書去測地面的面積.他們先用書本測出一塊地磚的面積，再算出教室地面的面積.而沒有采用直接測量教室地面的“長”與“寬”的方法來計(jì)算的.甚至有些學(xué)生只是跟著其他同學(xué)在操作，不知道自己的目的，也就沒有去想有沒有其他更好的方法了.

長方形面積、周長混淆的原因，一是在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，周長和面積研究的是一個(gè)圖形中的兩種屬性——線和面，且線和面在觀察圖形時(shí)往往不易剝離；二是在學(xué)習(xí)對象上，學(xué)生思維發(fā)展與空間觀念發(fā)展存在差距；三是在學(xué)習(xí)形式上，常用公式解決問題，意義與公式相脫離；四是在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對知識的思考與理解上存在差距.為解決困境，需要特別注意以下幾點(diǎn)：

（一）學(xué)會(huì)思考與質(zhì)疑，溝通公式與概念的內(nèi)在聯(lián)系

學(xué)生對長方形面積與周長計(jì)算公式的混淆，一個(gè)很重要的原因是沒有理解公式的內(nèi)涵，沒有把周長和面積的含義聯(lián)系起來.在教學(xué)中，學(xué)生在觀察圖形時(shí)，往往是圖形的邊線和圖形的面同時(shí)看到，不易剝離.這時(shí)，我們不僅要讓學(xué)生描一描圖形的邊線，摸一摸圖形的面，更重要的是在摸圖形邊線時(shí)引導(dǎo)學(xué)生想成一只螞蟻沿著圖形的四周跑步一周要跑多長，在摸面時(shí)引導(dǎo)學(xué)生想這個(gè)面有多大，讓思考與操作同步進(jìn)行，理解周長和面積的含義.在測長方形的周長或面積時(shí)，不僅要反饋“需要測什么”“怎么算”的問題，還須更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的思考：測算周長時(shí)測的“長”與“寬”和測算面積時(shí)測的“長”與“寬”，在想法上有什么不同？讓學(xué)生明白測算周長時(shí)只是簡單地把各條線段的長度加起來，而測算長方形面積時(shí)，測出的長是為了弄明白長可以擺幾個(gè)面積單位，測出的寬是為了弄明白寬可以擺幾個(gè)面積單位.這樣，就把周長與面積的計(jì)算公式和它們的概念緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生理解公式的內(nèi)涵.不僅重視公式的“立”，還要重視“立”的基礎(chǔ)要扎實(shí)，即周長和面積含義的理解.教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)生的思考過程非常重要，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識要有自己的思考與理解，避免盲從于“領(lǐng)袖”學(xué)生，盲從于教師.

（二）解構(gòu)中再構(gòu)，深入領(lǐng)悟公式的內(nèi)涵

學(xué)生對公式的印象如此深刻的一個(gè)重要原因是在平時(shí)的練習(xí)中很多問題都只要周長或面積的計(jì)算公式就能解決了，在長期的應(yīng)用中，使學(xué)生失去了思考公式應(yīng)用中更深層次問題的機(jī)會(huì)，所以我們需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一些問題，一些學(xué)生不能用公式直接解決的問題，讓學(xué)生去想辦法.比如，以下兩種類型的題目.讓學(xué)生在解決問題的過程中，經(jīng)歷“公式?jīng)]用”“公式怎么用”的過程，讓學(xué)生明白公式的內(nèi)涵與使用地位.

1.如圖所示，李阿姨在總面積等于96平方厘米的正方形網(wǎng)格上繡出一只和平鴿，和平鴿圖案的面積是平方厘米.

2.如圖所示，連接兩個(gè)小正方形和一個(gè)大正方形的頂點(diǎn)，圍成如圖所示陰影部分的三角形，已知大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分的面積為320，求這三個(gè)正方形的面積和.

（三）分清主次，區(qū)別對待，避免亂套公式

長方形周長和面積的公式雖然外在形式很像，但其內(nèi)涵與解決問題的價(jià)值卻不一樣.根據(jù)周長的概念，不僅可以直接解決長方形周長的計(jì)算，隨便什么圖形的周長都能測或算，相當(dāng)于有了個(gè)“萬能公式”，長方形周長的計(jì)算公式僅僅只是一個(gè)巧算與計(jì)算提升的問題；而長方形面積計(jì)算公式對解決長方形，乃至整個(gè)基本圖形面積的計(jì)算都非常重要.因此，我們要正確看待、定位兩個(gè)計(jì)算公式.在學(xué)生充分理解與經(jīng)歷計(jì)算長方形周長的基礎(chǔ)上，在長方形周長練習(xí)中提升長方形周長計(jì)算公式，即根據(jù)周長概念直接計(jì)算長方形周長，把長方形周長計(jì)算公式作為計(jì)算的提升.兩個(gè)公式，淡化一個(gè)，消除公式外在的迷惑，避免混淆.

學(xué)生對長方形面積容易與周長混淆的原因雖然是多方面的、復(fù)雜的，但從根本上講，主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對面積和周長的概念與計(jì)算公式的理解與內(nèi)在聯(lián)系溝通的問題.概念是比計(jì)算公式更為本位的知識，由概念產(chǎn)生計(jì)算公式，其內(nèi)在邏輯必須要讓學(xué)生弄明白.因此，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生思考、如何理解很重要，不僅要注重建模，對各知識深入認(rèn)識，還要注意“概念——意義——公式——公式應(yīng)用”之間的內(nèi)在聯(lián)系.只要理解透了，各知識點(diǎn)之間的來龍去脈想明白了，學(xué)生自會(huì)融會(huì)貫通，自然不會(huì)混淆.