王 芳,范天佑,成 惠,3
(1.朔州師范高等專科學(xué)校 自然科學(xué)系,山西 朔州 036002;2.北京理工大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100081;3.河北工程大學(xué) 物理系,河北 邯鄲 056038)
本文建議的軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型,解決了關(guān)于軟物質(zhì)準(zhǔn)晶圓柱繞流的動力學(xué)問題.對于復(fù)雜的邊界問題,只有為數(shù)很少的情況可以通過解析法[1]求得近似的解.盡管僅僅是近似,但對于理解軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動力學(xué)特性仍有一定的意義.然而,這里討論的是八次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流,由于方程組與初邊值條件的復(fù)雜性,此問題只能用數(shù)值法求解,而且計算結(jié)果較解析法更為精確.與12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流[2]不同,8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的聲子-相位子耦合,計算結(jié)果展示了其更豐富的流動特性,其中,相位子發(fā)揮了很重要的作用.
根據(jù)8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動力學(xué)方程組[3],推導(dǎo)出極坐標(biāo)系下8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的Oseen修正[4]后的動力學(xué)方程組的一般形式.
因此,8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶[3]的終態(tài)控制方程在極坐標(biāo)下轉(zhuǎn)化為
(1)
其中,方程組(1)的最后一式是狀態(tài)方程,只有加入此方程,方程組(1)才滿足封閉性.
此部分將軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型推廣應(yīng)用到圓柱繞流的問題.如圖1所示,從無限遠(yuǎn)處有一速度為U的來流沿x軸流動.
圖1 軟物質(zhì)準(zhǔn)晶以半徑為a的圓柱繞流
無限遠(yuǎn)處壓強(qiáng)p忽略不計,在無限大的軟物質(zhì)準(zhǔn)晶中有一橫截面半徑為a的圓柱.在柱坐標(biāo)(r,θ,z)下,邊界條件有,
Vr=Ucosθ,Vθ=-Usinθ,σrr=σθθ=0,Hrr=Hθθ=0,
r=a:
Vr=Vθ=0,σrr=σrθ=0,Hrr=Hrθ=0.
(2)
初始條件為
t=0:
Vr=0,Vθ=0,ρ=ρ0,ur=uθ=0,wr=wθ=0.
(3)
由于方程組(1)很復(fù)雜,加之初邊值條件(2)和(3)比較特殊,目前無法得到其解析解,通過數(shù)值法求解,考慮用極坐標(biāo)下的有限差分法[4],差分網(wǎng)格如圖2所示.
圖2 極坐標(biāo)系下的差分網(wǎng)格
在數(shù)值計算中,用到的材料常數(shù)和幾何參量[4]為,U=0.01 m/s,ρ0=1.5 g/cm3,η=1Poise,l=7~8 nm,r/a=1.55,a=1 cm,kB=1.38×10-23J/K,T=293K,L=10 MPa,M=4 MPa,K1=0.5 L,K2=-0.1 L,B~0.2 MPaK3=0.05 L,Γu=4.8×10-17m3·s/kg,Γw=4.8×10-19m3·s/kg,A~0.2 MPa,聲子-相位子耦合彈性常數(shù)為R=0.04 M.
圖3~圖6給出了速度和聲子應(yīng)力,相位子應(yīng)力、流體黏性力的角分布,圖形規(guī)則,物理規(guī)律較明顯.其中,圖3(a),3(b)分別是圓柱外一定距離r/a=1.55處流體的徑向速度vr與軸向速度vθ的角分布.因為軟物質(zhì)準(zhǔn)晶有多個元激發(fā),受聲子場、相位子場及流體聲子場相互作用的影響,速度要小于以普通流體為介質(zhì)的速度.
圖4分別給出了聲子應(yīng)力σrr,σθθ,σrθ的角分布,這些結(jié)果只有軟物質(zhì)準(zhǔn)晶有,對于普通流體并沒有聲子場元激發(fā),因此也沒有聲子彈性應(yīng)力.
圖3 r=1.55a處速度的角分布
圖4 r=1.55a處,聲子應(yīng)力的角分布
圖5 在r=1.55a處,相位子應(yīng)力的角分布
圖6 r=3.55a處,在不同雷諾數(shù)下流體聲子黏性力的角分布
特別注意的是,與12次[2]相比較8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的圓柱繞流的計算結(jié)果里增加了相位子應(yīng)力,如圖5所示,Hrr,Hθθ,Hrθ,Hθr分別是相位子應(yīng)力的徑向,周向及兩個剪應(yīng)力分量(相位子應(yīng)力場Hrθ≠Hθr).這是因為與12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶不同,8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶存在聲子-相位子耦合,這也是8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶與12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶最大的區(qū)別,其更深層次的物理機(jī)制有待進(jìn)一步探索.
圖6顯示了流體應(yīng)力在不同雷諾數(shù)、不同來流速度和不同柱半徑下的角分布,從圖6(a),6(b),6(c)看出,雷諾數(shù)Re,來流速度U,柱半徑a都會顯著影響流體應(yīng)力的大小,因此,雷諾數(shù)在流體動力學(xué)中起到了舉足輕重的作用.關(guān)于聲子應(yīng)力、相位子應(yīng)力、流體聲子速度對Re,U和a的響應(yīng)這里就不一一列舉了,以此類推,不難驗證結(jié)果是相似的.
12次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶陸續(xù)在不同的軟物質(zhì)中,如液晶、膠體、合金、表面活性體等物質(zhì)[7-11]中發(fā)現(xiàn),雖然目前還未發(fā)現(xiàn)8次對稱軟物質(zhì)準(zhǔn)晶,但相信不久的將來會發(fā)現(xiàn),所以研究8次軟物質(zhì)準(zhǔn)晶的繞流具有深遠(yuǎn)意義.
本文將筆者計算傳統(tǒng)晶體及固體準(zhǔn)晶[12,13]和軟物質(zhì)準(zhǔn)晶[3]的矩形試樣模型的有限差分法推廣應(yīng)用到軟物質(zhì)準(zhǔn)晶圓柱繞流問題的計算,表明極坐標(biāo)下的有限差分法是一種有效且精確的方法,破解了用解析法所不能直接精確計算一些特殊邊界問題的難題,將來可以將此方法推廣到三維球形繞流的問題乃至更為復(fù)雜的邊界問題.