李發(fā)軍

摘要：許多高中學(xué)生對于課本上的內(nèi)容能看懂，老師講的知識能聽懂，但是到了考場解題時卻存在很多障礙。其主要原因是缺乏必要的數(shù)學(xué)思想方法，找不到解題思路，所以領(lǐng)會掌握數(shù)學(xué)思想方法是必要的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想，方法，解題

高考題十分重視對數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的思想方法。這是因?yàn)榻虒W(xué)思想方法比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有較高的地位和層次。凡是有助于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量、學(xué)習(xí)效益的程序、規(guī)則、技巧及調(diào)控方式均屬于數(shù)學(xué)方法。高中常用的數(shù)學(xué)方法有：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等，掌握這些方法，有利于提高解題能力。

（一）配方法

例1：求y=x+ 的最小值

解析：y=x+ =x-1+ +1=（ +12 ）2+ 34

因?yàn)?≥0 所以當(dāng) =0時，ymin=14 +34 =1

評注：二次函數(shù)或形如F（x）=a[f2（x）+bf（x）+c]類的函數(shù)的值域問題，均可用配方法。

（二）換元法

例2：已知a、b?R，a2+b2≤4，求證|3a2-8ab-3b2|≤20

證明：因?yàn)閍、b?R，a2+b2≤4，故可設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|≤5r2≤20，所以原不等式成立。

評注：三角代換是最常見的變量代換，凡條件為，x2+y2=r2或x2+y2≤r2或x2a2 ±y2b2 =1均可用三角換元。

（三）待定系數(shù)法

例3：求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，- ）和點(diǎn)N（-1， 2 ）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2A +y2B =1（A>0，B>0，A≠B）

因?yàn)闄E圓經(jīng)過（2，- ）和（-1， 2 ）兩點(diǎn)。

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x28 +y24 =1

評注：由題設(shè)條件，橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，不明確，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，為了計算方便，可設(shè)方程為

x2A +y2B =1（A>0，B>0，A≠B），這樣不必考慮焦點(diǎn)位置，直接可求出方程。

（四）數(shù)學(xué)歸納法

例4：試比較（n+1）2與3n（n ?N+）的大小

解析：當(dāng)n=1時，左=（1+1）2=4，右=31=3，所以左>右

當(dāng)n=2時，左=（2+1）2=9，右=32=9，所以左=右

當(dāng)n=3時，左=（3+1）2=16，右=33=27，所以左<右

當(dāng)n=4時，左=（4+1）2=25，右=34=81，所以左<右

由此猜想，當(dāng)n≥3，n ?N時，（n+1）2<3n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

假設(shè)n=k（k≥3）時，命題成立，即（k+1）2<3K

那么n=k+1時，3k+1=3.3K>3 （k+1）2，下面只需證3（k+1）2>（k+2）2，即證3k2+6k+3>k2+4k+4，即證2k2+2k>1

又k≥3，不等式2k2+2k>1顯然成立。

因?yàn)閚=k+1時，猜想成立，由歸納假設(shè)知當(dāng)n≥3時

（n+1）2<3n

評注：“歸納，猜想、證明”是一種符合由特殊到一般，由具體到抽象規(guī)律的科學(xué)研究方法，其過程是：根據(jù)題目條件給出的或通過計算得出的有限個事例進(jìn)行觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想出符合規(guī)律的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（五）參數(shù)法

例5：一條直線被兩直線L1：4x+y+6=0，L2： 3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求該直線的方程。

解析：設(shè)所求直線與L1、L2的交點(diǎn)分別是A、B設(shè)A（x0、y0）

因?yàn)锳B的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以B（-x0、-y0），又因?yàn)锳、B分別在直線L1、L2上

即點(diǎn)A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點(diǎn)，故所求直線的方程為x+6y=0

評注：“設(shè)而不求”是化簡運(yùn)算的一種十分重要的方法，它在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛。

（六）消去法

例6：已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP1，求線段PP1中點(diǎn)M的軌跡。

解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0、y0），則x=x0，y=y02 ，因?yàn)镻（x0、y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4，將x0=x，y0=2y代入上述方程得x2+4y2=4，即x24 +y2=1，故點(diǎn)M的軌跡是一個橢圓。

評注：本題在求點(diǎn)M（x、y）的軌跡方程時，不是直接建立關(guān)于x、y之間關(guān)系的方程，而是先尋找x、y與中間變量x0、y0之間的關(guān)系，利用已知關(guān)于x0、y0之間關(guān)系的方程，得到關(guān)于x、y之間關(guān)系的方程，這種利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法。又稱為消去法或相關(guān)點(diǎn)法。

在日常學(xué)習(xí)中，同學(xué)們不能僅僅只看課本上的漢字加幾個字母，不能僅僅停留在看和聽的初級階段，更重要的是要挖掘課本中涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，體會教材編寫意圖，努力揭示“知識背后的知識”，提煉出知識本身內(nèi)含的思想方法，并用這些思想方法去分析問題、解決問題，形成解題能力，提高教學(xué)素質(zhì)。