王鴻熠 韓先國

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100191）

自誕生至今，工業(yè)機(jī)器人在工業(yè)領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用[1]。近年來，除了在傳統(tǒng)的焊接、噴涂等領(lǐng)域的應(yīng)用外，工業(yè)機(jī)器人以其機(jī)動、靈巧等特點，開始越來越多地應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域[2-3]。但串聯(lián)機(jī)器人剛度較差，使得其應(yīng)用受到了一定的限制。

機(jī)器人動力學(xué)是對機(jī)器人剛度分析及振動分析的重要基礎(chǔ)。本文以ABB IRB4600機(jī)器人為對象，建立了考慮關(guān)節(jié)柔性的動力學(xué)模型，并給定了機(jī)器人運動軌跡，分析了機(jī)器人運動過程中的關(guān)節(jié)變形情況。

1 關(guān)節(jié)柔性模型簡化

1.1 機(jī)器人柔性來源分析

串聯(lián)型工業(yè)機(jī)器人的柔性主要體現(xiàn)在兩個方面，即連桿柔性和關(guān)節(jié)柔性[4]。連桿柔性表現(xiàn)為機(jī)器人各桿在力的作用下發(fā)生變形。關(guān)節(jié)柔性表現(xiàn)為各個關(guān)節(jié)在力的作用下發(fā)生形變。通常，機(jī)械臂各連桿剛度大于關(guān)節(jié)剛度，機(jī)器人連桿變形可以忽略，現(xiàn)僅考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)柔性造成的影響[5]。

關(guān)節(jié)柔性造成的影響主要有兩點。一是在機(jī)器人運動過程中，機(jī)器人各關(guān)節(jié)受到驅(qū)動力作用，產(chǎn)生關(guān)節(jié)變形，該形變影響了機(jī)器人的絕對定位精度。二是機(jī)器人的振動，其主要體現(xiàn)在兩個方面：當(dāng)機(jī)器人運動結(jié)束后，各關(guān)節(jié)的變形依然存在，隨著運動過程中積累的能量釋放，系統(tǒng)出現(xiàn)殘余振動；機(jī)器人在某一位姿下，受到變化的外部力作用，各關(guān)節(jié)變形也隨之改變，導(dǎo)致系統(tǒng)振動。本文重點分析機(jī)器人運動過程中及運動結(jié)束后機(jī)器人關(guān)節(jié)角度及末端振動情況。

1.2 關(guān)節(jié)柔性模型簡化

spong在1987年首先提出了柔性關(guān)節(jié)簡化模型。該簡化模型對于實際關(guān)節(jié)有如下假設(shè)：機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)力作用下只存在微小變形，該變形處于線彈性范圍內(nèi)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)可視作線性扭簧；電機(jī)轉(zhuǎn)子軸線與關(guān)節(jié)軸線同軸，可將電機(jī)轉(zhuǎn)子視為質(zhì)量均勻的軸對稱剛體；將電機(jī)視為理想力矩源，與機(jī)械動力學(xué)相比，電機(jī)電氣動力學(xué)足夠快，可以忽略其動力學(xué)影響。

根據(jù)以上假設(shè)，可以將機(jī)器人關(guān)節(jié)簡化為一線性扭簧（扭簧剛度為k）。

2 機(jī)器人運動學(xué)分析

2.1 機(jī)器人坐標(biāo)系建立

機(jī)器人坐標(biāo)系建立是機(jī)器人運動學(xué)分析及動力學(xué)分析的前提。采用前置D-H參數(shù)法，建立IRB4600關(guān)節(jié)型機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系示意圖

2.2 機(jī)器人正向運動學(xué)

機(jī)器人相鄰兩桿間的位姿變化矩陣可以表示為i可以得到機(jī)器人末端相對于機(jī)器人基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為：

3 關(guān)節(jié)柔性機(jī)器人模型

3.1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動力學(xué)

拉格朗日法推導(dǎo)機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)方程的步驟可以概括為：（1）選取機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系、電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角坐標(biāo)系為廣義坐標(biāo)；（2）求解系統(tǒng)動能表達(dá)式，包括連桿動能與電機(jī)鉆子動能；（3）求解連桿與電機(jī)轉(zhuǎn)子勢能；（4）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并推導(dǎo)動力學(xué)方程。

關(guān)節(jié)柔性的機(jī)器人連桿系統(tǒng)動力學(xué)方程可以表示為：

式中：τext為外力作用下關(guān)節(jié)力矩；M(q)為質(zhì)量矩陣；H(q,q˙)為非線性科氏力和離心力矢量；G(q)為重力項；K=diag(k1,k2,k3,k4,k5,k6)為關(guān)節(jié)剛度矩陣；D=diag(d1,d2,d3,d4,d5,d6)為關(guān)節(jié)阻尼矩陣。

3.2 關(guān)節(jié)柔性機(jī)器人運動仿真

3.2.1 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃

在關(guān)節(jié)空間內(nèi)采用三次多項式進(jìn)行軌跡規(guī)劃。對于關(guān)節(jié)i，驅(qū)動機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)角θi可表示為時間的函數(shù)，設(shè)其三次多項式參數(shù)為ai0、ai1、ai2、ai3，即：

給定機(jī)器人各關(guān)節(jié)首末角度及運動時間，即可確定機(jī)器人電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角、角速度隨時間的變化規(guī)律。表1為機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化情況，設(shè)定運動時間為2.5s。機(jī)器人在運動首末端點的速度值均為0，得到三次多項式各項系數(shù)。

表2 運動仿真起始值與終止值

3.2.2 Simulink運動仿真分析

在機(jī)器人運動過程，機(jī)器人末端所受廣義外力為0，可將式（2）改寫為：

需要注意的是，式（4）中各項的剛度不同，在數(shù)值分析中，該種形式的微分方程被稱為剛性方程，又被稱為病態(tài)方程。病態(tài)方程的求解相較于通常的微分方程更為困難，MATLAB中的simulink仿真模塊包含多種求解方法，其中的ODE15s求解方法屬于一種多步預(yù)測算法，適合求解大剛度系統(tǒng)的微分方程。

在simulink中搭建仿真模型，可以得出機(jī)器人運動過程中及運動結(jié)束后，機(jī)器人各關(guān)節(jié)的變形情況及關(guān)節(jié)角度隨時間的變化情況，通過式（1）即可得到機(jī)器人末端位置在機(jī)器人基坐標(biāo)系中X、Y、Z三個軸方向的誤差值，如圖2所示。

圖2 機(jī)器人末端振動隨時間的變化規(guī)律

分析圖2可得，在機(jī)器人運動過程中，由于關(guān)節(jié)柔性的存在，機(jī)器人末端位置與理論位置之間存在誤差，該誤差隨著運動時間的延續(xù)表現(xiàn)為末端振動情況。在運動結(jié)束后，機(jī)器人末端位置與理論位置并不重合，這是由于重力因素造成的。

4 結(jié)論

本文采用D-H參數(shù)建立了機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，求得了機(jī)器人運動學(xué)模型。采用拉格朗日法建立了考慮關(guān)節(jié)柔性的機(jī)器人動力學(xué)模型。在制定機(jī)器人各關(guān)節(jié)運動首末關(guān)節(jié)角度值和運動時間后，對機(jī)器人的運動軌跡在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行了三次多項式運動規(guī)劃。建立了simulink仿真模型，得出了機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度在指定運動情況下的關(guān)節(jié)變形情況，并分析了機(jī)器人末端振動情況，這對于工業(yè)機(jī)器人動力學(xué)相關(guān)研究有一定的借鑒意義。