劉玉春, 王洪雁

(1.周口師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院, 466001, 河南周口; 2.大連大學(xué)信息學(xué)院, 116622, 遼寧大連)

多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)以其優(yōu)越的性能吸引了科研界的注意[1]。與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)只能發(fā)射相干波形不同,MIMO雷達(dá)可發(fā)射幾乎任意波形,這也被稱為波形分集[1]。MIMO雷達(dá)可以通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形以獲得波形分集,從而改善雷達(dá)系統(tǒng)的目標(biāo)檢測(cè)[2]及參數(shù)估計(jì)[3]性能。為了改善空時(shí)自適應(yīng)處理(STAP)方法[4]的檢測(cè)性能,文獻(xiàn)[5]通過設(shè)計(jì)波形相關(guān)矩陣,最大化輸出信干噪比。需要注意的是,設(shè)計(jì)發(fā)射波形需要利用場(chǎng)景及目標(biāo)的先驗(yàn)知識(shí),而此先驗(yàn)知識(shí)只可通過估計(jì)得到,因而不可避免地會(huì)存在估計(jì)誤差,進(jìn)而基于所得非確知先驗(yàn)信息而獲得的優(yōu)化發(fā)射波形會(huì)嚴(yán)重影響MIMO雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)及參數(shù)估計(jì)性能[6]。因此,提升STAP檢測(cè)概率穩(wěn)健性的波形設(shè)計(jì)成為了MIMO雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

為提升MIMO雷達(dá)監(jiān)測(cè)性能,正交頻分復(fù)用(OFDM)技術(shù)[7]以及STAP技術(shù)[8]被引入MIMO雷達(dá)領(lǐng)域。OFDM雷達(dá)可利用多個(gè)正交子載波并行檢測(cè)目標(biāo),因而可克服頻率選擇性衰落;STAP技術(shù)可有效改善低速目標(biāo)檢測(cè)性能。文獻(xiàn)[9]通過設(shè)計(jì)OFDM波形以消除MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中的干擾,進(jìn)而改善STAP的檢測(cè)性能。由文獻(xiàn)[8-9]知,通過將OFDM波形引入MIMO雷達(dá)系統(tǒng),可顯著提高STAP方法的檢測(cè)性能?；诖?文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計(jì)OFDM波形以改善MIMO雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)及跟蹤性能。然而,上述方法所得優(yōu)化波形受非確知先驗(yàn)信息影響較大,會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)檢測(cè)及追蹤穩(wěn)健性能惡化。

針對(duì)此問題,文獻(xiàn)[11]提出了改善MIMO-STAP檢測(cè)性能的穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)方法。然而,此方法沒有考慮發(fā)射波形的物理約束,比如恒模特性等。文獻(xiàn)[12]則考慮了目標(biāo)先驗(yàn)信息未確知場(chǎng)景下改善STAP檢測(cè)性能的穩(wěn)健波形優(yōu)化方法,此方法假設(shè)系統(tǒng)噪聲為空時(shí)不相關(guān),但在實(shí)際應(yīng)用中,接收陣列陣元之間由于互耦效應(yīng)通常存在空域相關(guān)[6]。此外,此方法亦沒有考慮發(fā)射波形的物理特性。需要注意的是,文獻(xiàn)[11,12]所提穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)方法皆未利用OFDM的頻率分集優(yōu)勢(shì)以改善系統(tǒng)性能。

基于上述問題,為降低STAP檢測(cè)概率對(duì)雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的敏感性,本文提出一種基于MIMO雷達(dá)的OFDM穩(wěn)健波形優(yōu)化方法。為改善最差情況下STAP檢測(cè)概率的穩(wěn)健性,在雜波協(xié)方差矩陣不確定凸集以及波形恒模約束下,本文通過雜波協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)發(fā)射波形以最大化最差情況下輸出信干噪比,進(jìn)而改善STAP方法檢測(cè)概率的穩(wěn)健性。為求解所得非線性問題,先將非凸恒模約束松弛為低峰均比凸約束,而后提出一種基于對(duì)角加載[13]的迭代方法。所提迭代方法中每步都可松弛為半定規(guī)劃問題,從而獲得高效求解[14]。

1 問題描述

本文所用模型描述如下:分別具有M、N個(gè)陣元的發(fā)射接收陣列平行放置,相鄰陣元間距分別為dT、dR;高度為h的雷達(dá)以速度v平行于收發(fā)陣列運(yùn)動(dòng),目標(biāo)則以速度vt向雷達(dá)運(yùn)動(dòng)。類似于文獻(xiàn)[7],每個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射一個(gè)OFDM子帶信號(hào)。脈沖重復(fù)周期(pulse repetition interval, PRI)為T的L個(gè)脈沖構(gòu)成一個(gè)相干處理周期,則第l個(gè)PRI中第n個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)可表示為

dtm+2vt)]+2πfm}dθ+zn,l

(1)

式中:sm=αm⊙φm為第m個(gè)陣元發(fā)射的離散基帶復(fù)信號(hào),αm=[αm1,αm2,…,αmK]、φm=[φm1,φm2,…,φmK]分別為信號(hào)幅度及相位,其中‖φm‖2=1,K為采樣數(shù)目,⊙為Hadamard積,‖·‖為范數(shù);fm=f0+mΔf,f0為載頻,Δf為子帶間隔;ρt及ρ(θ)分別為目標(biāo)及雜波幅度;λ、zn,l分別為載波長(zhǎng)和干擾加噪聲項(xiàng)。

離散化雜波,經(jīng)過下變頻,式(1)可重新表示為

dtm+2vt]}+zn,l

(2)

式中:NC為雜波采樣數(shù)。令fs=dRsinθt/λ,fD=2(vsinθt+vt)T/λ,fsi=dRsinθi/λ,γ=dT/dR,β=2vT/dR,則基于式(2),第l個(gè)PRI內(nèi)接收數(shù)據(jù)可表示如下

Xl=ρtexp{j2πfDl}abTS+

?IN)(b?a)+

基于式(4),可得全部空時(shí)快拍如下

ρt(IL?Φ?IN)(uD?b?a)+(IL?Φ?

式中:uD=[1,exp{j2πfD},…,exp{j2π(L-1)·fD}]T及uD,i=[1,exp{j2πfD,i},…,exp{j2π(L-1)·fD,i}]T分別為位于θ的目標(biāo)以及θi的雜波塊的多普勒導(dǎo)向矢量。

根據(jù)最小方差畸變準(zhǔn)則[5],最優(yōu)信干噪比可表示如下

?Φ?IN)(uD?b?a)]H·

(6)

其中

(7)

(IL?ΦH?IN)H+IL?IM?Q=

(IL?Φ?IN)VΞVH(IL?ΦH?

IN)H+IL?IM?Q

(8)

將式(8)代入(6),可得

RSIN=|ρt|2[(IL?Φ?IN)(uD?b?a)]H·

[(IL?Φ?IN)VΞVH(IL?Φ?IN)H+IL?

IM?Q]-1[(IL?Φ?IN)((uD?b?a)]=

|ρt|2(Avt)H(ARCAH+QC)-1(Avt)

(9)

式中:QC=IL?IM?Q?0;RC=VΞVH0;A=IL?Φ?IN。

根據(jù)矩陣求逆定理[16],式(9)重新表示如下

計(jì)算式(10)需要vt、RC等參數(shù)值。然而,實(shí)際中上述值須經(jīng)估計(jì)得到,因而存在不確定性,進(jìn)而所得檢測(cè)概率可能對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差比較敏感,此現(xiàn)象已在文獻(xiàn)[5-6]中由仿真表述。本文僅考慮雜波協(xié)方差矩陣,即RC的影響。

需要注意的是,實(shí)際中雷達(dá)波形應(yīng)具有恒模特性以使得發(fā)射機(jī)處于飽和狀態(tài)從而避免非線性效應(yīng)。

式中:Cm為第m個(gè)波形幅度;P為總發(fā)射功率。

2 基于對(duì)角加載的迭代方法

由于問題式(12)中存在波形恒模約束,因此成為NP-hard問題[13]。此類問題不宜采用諸如凸優(yōu)化等傳統(tǒng)方法求解[14]。根據(jù)文獻(xiàn)[17],具有有限符號(hào)集的恒模信號(hào)不能較好滿足波形設(shè)計(jì)需求。因此,類似于文獻(xiàn)[18],恒模約束可利用如下低峰均比代替,即

基于式(13),式(12)可以重寫為

由于|αm(k)|=Cm,式(14)可以重新表示為

?0

(17)

基于式(18),式(16)中內(nèi)層優(yōu)化問題可等價(jià)為

式中:t為輔助優(yōu)化變量。

基于Schur補(bǔ)定理[15],式(19)可表示為如下半定規(guī)劃問題

?0

(21)

類似于內(nèi)層優(yōu)化,式(23)可等價(jià)為如下半定規(guī)劃問題

其中:t為輔助優(yōu)化變量。

由文獻(xiàn)[19]可知,半定規(guī)劃的優(yōu)勢(shì)是可以通過快速數(shù)值方法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)以任意精度收斂至全局最優(yōu)值,因而式(20)及式(24)可獲得高效求解。本文利用凸優(yōu)化技術(shù)對(duì)這2個(gè)問題進(jìn)行高效求解。

基于上述討論,類似于文獻(xiàn)[20]所提算法3,本文提出一種基于對(duì)角加載的迭代算法以設(shè)計(jì)發(fā)射波形,從而最大化最差情況下的輸出信干噪比,進(jìn)而改善STAP檢測(cè)概率相對(duì)于雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的穩(wěn)健性能,所提算法可描述如下:

(1)給定發(fā)射波形初始值;

(2)求解式(20)以得到最優(yōu)ΔRC;

(3)求解式(24)以得到最優(yōu)‖αm‖2;

(4)重復(fù)步驟2和3,直到相鄰2次迭代最差輸出信干噪比差別不明顯(本文仿真部分采用如下迭代終止條件‖RSIN(i)-RSIN(i-1)‖≤10-2,其中i為迭代步數(shù));

(5)基于所得最優(yōu)‖αm‖2,可通過文獻(xiàn)[21]提出的隨機(jī)化技術(shù)得到最終可發(fā)射波形。

3 仿真及分析

(a)MIMO雷達(dá)A (b)MIMO雷達(dá)B圖1 發(fā)射波束方向圖

采用本文方法、非相關(guān)波形方法及非穩(wěn)健方法所得平均最差情況下輸出信干噪比隨陣列信噪比或雜噪比變化曲線如圖3所示。由圖3可知,與非相關(guān)波形及非穩(wěn)健方法相比,本文方法具有較高的平均最差情況下輸出信干噪比,也即本文方法具有較好的穩(wěn)健性。

(a)雷達(dá)A與陣列信噪比的關(guān)系

(b)雷達(dá)B與陣列信噪比的關(guān)系

(c)雷達(dá)A與雜噪比的關(guān)系

(d)雷達(dá)B與雜噪比的關(guān)系圖2 3種方法在最差情況下的檢測(cè)性能對(duì)比

為檢驗(yàn)對(duì)角加載因子對(duì)最差情況下輸出信干噪比的影響,陣列信噪比和雜噪比均為30 dB條件下,本文方法得到的最差情況下輸出信干噪比隨ε或者ρ變化如圖5所示。由圖5可知,本文方法所得輸出信干噪比隨對(duì)角加載因子與波形相關(guān)矩陣或者雜波協(xié)方差矩陣最大特征值比值波動(dòng)非常明顯,表明對(duì)角加載因子對(duì)輸出信干噪比影響較大。

(a)雷達(dá)A與陣列信噪比的關(guān)系

(b)雷達(dá)B與陣列信噪比的關(guān)系

(c)雷達(dá)A與雜噪比的關(guān)系

(d)雷達(dá)B與雜噪比的關(guān)系圖3 3種方法在平均最差情況下的穩(wěn)健性能對(duì)比

(a)雷達(dá)A (b)雷達(dá)B圖4 最差情況下輸出信干噪比隨σ的變化情況

另外由圖5可知,當(dāng)ε=λmax(Ψ)/1 000及ρ=λmax(RC)/1 000時(shí),可得到較優(yōu)輸出信干噪比,這也是本文對(duì)角加載因子取值的原因。

(a)雷達(dá)A隨ε變化 (b)雷達(dá)A隨ρ變化

(c)雷達(dá)B隨ε變化 (d)雷達(dá)B隨ρ變化圖5 本文方法的輸出信干噪比隨ε和ρ的變化關(guān)系

(a)雷達(dá)A (b)雷達(dá)B圖6 本文方法的輸出信干噪比隨迭代次數(shù)的變化情況

最后,為驗(yàn)證所提基于對(duì)角加載迭代方法的收斂性,圖6刻畫了最差情況下輸出信干噪比隨迭代次數(shù)的變化。由圖6可知,不論MIMO雷達(dá)A或B,本文方法大約經(jīng)過9次迭代就可以收斂。另外,由本文方法所得到的最差情況下輸出信干噪比為關(guān)于迭代次數(shù)的非下降函數(shù)。

4 結(jié) 論

通過將雜波協(xié)方差矩陣不確定凸集包含進(jìn)波形設(shè)計(jì)問題,本文研究了環(huán)境先驗(yàn)知識(shí)未確知條件下穩(wěn)健波形優(yōu)化問題。在波形恒模特性及雜波協(xié)方差矩陣不確定凸集約束下,構(gòu)建穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)問題。為求解所得非線性問題,在將恒模約束松弛為低峰均比約束基礎(chǔ)上,本文提出一種基于對(duì)角加載的迭代方法?；趯?duì)角加載方法,穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)中內(nèi)外層子優(yōu)化問題在每步迭代內(nèi)都可轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題。與非相關(guān)波形及非穩(wěn)健方法相比,本文方法可顯著改善MIMO雷達(dá)檢測(cè)概率的穩(wěn)健性。