安徽省滁州中學(239000)張曉建

一、問題引進

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過C上一點P(x0,y0)(y0/=0)的直線l:y0y=1(a＞0)與直線AF相交于點M,與直線相交于點N.證明：當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.答案：(1)

評析本題是2014年江西省高考理科試題.對于此題我們可以發(fā)現(xiàn)直線l為雙曲線在其上某點的切線,AF為過雙曲線焦點且與y軸垂直的直線,為該雙曲線的準線,最后的答案恰好是雙曲線的離心率e.那么,是否對于相關曲線具有一般性呢?

二、問題的推廣—-三個定理

由于橢圓,拋物線和雙曲線可以看作與無窮遠處分別有零個,一個,兩個交點,又雙曲線,橢圓各有唯一的中心且為有窮原點,而拋物線的中心為無窮遠點.由此,這三種曲線存在如下規(guī)律：

命題1橢圓的兩焦點連線先演變成拋物線上自焦點出發(fā)的射線(中心O由有窮原點演變成右無窮遠點),繼而演變成雙曲線軸上自焦點出發(fā)的兩條無重合的射線(中心又由無窮遠點演變成左邊有窮遠點);

命題2橢圓內部含焦點區(qū)域(或外部不含焦點區(qū)域)先演變成拋物線的右側含焦點區(qū)域(或左側不含焦點的外部區(qū)域),繼而演變成雙曲線左右兩支含焦點的內部區(qū)域(或左右兩支中間不含焦點的外接區(qū)域)[1].

通過互變規(guī)律,我們可以得到對于問題1的答案,在此引申為如下的：

定理1點P(x0,y0)(y0/=0)是橢圓C:1(a＞b＞0)上的任意一點,F為右焦點,AF⊥x軸,直線l是過P的橢圓的切線,若直線l與直線AF相交于點M,與直線相交于點N,則恒為定值,此定值為e(e為離心率).

定理2點P(x0,y0)(y0/=0)是雙曲線C:1(a＞b＞0)上的任意一點,F為右焦點,AF⊥x軸,直線l是過P的雙曲線的切線,若直線l與直線AF相交于點M,與直線相交于點N,則恒為定值,此定值為e(e為離心率).

定理3點P(x0,y0)(y0/=0)是拋物線C:y2=2px(p＞0)上的任意一點,F為焦點,AF⊥x軸,直線l是過P的拋物線的切線,若直線l與直線AF相交于點M,與直線相交于點N,則恒為定值,此定值為1(1為離心率)[2].

三、統(tǒng)一方程下的證明

對于以上三個定理,我們可以分別從橢圓,雙曲線,拋物線的標準方程逐一證明.而一一證明存在著諸多不便,且較為繁瑣.結合圓錐曲線統(tǒng)一方程,對此我們想到了可以從統(tǒng)一方程角度證明圓錐曲線的統(tǒng)一性質：點P(x0,y0)(y0/=0)是圓錐曲線上的任意一點,F為焦點,AF⊥x軸,直線l是過P的圓錐曲線的切線,若直線l與直線AF相交于點M,與該焦點對應的準線相交于點N,則恒為定值,此定值為e(e為離心率).

證明圓錐曲線的統(tǒng)一方程：

P(x0,y0)為圓錐曲線上一點,則在P點處的切線方程為

②中令x=0,則

所以

②中令x=-p,則

所以

又由①可得：

故

代入③中可得：

四、圓錐曲線統(tǒng)一方程在解決解析幾何中的應用

問題1橢圓E:=1(a＞b＞0)的左焦點為點F1,右焦點為點F2,離心率過點F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.

圖1

(I)求橢圓E的方程;

(II)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.

現(xiàn)用圓錐曲線統(tǒng)一方程可證明如下：

取過焦點F,且與準線l(與焦點F相對應的)垂直的直線為x軸,點F(O)為坐標原點,建立直角坐標系.設P(x0,y0),橢圓的方程為：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0,則切線PQ的方程為：

把直線x=-p代入①可得：結合F(0,0),故所以以PQ為直徑的圓恒過該準線對應的焦點.

問題2如圖2,已知P是過橢圓0)左準線與x軸的交點M的弦AB在兩端點處的切線的交點,線段AB的中點為C,F為橢圓的左焦點,則

(I)PF⊥x軸;

(II)kPO·kAB為定值.

圖2

圖3

解(I)如圖3,取過焦點F,且與準線l垂直的直線為x軸,點F為坐標原點,建立直角坐標系設P(x0,y0),橢圓的方程為：

則直線AB的方程為：

由題直線AB過點M(-p,0),代入直線方程可得：

化簡得到：x0=0,故PF⊥x軸.

(II)由P(0,y0),O(c,0),可得而為定值.(若化為a,b表達式即為

五、小結

圓錐曲線的統(tǒng)一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0,其涉及參量為離心率和焦準距,故已知條件有焦點和焦點對應準線,此時用統(tǒng)一方程很方便通過對該結論在統(tǒng)一方程下的證明(讀者也可以從極坐標角度進行證明),相信讀者也感受到了圓錐曲線的美麗與奧妙.希望通過此題,可以激發(fā)讀者學習探索圓錐曲線奧秘的興趣.