闕仁波

(廈門(mén)大學(xué)嘉庚學(xué)院土木系 福建漳州 363105)

0 引言

位移法是解超靜定結(jié)構(gòu)的一種方法，與力法相比，它在解高次超靜定結(jié)構(gòu)和易于程序化方面，比力法更具優(yōu)勢(shì)[1-4]，但它在概念上相對(duì)較難，而對(duì)于很多概念，如獨(dú)立線位移、鉸化法和位移牽連關(guān)系等，在很多教材[1-5]和文獻(xiàn)[6-11]中的敘述都比較零散，缺乏富有邏輯的串聯(lián)；或只給“其然”，缺乏對(duì)“所以然”的證明；或就題論題，缺乏對(duì)“萬(wàn)變不離其宗”之宗的闡釋?zhuān)换蚪Y(jié)論缺乏普適性，難以應(yīng)對(duì)“常規(guī)”之外的題目；或有謬誤[7-8]；諸如此類(lèi)。在結(jié)構(gòu)必須滿足的平衡條件、荷載-位移關(guān)系和位移協(xié)調(diào)條件中，難點(diǎn)往往在位移協(xié)調(diào)條件的建立上。此外，很多難點(diǎn)又與轉(zhuǎn)角位移方程導(dǎo)出時(shí)所基于的前提和假設(shè)相關(guān)。鑒于此，本文擬追根溯源，然后從源點(diǎn)出發(fā)，較系統(tǒng)全面地理清理順位移法的內(nèi)在邏輯關(guān)系，從而破解難點(diǎn)。

1 轉(zhuǎn)角位移方程的導(dǎo)出和位移法的基本思想

位移法是在力法之后基于力法而發(fā)展起來(lái)的，它所用到的轉(zhuǎn)角位移方程、固端彎矩和固端剪力公式最初都是通過(guò)力法推導(dǎo)出來(lái)的。對(duì)于圖1中的3種單跨超靜定結(jié)構(gòu)，設(shè)AB桿為等截面(等EI)直桿，引起其內(nèi)力的因素可能是荷載、溫變和桿端位移等，現(xiàn)先用力法推導(dǎo)因桿端位移所引起的桿端彎矩和桿端剪力公式[3]。

(a)

(b)

(c)圖1 等截面單跨超靜定梁

(a)

(b)圖2 圖1(a)的基本體系

圖1(a)所示為三次超靜定結(jié)構(gòu)，按圖2(a)解除多余約束。忽略軸向受壓時(shí)的P-Δ效應(yīng)和幾何剛度，則FNBA對(duì)彎矩和剪力無(wú)影響，圖2(a)可簡(jiǎn)化為圖2(b)計(jì)算；忽略軸向變形，且設(shè)彎曲變形是微小的，則可近似取弦長(zhǎng)等于原長(zhǎng)，弦轉(zhuǎn)角φ=Δ/l(具體原因請(qǐng)見(jiàn)3.1所述)；忽略剪切變形，由圖乘法可得：

對(duì)于圖1(b)，MBA=0(力邊界條件)為已知，代入式(1)可得：

可見(jiàn)，θB不獨(dú)立。

對(duì)于圖1(c)，F(xiàn)QAB=FQBA=0(力邊界條件、剪力靜定)和θB=0(位移邊界條件、滑動(dòng)支座)為已知，由式(1)可得：

可見(jiàn)，Δ不獨(dú)立。

疊加可得總的桿端彎矩和桿端剪力：

式(4)即通過(guò)力法推導(dǎo)出來(lái)的、作為位移法基礎(chǔ)的公式，它是考慮了位移協(xié)調(diào)條件的荷載-位移關(guān)系。位移法的基本體系法即通過(guò)附加約束，將原結(jié)構(gòu)解構(gòu)為一個(gè)個(gè)如圖1所示的3種基本單跨超靜定單元和可能存在的靜定部分，靜定部分只需考慮平衡條件即可確定內(nèi)力，只對(duì)超靜定部分應(yīng)用位移法。通過(guò)式(4)求出各單元的桿端彎矩和桿端剪力，再通過(guò)重構(gòu)，求出各個(gè)附加約束處的約束力并令其為零(即向原結(jié)構(gòu)等價(jià)轉(zhuǎn)化，原結(jié)構(gòu)本無(wú)附加約束，故附加約束力應(yīng)為零)，從而建立平衡方程，求解得基本未知量；進(jìn)而桿端彎矩，將每一基本單跨解除限制轉(zhuǎn)動(dòng)的桿端約束，并代以相應(yīng)的約束力矩(大小和方向與桿端彎矩相同)，即成靜定結(jié)構(gòu)，從概念上完成“解超靜定”(實(shí)際中則可能采用疊加法)。

圖2(b)中，未知量有MAB、MBA、FQAB、FQBA、θA、θB和Δ共7個(gè)，已建立了4個(gè)方程(式(1))，將MAB、MBA、FQAB和FQBA均表示為以θA、θB和Δ為自變量的因變量，一旦后者求出，前者即可求出，故θA、θB和Δ為獨(dú)立變量，或基本未知量，此處，“基本”即“獨(dú)立”。按此定義，根據(jù)式(2)和式(3)可知，圖1(b)的θA和Δ、圖1(c)的θA為基本未知量。

2 適用條件和解題要點(diǎn)

式(1)～(4)導(dǎo)出過(guò)程中所引入的前提和假設(shè)，以及所得出的一些結(jié)論，既決定了位移法的適用條件，也提示了位移法的解題要點(diǎn)，具體闡述如下。

2.1 非等截面直桿應(yīng)在截面突變處分為不同的基本單元

圖1中的3種基本單元，桿件均為等截面直桿，故若某直桿不是全長(zhǎng)等截面，則截面突變處應(yīng)按剛結(jié)點(diǎn)處理，分桿件為不同的基本單元，如圖3所示。

(a) (b) 圖3 非等截面直桿梁

2.2 忽略軸力影響對(duì)支座性質(zhì)的影響

在式(1)～(4)的推導(dǎo)過(guò)程中，引入了忽略軸力影響的假定，故圖2(a)可簡(jiǎn)化為圖2(b)計(jì)算。由此，就求被解構(gòu)的基本單元的彎矩和剪力而言，圖4(a)與圖4(b)等效。若已求出A端彎矩，解除A端限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，并代以相應(yīng)的約束力矩，則圖4(a)和圖4(b)均可按圖5所示的簡(jiǎn)支梁計(jì)算，即圖6(a)本為一次超靜定結(jié)構(gòu)，但若忽略軸力的影響，求彎矩和剪力時(shí)可按圖6(b)計(jì)算，即圖6(a)為彎矩和剪力靜定、軸力靜不定結(jié)構(gòu)。在剛架中，一般先求彎矩，再由對(duì)桿端求矩平衡、求桿端剪力，進(jìn)而由結(jié)點(diǎn)投影平衡求軸力，故某單元的軸力還取決于其它單元的剪力或軸力，不能認(rèn)為圖4(a)和圖6(a)的軸力為零。

(a) (b) 圖4 忽略軸力影響時(shí)的等效

圖5 圖4的基本體系

(a) (b) 圖6 軸力靜不定、彎矩和剪力靜定

當(dāng)忽略軸向變形且只受軸力時(shí)，圖7(a)～ (c)均可等效為圖7(d)，如此可簡(jiǎn)化分析計(jì)算。

(a) (b)

(c) (d) 圖7 忽略軸向變形且只受軸力時(shí)的等效

2.3 只對(duì)超靜定部分應(yīng)用位移法

與力法拆除多余約束形成基本體系相比，位移法是對(duì)超靜定部分附加約束形成基本體系。因靜定部分只需考慮平衡條件即可求解，且支座位移在靜定部分不產(chǎn)生內(nèi)力，故若原結(jié)構(gòu)中有靜定部分，可先作如下預(yù)處理以簡(jiǎn)化計(jì)算：先根據(jù)平衡條件求解靜定部分，然后將其去掉，代以其對(duì)超靜定部分的作用力，只對(duì)超靜定部分應(yīng)用位移法(注：矩陣位移法中則同時(shí)考慮靜定部分，約束住所有結(jié)點(diǎn)位移)。但請(qǐng)注意，不要去掉靜不定部分。例如，按對(duì)圖6的分析方法可分析得圖8(a)中DF進(jìn)而FG的彎矩和剪力靜定、軸力靜不定，而CB則全靜定，故可按圖8(b)所示按位移法計(jì)算，又按圖7的分析，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為圖8(c)，由此得基本體系如圖8(d)。

(a) (b)

(c) (d) 圖8 只對(duì)超靜定部分應(yīng)用位移法

3 忽略軸向變形(考慮溫變時(shí)例外)條件下的位移協(xié)調(diào)條件分析

3.1 轉(zhuǎn)動(dòng)

lB?B=l(1-cosφ)=2lsin2(φ/2)

(5)

lB?B′=lsinφ

(6)

圖9 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件

例如圖10中，若ACBD， 則AC桿和BD桿的C點(diǎn)和D點(diǎn)分別沿垂直于AC和BD，且與原來(lái)在同一高度上的直線運(yùn)動(dòng)，ΔCA和ΔDB即AC桿和BD桿的側(cè)移。由此可知，CD無(wú)側(cè)移，若忽略CD桿的軸向變形，則ΔCA=ΔBD。

圖10 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件舉例

若一根桿件的兩端分別繞與之相連的兩根桿件的遠(yuǎn)端作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)前述可知，可近似以沿切線運(yùn)動(dòng)代替沿弧線運(yùn)動(dòng)，從而兩根桿件(或桿件的延長(zhǎng)線)的交點(diǎn)，必為瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)(否則，該點(diǎn)將有兩個(gè)不同方向的位移，違反位移的唯一性)。如圖11(a)中產(chǎn)生Δ3=1時(shí)BC桿的B端、C端和O點(diǎn)(虛交點(diǎn))，以及圖12中產(chǎn)生Δ4=1時(shí)BD桿的B端、D端和C點(diǎn)(實(shí)交點(diǎn))。由此，一方面，可建立桿件兩端位移之間的牽連關(guān)系，如φCB=ΔB/lOB=ΔC/lOC，如圖11(a)所示；另一方面，當(dāng)考慮與側(cè)移相關(guān)的平衡時(shí)，若截?cái)嗟母鳁U(或各桿的延長(zhǎng)線)匯交于瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)，則可對(duì)該點(diǎn)求矩，將軸力排除在外，以簡(jiǎn)化計(jì)算，如圖11(b)所示[3,4,6,11]。若采用投影平衡，則方程中將含軸力，還得通過(guò)結(jié)點(diǎn)平衡，先將軸力采用剪力表示出來(lái)；對(duì)于截?cái)鄡筛陨霞炔黄叫幸膊粎R交桿件的情況，要么采用投影平衡，要么采用能量法[11]。

(a) (b)圖11 瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)(虛交點(diǎn))

圖12 瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)(實(shí)交點(diǎn))

3.2 平動(dòng)

圖13中，若A、B分別平移到A′和B′，且AA′∥BB′，若忽略軸向變形，假設(shè)弦線A′B′與AB等長(zhǎng)，則須ΔA=ΔB，AB∥A′B′，AB桿無(wú)側(cè)移。

圖13 平動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件

例如圖14中，按3.1所述，A、B、C三點(diǎn)的位移分別垂直于三根相互平行的柱，故AA′∥BB′∥CC′， 若忽略AB和BC的軸向變形，則由上述結(jié)論可得：ΔA=ΔB，ΔB=ΔC，AB桿和BC桿無(wú)側(cè)移。

圖14 平動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件舉例

3.3 平面運(yùn)動(dòng)

(a) (b) (c) 圖15 平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件

圖16 平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件舉例1

例如，可采用圖17(b)來(lái)分析圖17(a)中Δ2=1時(shí)AB桿的側(cè)移，lAA″=lBB′，A′A″⊥A″B′，由正弦定理從ΔAA′A″中可求得：lBB′=4/3， 側(cè)移lA′A″=5/3。注意，盡管實(shí)際中A點(diǎn)不會(huì)沿AC豎向移動(dòng)，但并不影響分析結(jié)果。

(a) (b)圖17 平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移協(xié)調(diào)條件舉例2

對(duì)圖15(a)和(c)，可采用類(lèi)似圖11或圖12的方法，設(shè)A點(diǎn)和B點(diǎn)分別沿過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的兩根桿件的切線移位，則過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)分別作AA′和BB″的垂線，它們的交點(diǎn)O即為瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)。根據(jù)平面圖形繞瞬時(shí)不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角等于繞任意基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角的特點(diǎn)，則桿件繞基點(diǎn)A′轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角(即弦轉(zhuǎn)角φ)等于繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角，由此可方便地確定弦轉(zhuǎn)角φ[11]以及ΔA和ΔB。

圖15中，當(dāng)BB′與BB″在同一直線上，則必有：ΔBA=0，即AB桿無(wú)側(cè)移，且ΔB=ΔA，退化為圖13所示的平動(dòng)。如圖10中的CD桿、圖14中的AB桿和BC桿。

4 抗彎剛度無(wú)窮大時(shí)的位移牽連和力矩分配

位移有剛體位移(桿件本身為剛體或桿件作整體同步平移)和變形兩種形式，EI→∞的桿件本身不會(huì)發(fā)生彎曲變形而產(chǎn)生角位移(即變形所致的角位移為0)，若再加上忽略軸向變形的假定，以及同一剛結(jié)點(diǎn)處各桿的轉(zhuǎn)角相等的條件，則它的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)或剛體平移將會(huì)引起位移牽連，減少基本未知量。

例如，設(shè)圖18(a)的BCD的EI→∞，則它只會(huì)繞C點(diǎn)作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面，如3.1所述，忽略軸向變形，B點(diǎn)和D點(diǎn)將產(chǎn)生垂直于BD的豎向線位移，導(dǎo)致ΔBA=-lΔ1，因E點(diǎn)無(wú)豎向約束，故在D點(diǎn)的帶動(dòng)下，DE將作整體同步平移，不產(chǎn)生內(nèi)力；另一方面，根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)處各桿的轉(zhuǎn)角相等，可得AB桿的θB=Δ1和DE桿的θD=Δ1。原本的4個(gè)基本未知量θB、ΔB、θC和θD減為一個(gè)：θC=Δ1。

(a)

(b)圖18 抗彎剛度無(wú)窮大時(shí)的位移牽連

當(dāng)EI→∞的桿件的結(jié)點(diǎn)作用外力矩時(shí)，根據(jù)按轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分配力矩的原則可知，該外力矩將全由該桿件承擔(dān)，其它參與力矩分配的桿件分配所得的力矩為零。附加剛臂的EI→∞，當(dāng)附加剛臂處作用有外力矩時(shí)，外力矩由附加剛臂單獨(dú)承擔(dān)，不會(huì)在結(jié)構(gòu)內(nèi)引起內(nèi)力，由此可快速求出自由項(xiàng)。如圖24中，外力矩F1l僅由B點(diǎn)的附加剛臂承受，其它桿件無(wú)彎矩，故自由項(xiàng)F1P=F1l，F(xiàn)2P=0。

5 一端固定、一端滑動(dòng)，且桿軸線與滑動(dòng)鏈桿斜交的單跨分析

圖1(c)中，桿件軸線與滑動(dòng)端的鏈桿平行，故沿桿件切向的剪力靜定。若不平行(圖19(a))，則剪力不靜定(圖19(b))，若將支座反力沿軸向、切向和轉(zhuǎn)向分解(圖19(c))，則從限制軸向線位移、切向線位移和轉(zhuǎn)角3個(gè)自由度的角度來(lái)看，圖19(a)與圖1(a)一樣可看作是兩端固定的(圖19(d))，但跨長(zhǎng)沿桿軸長(zhǎng)，θB=0，Δ可按式(10)計(jì)算。

(a) (b)

(c) (d) 圖19 桿軸線與滑動(dòng)鏈桿斜交的單跨

實(shí)際上，若從矩陣位移法的視角來(lái)看，圖1和式(1)～式(4)的分析都屬于單元分析，故對(duì)于圖19(a)所示的單跨結(jié)構(gòu)，可先通過(guò)坐標(biāo)變換，將其轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)下，再與圖1(a)一樣分析。

F=[FAxFAyMAFBxFByMB]T；

Δ=[uAxuAyθAuBxuByθB]；

圖中所示各量的指向均規(guī)定為正向。

(a) (b)

(c) (d) 圖20 內(nèi)力和位移的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

從圖20(c)可見(jiàn)，若忽略軸向變形，則Δl=uB+uA=0，而側(cè)移Δ=vB+vA，由式(8)可得：

-cosα(uAx-uBx)+sinα(uAy-uBy)=0

(9)

Δ=-sinα(uAx-uBx)-cosα(uAy-uBy)

(10)

當(dāng)滑動(dòng)向沿y向時(shí)，uBx=0，F(xiàn)By=0，由式(9)可看出，uB=uBy不獨(dú)立。

若AB上作用著不垂直于桿軸的荷載，如圖21(a)中的Fx、Fy和M，則由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得：

(a) (b)圖21 荷載的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

圖22 荷載的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換舉例

實(shí)際上，式(7)～(11)對(duì)任意支座形式的斜桿均成立，而不僅限于圖19(a)所示的情形。式(9)和(10)可作為求解任意忽略軸向變形的桿件(不僅限于斜桿和滑動(dòng)支座)兩端位移牽連關(guān)系的解析式。

綜上所述，圖19(a)的轉(zhuǎn)角位移方程為：

其中，l′=l/cosα；i′=EI/l′；Δ由式(10)確定，也可按3.3所述的方法確定。

6 對(duì)只承受結(jié)點(diǎn)集中荷載的無(wú)側(cè)移剛架的分析

若忽略軸向變形，對(duì)于無(wú)側(cè)移(即無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移)的剛架，當(dāng)只承受結(jié)點(diǎn)集中荷載時(shí)，彎矩為零[3]，剪力也為零。

利用上述特點(diǎn)，一方面可簡(jiǎn)化結(jié)點(diǎn)荷載作用下自由項(xiàng)的計(jì)算，例如圖23中，當(dāng)只考慮結(jié)點(diǎn)D處30kN的集中力作用時(shí)，各桿均無(wú)彎矩和剪力，由D、E處的結(jié)點(diǎn)力矩平衡和DEF的水平投影平衡可得：F1P=F2P=0，F(xiàn)3P=-30kN ；另一方面，在作如2.3所述的簡(jiǎn)化過(guò)程中，若靜定部分對(duì)超靜定部分的作用力屬于結(jié)點(diǎn)集中力，則當(dāng)無(wú)側(cè)移時(shí)，不引起彎矩和剪力，可去掉以簡(jiǎn)化計(jì)算，例如圖8(d)可簡(jiǎn)化為圖24計(jì)算。

圖23 只受結(jié)點(diǎn)集中荷載的無(wú)側(cè)移剛架圖24 圖8(d)的簡(jiǎn)化

7 基本未知量的確定

位移法(手算)和矩陣位移法(電算)不同，后者追求統(tǒng)一性，將所有結(jié)點(diǎn)位移加以約束，從而使每一跨都成為兩端固定梁，一次性求出所有未知結(jié)點(diǎn)位移；而前者則力求計(jì)算量少，只通過(guò)附加約束，約束住獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移，將原結(jié)構(gòu)解構(gòu)為一個(gè)個(gè)如圖1所示的3種基本單跨超靜定單元(圖19(a)相當(dāng)于圖1(a))和可能存在的靜定部分。取獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移作為自變量，而將其它未知結(jié)點(diǎn)位移、桿端彎矩和桿端剪力表示為它們的因變量，如式(1)～式(3)和式(12)所示，故在確定基本未知量時(shí)，一定要準(zhǔn)確把握“基本”和“未知”兩個(gè)概念，如圖1(c)中，Δ不獨(dú)立，故非“基本”，θB=0，故非“未知”。

從圖1和式(1)中可看出，就某一超靜定單跨而言，一個(gè)結(jié)點(diǎn)位移獨(dú)立與否，取決于該結(jié)點(diǎn)處與之對(duì)應(yīng)方向(軸向、切向和轉(zhuǎn)向)的力(力邊界條件)已知與否，若已知，則不獨(dú)立，否則，獨(dú)立；結(jié)點(diǎn)位移未知與否，取決于與之對(duì)應(yīng)的位移邊界條件是否未知。

對(duì)圖25(a)～(b)所示結(jié)構(gòu)，彎矩和剪力都靜定，利用單位荷載法可得：

此外，從前述可知，位移牽連(如EA→∞或EI→∞的假設(shè)所致)也會(huì)減少結(jié)點(diǎn)位移的獨(dú)立性。

(a) (b)圖25 彎矩和剪力靜定的結(jié)構(gòu)

(a)

(b)

(c)圖26 單位荷載作用下的彎矩圖

由圖1、圖19和圖25可見(jiàn)，只有剛結(jié)點(diǎn)處的角位移才獨(dú)立；由圖1(c)、圖25(a)和圖25(b)可見(jiàn)，剪力靜定桿的側(cè)移不獨(dú)立。

外部剛結(jié)點(diǎn)(構(gòu)件與基礎(chǔ)或墻體的剛性聯(lián)結(jié)點(diǎn)，即固定支座)處的角位移或?yàn)榱悖蛞阎?，故只有?nèi)部剛結(jié)點(diǎn)(構(gòu)件與構(gòu)件的剛性聯(lián)結(jié)點(diǎn))處的角位移為獨(dú)立角位移。此外，還要考慮可能存在的位移牽連對(duì)獨(dú)立角位移的減少。

平面內(nèi)，一個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，即兩個(gè)線位移，在忽略軸向變形的情況下，每根鏈桿可提供一個(gè)沿軸向的約束。故若將所有內(nèi)部剛結(jié)點(diǎn)、外部剛結(jié)點(diǎn)、滑動(dòng)聯(lián)結(jié)和滑動(dòng)支座處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束都去掉，只剩下限制線位移的約束，然后來(lái)判斷需要添加多少根鏈桿才能使得剩下的體系幾何不變且無(wú)多余約束；并減去為限制剪力靜定桿如圖1(c)、圖25(a)和圖25(b)所示切向位移而添加的鏈桿，則沿剩下的鏈桿向的線位移即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。利用該法，無(wú)需事先將靜定部分除去。

為簡(jiǎn)化分析，可對(duì)原結(jié)構(gòu)作一些預(yù)處理。因圖1(c)的B端解除限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束后，將如圖25(a)所示，又按圖7所示的簡(jiǎn)化模式可知，只受軸力時(shí)， 桿連同與之相連的鏈桿可簡(jiǎn)化為一根鏈桿，故對(duì)于如圖1(c)和圖25(a)所示的情況，都可事先簡(jiǎn)化為如圖27所示的情況，而對(duì)于如圖25(b)所示的全靜定部分則可直接去掉。

圖27 圖1(c)和圖25(a)的簡(jiǎn)化

例如將圖28(a)中限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束(點(diǎn)D、B、C、F處)除去，并添加鏈桿(點(diǎn)A、B、E處)使之幾何不變且無(wú)多余約束，但點(diǎn)A、E處附加鏈桿向的線位移不獨(dú)立，故只有B點(diǎn)處的線位移為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移，此外，也可作如28(c)所示的預(yù)處理再分析。同理，圖29(b)中點(diǎn)C、D處附加鏈桿向的線位移不獨(dú)立，故無(wú)獨(dú)立線位移。由圖8的分析可知，F(xiàn)點(diǎn)相當(dāng)于圖25(a)的B端，故圖30(b)中點(diǎn)F處附加鏈桿向的線位移不獨(dú)立，故只有B點(diǎn)處的線位移為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。

(a) (b) (c) 圖28 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的確定舉例1

(a)

(b)圖29 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的確定舉例2

(a) (b)圖30 獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的確定舉例3

8 結(jié)論

(1)轉(zhuǎn)角位移方程導(dǎo)出時(shí)所基于的前提和假設(shè)決定了位移法中基本單元的劃分、計(jì)算圖的簡(jiǎn)化、基本未知量的選擇、位移牽連關(guān)系等方面。

(2)位移協(xié)調(diào)條件和基本未知量的確定等問(wèn)題，都與同一剛結(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)角相等、EA→∞假設(shè)、EI→∞假設(shè)等條件相關(guān)。

(3)一端固定、一端滑動(dòng)，且桿件軸線與支承鏈桿不平行的單跨結(jié)構(gòu)可按兩端固定的基本單元處理，但兩者之間存在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(4)任意忽略軸向變形的桿件兩端的位移牽連關(guān)系，既可用運(yùn)動(dòng)學(xué)與幾何學(xué)的方式求解，也可直接用解析式求解。

(5)將所有內(nèi)部剛結(jié)點(diǎn)、外部剛結(jié)點(diǎn)、滑動(dòng)聯(lián)結(jié)和滑動(dòng)支座處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束都去掉，只剩下限制線位移的約束，然后來(lái)判斷需要添加多少根鏈桿才能使得剩下的體系幾何不變且無(wú)多余約束，并減去為限制剪力靜定桿切向位移而添加的鏈桿，則沿剩下的鏈桿軸向的線位移即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。