姚天樂， 馬吉勝， 陶鳳和， 齊子元

(陸軍工程大學石家莊校區(qū) 火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

火炮射擊過程中，身管的自重彎曲、布爾登效應、移動彈丸的重力和偏心力、膛內(nèi)的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩等諸多因素均會影響射擊精度。其中，身管振動變形以及彈丸自身慣性是彈丸運動狀態(tài)改變的一個主要因素。彈丸發(fā)射過程是一個極其復雜的動力學過程，發(fā)射中，身管振動與彈丸運動相互影響、相互耦合，影響彈丸最終離開炮口的狀態(tài)。到目前為止，在火炮振動研究領域內(nèi)，這方面的研究大部分都相對不成熟，準確定量的理論分析還不多見，因而精確地建立彈丸膛內(nèi)運動引起的炮管振動模型及分析方法是必要的。

對于耦合振動問題的研究，在車輛、橋梁等工程領域有不少值得借鑒的成果[1-4]。在火炮研究領域，康新中等[5]將該類分析方法應用于火炮振動，定性研究了彈丸膛內(nèi)運動引起的火炮身管橫向振動問題。周叮等[6]將小參數(shù)法運用于火炮振動領域，研究了彈丸膛內(nèi)運動引起炮管振動問題，并給出了單發(fā)及連發(fā)射擊時炮管橫向振動的解。史躍東等[7]在考慮慣性效應的基礎上，研究了身管振動特性，給出了解析解，分析了不同運動參數(shù)對炮口振動的影響規(guī)律。在忽略移動載荷慣性效應的前提下，姜沐等[8]進一步建立了加速彈丸作用下火炮身管橫向振動方程，給出了級數(shù)形式的解析解和定量計算結果。馬吉勝等[9-10]利用基于Kane方程Huston方法建立了較為完善的研究彈丸與炮管耦合問題的動力學模型，但模型過于復雜，不易實現(xiàn)數(shù)值計算。姜沐采用 Picard 迭代法對耦合振動方程進行了重新求解[11]，盡管沒有很好地體現(xiàn)載荷的移動性，但對解決耦合振動問題提供了很好的參考。

在以往研究的基礎上，本文提出采用迭代的方法對彈丸膛內(nèi)運動引起的身管振動進行求解，由于程式化好，易于實現(xiàn)數(shù)值分析，得到的結論可以為火炮總體設計、結構優(yōu)化提供參考。

1 耦合振動的動力學

1.1 彈丸的軸向運動規(guī)律

彈丸在身管中的運動實際上是十分復雜的動力學過程。因此，為了考慮主要的動力耦合因素，必須將彈丸的動力學過程加以簡化，對彈丸在身管中的運動過程進行以下6點假設：

1)忽略彈丸的擠進過程；

2)彈丸和炮膛之間不存在間隙；

3)忽略彈丸在膛內(nèi)運動的碰撞過程；

4)彈丸出炮口瞬間停止計算；

5)身管在彈丸作用下在垂直平面內(nèi)運動,忽略彈丸擾動引起的身管振動；

6)身管撓度是小量，彈丸各處的慣性力和離心力在垂直方向。

由常規(guī)火炮的工作原理可得到其內(nèi)彈道方程組為

(1)

式中：ψ為火藥已燃相對重量；Z為火藥已燃相對厚度；χ、λ、μ、e1為火藥形狀特征量；u1為燃燒速度系數(shù)；l為身管長度，即彈丸全行程長；v為彈丸速度；S為炮膛橫斷面面積；φ為次要功計算系數(shù)；m為彈丸質(zhì)量，p為彈丸的平均壓力；f為火藥力；θ為熱力學系數(shù)；lψ為火藥燃燒了ψ時的彈丸行程。

對于(1)式，將進行計算機模型的數(shù)值求解。給定參數(shù)后，利用龍格- 庫塔法按射擊過程逐段反復循環(huán)逐點求解，最后可得到反映彈丸運動規(guī)律的s-t曲線，如圖1所示，圖中s為彈丸在身管中運動的位移,t為身管自身振動的時間。

1.2 移動彈丸與身管耦合振動分析

在考慮彈丸慣性效應以及身管彎曲變化的前提下，將身管簡化歐拉均勻等截面空心懸臂梁，將彈丸簡化為忽略形狀的質(zhì)量塊。如圖2所示，建立直角坐標系，以懸臂梁固定端為坐標原點O，彈丸在身管中沿軸線移動，在身管中的行程規(guī)律表示為s(t)。由于身管是連續(xù)系統(tǒng)，構造函數(shù)y(x,t)來表示身管的振動響應，其中，x是身管各點的位置。由于彈丸在垂直方向上與身管振動同步，彈丸在垂直方向上的位移可表示為t的函數(shù)y(s(t),t)。圖2中，rc為彈丸所在位置身管的曲率半徑。

考慮彈丸對身管的激勵作用，對身管進行力學分析，可得到身管的動力學微分方程為

(2)

式中：δ(x-s(t))為Dirac函數(shù)，表示彈丸在梁上的位置；fy(x,t)表示彈丸在垂直方向上的受力；E、ρ分別為身管材料的彈性模量和質(zhì)量密度；c為黏性阻尼系數(shù)；A、I分別為截面面積和截面慣性矩。

(2)式的左端描述了身管振動的時空特征，(2)式的右端描述了彈丸的運動狀態(tài)。在(2)式右端項fy(x,t)的激勵作用下，身管進行振動，而身管的振動又會引起彈丸運動狀態(tài)的改變，從而改變fy(x,t)。同時，身管在振動時，彈丸也在移動，δ(x-s(t))也將隨之改變。彈丸在兩個方向上的運動狀態(tài)同時改變，又同時影響身管的振動狀態(tài)，如果方程右端兩項均有清楚的變化規(guī)律，則可以得到(2)式的真實解。但是fy(x,t)的確定非常困難，因此(2)式無法進行求解，為此進行如下分析。

設彈丸到身管末端經(jīng)歷的時間序列為

T={t1,t2,…,ti,…,tn},

(3)

由于彈丸的運動位置與運動時間一一對應，則彈丸的移動位置也可離散化，設彈丸運動的位置序列為

s={s1,s2,…,si,…,sn}.

(4)

經(jīng)過上述處理后，圖2所示的彈丸連續(xù)移動狀態(tài)轉(zhuǎn)換為圖3所示的對身管離散化激勵的狀態(tài)。由于彈丸移動速度非常大，在彈丸運動期間，身管的阻尼對身管的振動影響較小，因此在計算耦合振動問題時可以忽略阻尼的影響。

按照圖3所示，將連續(xù)的激勵離散化。根據(jù)圖3，將(2)式轉(zhuǎn)化為n個可處理的非耦合方程如下：

(5)

式中：fy(si,ti)是彈丸在si處時對梁的靜態(tài)激勵。對上述靜態(tài)方程進行求解，可得到梁靜態(tài)激勵時的響應，可以將此響應作為求解梁在動態(tài)激勵下實際響應的初值。

1.3 身管橫向受力狀態(tài)動態(tài)分析

考慮振動過程中身管各處存在曲率，且身管在彈丸運動過程中持續(xù)振動，則彈丸對身管主要存在離心力與慣性力的作用。身管的振動加速度存在向上或向下兩種狀態(tài)，因此，彈丸在垂直方向的受力分析如圖4所示，圖中fI為彈丸慣性力，F(xiàn)為彈丸向心力，g為重力加速度。

由圖4(a)及圖4(b)可知，彈丸所受垂直方向上的合力為

fy(x,t)=mg±(fI-F).

(6)

fI與所在處梁的加速度方向相反，大小為

(7)

F指向彈丸所在處梁的曲率中心，大小為

(8)

2 耦合振動模型的迭代解法

取(5)式中的任取方程為例，進行身管響應求解：

(9)

對于(9)式，邊界條件與初始條件分別為

(10)

(11)

因為身管的響應，即(9)式的解y(x,t)在時間和空間上是分離的，所以(9)式的解可以寫成對應于激勵δ(x-si)fy(si,ti)下所有固有振動的疊加。利用振型函數(shù)的正交性，將系統(tǒng)物理坐標的偏微分方程變換成一系列固有坐標的常微分方程組，引進廣義坐標qr(t)，(9)式的解可寫為

(12)

式中：Yr(x)為正則振型函數(shù)。

對于身管，由于約束關系已經(jīng)確定，則與振型函數(shù)r階固有頻率ωr相應的振型函數(shù)可取為

Yr(x)=cosh(βrx)-cos (βrx)+
ξr[sinh(βrx)-sin(βrx)]，

(13)

式中：

(14)

(15)

對振型函數(shù)進行正則化處理，令

(16)

結合(13)式及(16)式，則此時刻的正則振型函數(shù)為

Yr(x)=αr{cosh(βrsi)-cos (βrsi)+
ξr[sinh(βrsi)-sin(βrsi)]}.

(17)

(18)

式中：Qr(t)為廣義力。對于等截面均質(zhì)懸臂梁，固有頻率為

(19)

對常微分方程(18)式，采用杜哈梅積分進行求解，可得

(20)

(21)

由虛功原理可以分析出對應于廣義坐標qr(t)在梁si處由fy(si,ti)計算出的廣義力大小為

Qr(t)=fy(si,ti)Yr(si),

(22)

則廣義力可表示為

(23)

在耦合振動過程中，彈丸的向心力反作用于身管，改變身管在彈丸所在處的振動加速度。由于彈丸振動加速度與身管振動加速度一致，在迭代過程中，離心力的影響因素已經(jīng)包含在了彈丸的慣性力中。迭代過程使用的彈丸對身管的激勵大小為

fy(x,t)=mg-fI，

(24)

fI的方向由(7)式中計算結果的符號確定。

考慮彈丸的慣性效應后，由(24)式可知，彈丸對身管的激勵大小為

(25)

由于彈丸的垂直方向加速度初始值未知，對身管響應進行迭代法求解時，對身管的初次激勵設定為彈丸重力：

(26)

聯(lián)立(17)式、(22)式與(23)式，可得廣義力大小為

Qr(t)=mg{αr[cosh(βrsi)-cos(βrsi)+
ξr(sinh(βrsi)-sin(βrsi))]}.

(27)

聯(lián)立(12)式、(16)式與(21)式可求得彈丸在身管si處初次激勵時身管的響應為

(28)

身管在彈丸激勵下產(chǎn)生的響應反作用于彈丸，對彈丸進行激勵，使彈丸產(chǎn)生響應。此時，彈丸的橫向慣性力為

(29)

因此在身管的作用下，彈丸對身管的第2次激勵為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

當彈丸對身管的激勵趨于穩(wěn)定時，可由收斂準則確定最小迭代次數(shù)。身管激勵的收斂準則為

(35)

3 數(shù)值求解結果與分析

應用第2節(jié)中的迭代解法對彈丸與身管耦合振動模型進行數(shù)值求解。

在數(shù)值求解過程中使用的各個基本參數(shù)如表1所示。

3.1 身管模態(tài)階數(shù)的確定

表1 基本參數(shù)

由圖6可知，當r>3時，R趨近于0. 設圖6所示曲線關系為R=f(r)，在區(qū)間[1,3]與[1,∞]上分別對圖示曲線進行積分，可得

(36)

由(36)式可知，身管振動主要集中于前3階模態(tài)，取身管振動的前3階模態(tài)可以滿足計算精度要求。

3.2 彈丸與身管耦合模型數(shù)值求解流程

在確定身管振動的模態(tài)結束后，編寫程序?qū)ι砉茼憫M行迭代法數(shù)值求解，采用迭代法編寫程序的流程如圖7所示。

3.3 身管振動規(guī)律分析

采用迭代法求解出彈丸在各點對身管的實際激勵，對實際激勵在各點的變化規(guī)律進行分析。求解出各個時刻身管振動的全貌，取身管振動前期、中期、后期和末期4個時期的振動全貌進行分析。并給出某兩個時期的激勵收斂過程進行比較，說明激勵收斂的規(guī)律。

彈丸在運動過程中的慣性力變化如圖8所示，對身管的實際激勵變化如圖9所示。

由圖8可知，彈丸在運動的初始階段，垂直方向的慣性加速度較小，對彈丸運動狀態(tài)造成的影響也比較小，因此在圖9中反映出彈丸對身管的實際激勵與彈丸重力十分接近。彈丸在身管中經(jīng)過加速運動以后，垂直方向加速度產(chǎn)生了變化，由圖9可知，彈丸對身管的真實激勵在彈丸重力附近波動。數(shù)值結果顯示，彈丸在出炮口位置慣性力較小，彈丸對身管的激勵與彈丸重力大小基本相同。

取彈丸在身管中運動前期、中期、后期和末期身管振動的時空分布圖如圖10～圖13所示。

圖10～圖13為彈丸的動態(tài)過程離散化以后，對某點進行與動態(tài)過程等效的實際激勵時，在該激勵下身管持續(xù)振動的全貌圖。對應確定的時刻可以得到該時刻身管的振動樣貌，對應確定的位置，可以得出某點的振動規(guī)律。按照4個時期的順序觀察4幅圖可知，隨著彈丸在身管中運動，身管整體振動的最大幅值一直從身管始端向身管末端移動。

按照彈丸的行程求解身管炮口處位移，可以得到彈丸運動過程中炮口處位移規(guī)律，如圖14所示。

在本領域中，國內(nèi)相關學者在考慮不同因素的影響下，也建立了各種模型求解彈炮耦合問題。劉寧等[12]在考慮橫向碰撞的因素下建立了耦合振動模型。郭保全等[13]基于Adams中的柔性體接觸理論，建立了彈帶和彈丸前定心部與身管內(nèi)膛的接觸模型，得到了該問題的仿真結果。圖14所示的數(shù)值求解結果與上述文獻中炮口位移的數(shù)值求解結果具有良好的一致性，從而可以從側(cè)面驗證本文方法的正確性。

3.4 激勵迭代規(guī)律分析

取彈丸在運動前期、中期、后期和末期的迭代過程進行觀察，彈丸在4個時期激勵迭代過程如圖15所示。

由圖15可知，在運用迭代法進行身管響應的仿真求解過程中發(fā)現(xiàn)，激勵是單邊收斂的，且迭代過程中激勵呈上升趨勢，激勵在各個時期的收斂過程具有相似性。

取激勵在各點的迭代次數(shù)如圖16所示。

由圖16可知，激勵在身管各點的迭代次數(shù)在彈丸的整個運動過程上呈波動趨勢。對比圖16和圖9可以發(fā)現(xiàn)，兩幅圖之間有相似之處。在彈丸慣性力大的地方相應的激勵迭代次數(shù)多，慣性力小的地方相應的激勵迭代次數(shù)少。隨著彈丸在身管中運動，彈丸的運動狀態(tài)變得復雜，彈丸對身管的激勵迭代次數(shù)始終大于彈丸運動初始時期在各點的迭代次數(shù)。

對于火炮的射擊問題，普遍關心的是彈丸離開炮口時炮口的振動大小。按照圖9所示的規(guī)律，激勵的波峰隨著位移的增大有減小的趨勢。因此，可以考慮改善火炮身管和彈丸的結構，優(yōu)化相關的設計參數(shù)，使得耦合振動的波峰提前到來。這是減小火炮射擊時炮口振動的一種方法。

4 結論

本文基于迭代法的思想，提出了彈丸與身管耦合振動問題的迭代求解方法，實現(xiàn)了耦合振動的連續(xù)過程離散化，構建了迭代解法的程式化流程，使得該方法更加易于實現(xiàn)數(shù)值計算。本文的貢獻及所得結論如下：

1)通過將彈丸在身管內(nèi)的運動時間進行離散化處理，實現(xiàn)了耦合振動的連續(xù)過程離散化。

2)在主要考慮彈丸的慣性效應和梁的曲率變化這兩個因素的綜合作用下，采用逐點迭代計算的方法，結合微分方程理論，在給定適當初值的情況下，構造迭代序列對耦合振動系統(tǒng)在各個時刻的實際響應進行逼近，對振動模型進行了數(shù)值求解。

3)對各個時刻激勵的迭代過程進行分析，發(fā)現(xiàn)了在彈丸運行過程中的實際激勵在整個過程中的波動變化。

4) 本文數(shù)值求解結果與文獻[12-13]具有良好的一致性，驗證了本文方法的有效性。