郝淑英， 李會(huì)杰， 齊成坤， 張辰卿， 陳 煒， 馮晶晶

(1. 天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384;2.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

0 引 言

加工誤差會(huì)嚴(yán)重影響微陀螺的性能，改變微陀螺的固有頻率、帶寬、靈敏度，影響微陀螺系統(tǒng)輸出的精度及穩(wěn)定性[1～2]。施芹等人[3]對(duì)彈性不等、阻尼不對(duì)稱(chēng)等問(wèn)題進(jìn)行研究并優(yōu)化結(jié)構(gòu)，降低了機(jī)械耦合誤差，提高了零偏穩(wěn)定性[4]。鄭怡文等人[5]全面分析了正交誤差產(chǎn)生的主要因素，并論述了如何減小加工誤差帶來(lái)的正交誤差。劉學(xué)等人[6]提出一種正交誤差閉環(huán)控制自補(bǔ)償方法，降低了正交誤差。賀琨等人[7]得出振動(dòng)結(jié)構(gòu)支撐梁的加工誤差是引起結(jié)構(gòu)剛度不對(duì)稱(chēng)并產(chǎn)生模態(tài)耦合誤差的主要因素，并采用紫外激光微細(xì)加工技術(shù)，對(duì)微陀螺樣機(jī)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)平衡實(shí)驗(yàn)，降低了樣機(jī)模態(tài)耦合誤差信號(hào)峰值。Lü B[8]得出只有一根驅(qū)動(dòng)梁梁寬有加工誤差時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)不同于理想時(shí)的運(yùn)動(dòng)。上述研究充分揭示了微梁加工誤差對(duì)模態(tài)耦合及輸出信號(hào)的影響是進(jìn)行補(bǔ)償和修正的前題，但多為定性的理論分析。

本文以一種驅(qū)動(dòng)質(zhì)量塊在外、檢測(cè)質(zhì)量塊在內(nèi)的梳狀微陀螺為研究對(duì)象[9]，采用有限元分析方法研究了3類(lèi)典型的微梁梁寬，10種加工誤差對(duì)微陀螺驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)固有頻率和模態(tài)的影響，對(duì)模態(tài)耦合的特征及產(chǎn)生的條件進(jìn)行了定量分析。針對(duì)微陀螺輸入的交變電壓信號(hào)特性(類(lèi)似于簡(jiǎn)諧激勵(lì))和微結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)的高成本和復(fù)雜性，采用有限元仿真的方法，通過(guò)施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)模擬微陀螺輸入的電信號(hào)，研究了無(wú)角速度輸入情況下各類(lèi)加工誤差對(duì)微陀螺檢測(cè)信號(hào)的影響。

1 梳狀微陀螺的有限元模型驗(yàn)證

為了降低直彈性梁對(duì)微陀螺帶來(lái)的不利影響，在保持微梁剛度不變的條件下，設(shè)計(jì)了驅(qū)動(dòng)微梁為U型梁和檢測(cè)微梁為蟹腳型梁的微陀螺模型，改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]的微陀螺微梁的模型，改進(jìn)后的模型如圖1所示。選擇Solid195單元，采用多晶硅材料參數(shù)，其密度ρ=2.33×103kg/m3，泊松比μ=2.78，彈性模量E=169 GPa,共劃分了38 478個(gè)單元，其有限元模型如圖2所示，微陀螺驅(qū)動(dòng)部分的等效質(zhì)量為mx=2.007×10-9，檢測(cè)模態(tài)的等效質(zhì)量為my=0.907×10-9kg。有限元模態(tài)分析結(jié)果驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率ωd=29.64 kHz，檢測(cè)模態(tài)固有頻率ωs=29.90 kHz。

圖1 梳狀微陀螺儀模型

圖2 微陀螺有限元分析模型

圖2中局部放大圖為U形驅(qū)動(dòng)梁和蟹腳檢測(cè)梁的有限元模型，采用能量法求出二者檢測(cè)方向的剛度表達(dá)式為[11]

(1)

驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率為

(2)

由式(2)計(jì)算得驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率值為30.30，30.49 kHz;與有限元結(jié)果比較得，驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率誤差為2.18 %，檢測(cè)模態(tài)固有頻率誤差為1.94 %，由此，驗(yàn)證有限元模型的可靠性。

2 微梁寬度誤差對(duì)微陀螺固有頻率和模態(tài)的影響

設(shè)Δi(i=1,2,3,4)為驅(qū)動(dòng)微梁梁寬的相對(duì)誤差。驅(qū)動(dòng)微梁的彈性剛度與慣性矩成正比，是梁寬b的3次方，當(dāng)Δ很小時(shí)，可忽略Δ的高次項(xiàng)，則剛度變化了3Δ。因此微陀螺驅(qū)動(dòng)方向的剛度矩陣[12]可表示為

(3)

式中kxx,kyy,kθθ分別為x,y,z軸的剛度，kxy,kxθ,kyθ分別為x軸和y軸，x軸和繞z軸，y軸和繞z軸之間的耦合剛度。由式(3)可知當(dāng)微陀螺處于理想加工狀態(tài)，即驅(qū)動(dòng)微梁梁寬的相對(duì)誤差Δi為零時(shí)，剛度矩陣非對(duì)角線元素均為零，此時(shí)微陀螺不會(huì)出現(xiàn)正交耦合誤差。當(dāng)微梁寬度存在加工誤差時(shí)，剛度矩陣非對(duì)角線元素不全為零，此時(shí)微陀螺存在正交耦合誤差。單根支撐梁的梁寬加工誤差一般為0.1～0.2 μm[3]。

根據(jù)微陀螺加工生產(chǎn)過(guò)程中可能產(chǎn)生的微梁梁寬誤差，將驅(qū)動(dòng)微梁梁寬加工誤差分3種情況討論：1)同一對(duì)角線上的微梁尺寸相同，即(b1=b4)≠(b2=b3)；2)同一側(cè)微梁尺寸相同,即(b1=b2)≠(b3=b4=b)或(b1=b2)≠(b3=b4)；3)只有一根微梁存在加工誤差,即b1≠(b2=b3=b4=b)。

2.1 同一對(duì)角線上微梁尺寸相同

2.1.1 對(duì)固有頻率和模態(tài)的影響

設(shè)b1=b4=b+Δ，b2=b3=b-Δ，取加工誤差Δ=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.10 μm。通過(guò)有限元分析得到這10種梁寬誤差對(duì)微陀螺固有頻率的影響，如圖3所示。

圖3 驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率隨梁寬誤差的變化

由圖3知，微陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率隨梁寬誤差增大而減小，檢測(cè)模態(tài)頻率隨梁寬誤差增大而增大，基本上呈線性關(guān)系。當(dāng)梁寬誤差為0.1 μm時(shí)，微陀螺的驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率減少了0.121 %，檢測(cè)模態(tài)頻率增加了0.520 %。顯然驅(qū)動(dòng)微梁的加工誤差不僅會(huì)影響驅(qū)動(dòng)模態(tài)的固有頻率，同時(shí)還影響到檢測(cè)模態(tài)的固有頻率。

由圖4知，驅(qū)動(dòng)模態(tài)時(shí)其檢測(cè)質(zhì)量塊沿檢測(cè)y方向也發(fā)生了位移，檢測(cè)模態(tài)時(shí)驅(qū)動(dòng)質(zhì)量塊沿驅(qū)動(dòng)x方向也發(fā)生了位移，即產(chǎn)生模態(tài)耦合。理想加工的微陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)時(shí)檢測(cè)質(zhì)量塊沿檢測(cè)方向的位移為零，檢測(cè)模態(tài)下驅(qū)動(dòng)方向無(wú)位移。顯然這類(lèi)加工誤差引發(fā)了嚴(yán)重的模態(tài)耦合現(xiàn)象。

圖4 梁寬誤差Δ為0.1 μm時(shí)微陀螺模態(tài)

對(duì)上述10種加工誤差下的模態(tài)進(jìn)行分析，分別量取驅(qū)動(dòng)模態(tài)下編號(hào)20(如圖2所示)的節(jié)點(diǎn)在檢測(cè)方向的位移y與驅(qū)動(dòng)方向的位移x，并求其比值得到驅(qū)動(dòng)模態(tài)下檢測(cè)位移與驅(qū)動(dòng)位移比值隨梁寬誤差的變化規(guī)律如圖5所示，根據(jù)模態(tài)的定義可知，該比值可以用來(lái)反映模態(tài)耦合的程度。無(wú)加工誤差時(shí)驅(qū)動(dòng)模態(tài)下檢測(cè)方向的位移y為0，即y/x值為0；但隨著梁寬誤差不斷增大，y/x值基本上呈線性增長(zhǎng)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)在驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)兩個(gè)方向的耦合程度愈來(lái)愈大。當(dāng)梁寬誤差Δ為0.1 μm時(shí)，y/x值達(dá)到了0.88。因此這類(lèi)梁寬誤差會(huì)引起驅(qū)動(dòng)模態(tài)下檢測(cè)質(zhì)量沿檢測(cè)方各的位移，且耦合程度隨誤差的增加而增大。

圖5 梁寬誤差對(duì)模態(tài)耦合的影響

2.1.2 對(duì)微陀螺輸出的影響

微陀螺工作時(shí)，在兩端的驅(qū)動(dòng)電極施加帶有直流偏置的交流電壓，梳齒間產(chǎn)生交變的靜電力，該靜電力在其本質(zhì)上類(lèi)似于簡(jiǎn)諧激振力，因此本文采用有限元仿真實(shí)驗(yàn)研究對(duì)微陀螺沿驅(qū)動(dòng)方向施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)模擬交流電壓作用下微陀螺的響應(yīng)，研究同一對(duì)角線微梁相等類(lèi)型的加工誤差對(duì)微陀螺輸出結(jié)果的影響。

根據(jù)前面分析所得的驅(qū)動(dòng)模態(tài)的固有頻率選定諧響應(yīng)分析的頻率范圍，使驅(qū)動(dòng)方向的固有頻率在該激勵(lì)頻率范圍的中間位置，給定20個(gè)步數(shù)，在動(dòng)梳齒左端面施加簡(jiǎn)諧激振力，直流偏置電壓Vdc=10 V，交流電壓Vac=4 V，根據(jù)公式，求出靜電力的幅值為F=6.372×10-8N，微陀螺整體的空氣阻尼系數(shù)為C=1.362×10-6kg/s，進(jìn)行諧響應(yīng)分析。圖6為梁寬誤差為0.08 μm時(shí)節(jié)點(diǎn)20在驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)方向的幅頻曲線。顯然共振峰與驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)，此時(shí)節(jié)點(diǎn)20在驅(qū)動(dòng)方向位移x為5.163×10-5m，在檢測(cè)方向位移y為4.008×10-5m，y/x為0.776。

圖6 誤差為0.08 μm時(shí)驅(qū)動(dòng)檢測(cè)方向的幅頻曲線

同理對(duì)其他9種梁寬誤差時(shí)的微陀螺進(jìn)行諧響應(yīng)分析，提取節(jié)點(diǎn)20在激勵(lì)頻率等于驅(qū)動(dòng)固有頻率時(shí)驅(qū)動(dòng)方向位移x和檢測(cè)方向位移y，兩者比值與加工誤差的關(guān)系如圖7所示。顯然對(duì)角梁尺寸相同類(lèi)型的加工誤差引起的模態(tài)耦合現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致微陀螺在無(wú)角速度輸入的情況下也存在檢測(cè)方向的位移輸出，且該輸出值隨加工誤差的增加而不斷增大，其值之大不可忽略，該種誤差將對(duì)微陀螺的正常檢測(cè)信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾。根據(jù)多自由度系統(tǒng)線性振動(dòng)理論可知，當(dāng)激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)的某階固有頻率時(shí)，系統(tǒng)將按該階模態(tài)振動(dòng)，圖7中的驅(qū)動(dòng)模態(tài)下檢測(cè)與驅(qū)動(dòng)方向的位移比與諧振分析結(jié)果恰好吻合，與振動(dòng)理論相吻合，因此，模態(tài)耦合會(huì)導(dǎo)致微陀螺在檢測(cè)信號(hào)中產(chǎn)生較高的誤差信號(hào)，對(duì)微陀螺的檢測(cè)信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾。

圖7 y/x比值隨梁寬誤差的變化規(guī)律

2.2 同側(cè)微梁尺寸相同和只一根微梁存在加工誤差

理想微梁梁寬b=2 μm，微梁梁寬的最大加工誤差取Δ=0.10 μm。同側(cè)微梁尺寸相同，設(shè)：1)b1=b2=b-Δ,b3=b4=b；2)b1=b2=b+Δ,b3=b4=b；3)b1=b2=b-Δ,b3=b4=b+Δ。建立這3種加工誤差下微陀螺的有限元分析模型，對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析。只一根存在加工誤差時(shí)，設(shè)4)b1=b-Δ,b2=b3=b4=b；5)b1=b+Δ,b2=b3=b4=b。分別以第(2)和第(4)為例，結(jié)果如圖8所示。

圖8 2種加工誤差對(duì)固有頻率的影響

由圖8可得驅(qū)動(dòng)模態(tài)的固有頻率都隨著兩類(lèi)加工誤差的增大而減小，當(dāng)梁寬誤差為0.1 μm時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率分別減少3.64 %和1.82，檢測(cè)模態(tài)頻率的變化可忽略不計(jì)。當(dāng)微梁加工誤差為第(1)和第(3)種時(shí)，微陀螺模態(tài)與微梁理想加工時(shí)基本一致。

如圖9所示，當(dāng)加工誤差為第(2)種時(shí)，第二階為檢測(cè)模態(tài)，第三階為驅(qū)動(dòng)模態(tài)，這種微梁加工誤差導(dǎo)致微陀螺驅(qū)動(dòng)模態(tài)、檢測(cè)模態(tài)順序發(fā)生顛倒。只一根微梁存在加工誤差的第(5)種情況同樣引起微陀螺模態(tài)階數(shù)的顛倒。

圖9 第(2)類(lèi)誤差下微陀螺模態(tài)

從圖9可知，在最大梁寬誤差時(shí)，同側(cè)微梁尺寸相同時(shí)，第(1)種誤差下節(jié)點(diǎn)20在驅(qū)動(dòng)模態(tài)下的檢測(cè)方向位移y與驅(qū)動(dòng)方向位移x的比值為0.016，而諧響應(yīng)分析的比值為0.018；同理得只一根微梁存在加工誤差時(shí)，第(2)種情況下節(jié)點(diǎn)20的y/x僅為0.080，諧響應(yīng)分析結(jié)果為0.093，可見(jiàn)這兩類(lèi)加工誤差的模態(tài)耦合現(xiàn)象可以忽略，同時(shí)也不會(huì)對(duì)檢測(cè)信號(hào)造成嚴(yán)重干擾。

3 結(jié) 論

1)三類(lèi)微梁梁寬誤差導(dǎo)致的不等彈性都會(huì)不同程度的改變驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率；

2)同側(cè)微梁尺寸相同或只一根微梁尺寸存在加工誤差時(shí)模態(tài)耦合現(xiàn)象可忽略，但會(huì)導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的階次發(fā)生改變；

3)兩對(duì)角線上微梁尺寸相同引起的模態(tài)耦合現(xiàn)象，在設(shè)計(jì)中不可忽略，且耦合程度隨加工誤差的增大而增加，當(dāng)最大梁寬誤差為0.1 μm時(shí)模態(tài)耦合導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)模態(tài)下檢測(cè)與驅(qū)動(dòng)方向的位移比高達(dá)0.88，這類(lèi)加工誤差會(huì)引起嚴(yán)重的模態(tài)耦合并對(duì)檢測(cè)信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾，應(yīng)避免這類(lèi)加工誤差產(chǎn)生。