肖懷寶，方超，逯貴禎

(中國(guó)傳媒大學(xué)，信息工程學(xué)院，北京 100024)

1 引言

間隙波導(dǎo)是當(dāng)前國(guó)際學(xué)術(shù)界在毫米波和亞毫米波領(lǐng)域中提出的一種新的傳輸線結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以低損耗傳輸TEM波。從公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)來(lái)看，關(guān)于間隙波導(dǎo)技術(shù)的研究主要還是以數(shù)值仿真分析為主，由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，數(shù)值計(jì)算對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求也較高。從2009年開(kāi)始，該領(lǐng)域研究受到了廣泛的關(guān)注，P S Kildal及其團(tuán)隊(duì)研究了該結(jié)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域，如在毫米波和亞毫米波的低損耗傳輸特性[1-3]、在微帶電路中的封裝和隔離技術(shù)[4] [5]、高Q值的微帶線濾波技術(shù)[6]等；間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的實(shí)現(xiàn)技術(shù)[7-9]、間隙波導(dǎo)的分析方法[10][11]及其特性參數(shù)等[12]。此外，其他國(guó)家的研究人員也開(kāi)始關(guān)注間隙波導(dǎo)的相關(guān)研究領(lǐng)域[13][14]。其中，P S Kildal在論文[10]中對(duì)間隙波導(dǎo)技術(shù)進(jìn)行了階段性的論述，并對(duì)其間電磁波的波矢量進(jìn)行了比較詳細(xì)的理論分析，但遺憾的是，對(duì)于間隙波導(dǎo)中場(chǎng)的解析表示式，用了假定表達(dá)式。國(guó)內(nèi)對(duì)間隙波導(dǎo)的研究相對(duì)比較晚，2014年，逯貴禎等對(duì)基于金屬條帶縫隙的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真研究[15]，2016年，朱明等[16]通過(guò)仿真優(yōu)化間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)，根據(jù)仿真參數(shù)加工出了實(shí)際的間隙波導(dǎo)，把實(shí)物測(cè)量結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)在波的傳輸方面的特殊性，同時(shí)通過(guò)色散圖法對(duì)間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的傳輸特性進(jìn)行了分析[17]。方超將間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)運(yùn)用在縫隙微帶天線的饋電上，改善了天線的性能，減小了天線的背向輻射[18]。本文將對(duì)理想磁導(dǎo)體邊界的間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論分析，導(dǎo)出其解析表達(dá)式，并用數(shù)值解與解析解的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證理論分析的正確性。

2 均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)

假設(shè)均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)中場(chǎng)沿+z方向傳播，頻率為ω，則場(chǎng)的表達(dá)式為：

(1)

必須滿足麥克斯韋方程組：

(2)

上式在直角坐標(biāo)中展開(kāi)，得：

(3)

求解方程(3)式，可以用縱向場(chǎng)(Ez，Hz)來(lái)表示橫向場(chǎng)(Ex，Ey，Hx，Hy)并令：

k2=ω2με

(4)

則有：

(5)

由上式可以看出，對(duì)于均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)，為了求解方便，可以先求出縱向場(chǎng)的解，然后利用式(5)求得橫向場(chǎng)，從而減少計(jì)算量。對(duì)于正弦電磁波，場(chǎng)應(yīng)滿足亥姆霍茲波動(dòng)方程：

(6)

(7)

因此，式(6)可改寫(xiě)為：

(8)

此即導(dǎo)波系統(tǒng)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)應(yīng)滿足的微分方程。對(duì)于確定的導(dǎo)波裝置，可由給定的邊界條件，通過(guò)求解上式，得到縱向場(chǎng)分量(Ez，Hz)，再通過(guò)式(5)求得其余橫向分量(Ex，Ey，Hx，Hy)。

3 基于PMC結(jié)構(gòu)的間隙波導(dǎo)系統(tǒng)場(chǎng)特性分析

圖1是間隙波導(dǎo)的一種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)示意圖，高度為λ/4的pins組成了高阻區(qū)，使得電磁波只能在2a×b區(qū)域中傳播，為了求解該區(qū)域的場(chǎng)的解析解，對(duì)高阻區(qū)用理想磁導(dǎo)體(Perfectly Magnetic Conducting，PMC)邊界條件來(lái)替代。其簡(jiǎn)化的基于PMC邊界的間隙波導(dǎo)截面示意圖如圖2所示。為了說(shuō)明方便，把分析區(qū)域分為三部分，分別為標(biāo)為I區(qū)、II區(qū)和III區(qū)，其中I區(qū)為2a×b區(qū)域、II區(qū)和III區(qū)為d×b區(qū)域。邊界如圖所標(biāo)注。由于在這種導(dǎo)波系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，理論上只能傳輸TEM波(嚴(yán)格地講是準(zhǔn)TEM波)，因此，設(shè)波的傳播方向?yàn)?z方向，電場(chǎng)為y方向，磁場(chǎng)為x方向。

圖1 間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

圖2 基于PMC的間隙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖

由于該導(dǎo)波系統(tǒng)傳輸?shù)氖荰EM波，在傳播方向上不存在場(chǎng)分量，即Ez=0，Hz=0因此，由式(5)易知，要使場(chǎng)的橫向分量不為0，則有：

(9)

把k2+Γ2=0代入公式(8)得TEM波的場(chǎng)方程：

(10)

同理可得：

(11)

由式(10)和式(11)可知，間隙波導(dǎo)中的場(chǎng)與無(wú)源區(qū)靜態(tài)場(chǎng)所滿足的場(chǎng)方程相同，因此可以通過(guò)求解電勢(shì)φ來(lái)間接求解電場(chǎng)。

3.1 電勢(shì)滿足的方程及其解

由前面分析可知，間隙波導(dǎo)中的場(chǎng)與無(wú)源區(qū)靜態(tài)場(chǎng)所滿足的場(chǎng)方程相同，因此其電勢(shì)φ滿足的方程為拉普拉斯方程，即：

(12)

根據(jù)分離變量法，設(shè)φ=X(x)Y(y)，則式(12)可變換為：

(13)

其中λ為本征值。

根據(jù)對(duì)稱性，II區(qū)和III區(qū)場(chǎng)應(yīng)具有相同的形式，因此，下面的討論中我們只關(guān)注I區(qū)和II區(qū)場(chǎng)的求解。

3.1.1 區(qū)場(chǎng)分析

根據(jù)間隙波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，I區(qū)場(chǎng)(-a

由式(13)易知，λ=0滿足方程，此時(shí)的解可寫(xiě)成：

(14)

其中，dx，dy是待定常數(shù)，則：

φ10=CxCyY=Cy

(15)

是電勢(shì)φ1的一個(gè)解(主模)。不失一般性，設(shè)邊界條件為：

(16a)

在考慮邊界條件后，式(15)可寫(xiě)為：

(17)

則在λ≠0時(shí)，邊界條件為：

(16b)

再考慮到對(duì)稱性，解的形式可表示如下：

(18)

(19)

為了跟Ⅱ區(qū)場(chǎng)一致，求和從n=0開(kāi)始，并不影響電勢(shì)值。

3.1.2 Ⅱ區(qū)場(chǎng)分析

Ⅱ區(qū)場(chǎng)(a

(20)

Ⅱ區(qū)的邊界條件為：

(21)

(22)

3.1.3 Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)場(chǎng)的連續(xù)性分析

公式(19)和式都分別含有未知系數(shù)，為了確定這些系數(shù)，我們根據(jù)I區(qū)和II區(qū)場(chǎng)的連續(xù)性條件來(lái)進(jìn)行分析。在兩求解區(qū)的分界面(x=a)上，場(chǎng)應(yīng)滿足連續(xù)性條件，即φ1(a，y)=φ2(a，y)，得：

(23)

同時(shí)，電勢(shì)還滿足法向?qū)?shù)連續(xù)，即：

(24)

由式(23)和式(24)組成2n個(gè)方程可以確定cn和dn的值。

為了驗(yàn)證理論的正確性，我們利用COMSOL仿真軟件對(duì)基于PMC結(jié)構(gòu)的間隙波導(dǎo)進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，建模時(shí)取a=b=1(歸一化長(zhǎng)度)，圖3是有限元計(jì)算結(jié)果的電勢(shì)分布圖，圖4是有限元數(shù)值計(jì)算的電場(chǎng)示意圖，由這兩張圖可以看出，電磁波基本上被局限于I區(qū)進(jìn)行傳播，在Ⅱ區(qū)和Ⅲ，場(chǎng)急劇衰減。在理論計(jì)算時(shí)，由于場(chǎng)的表達(dá)式是無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，因此在實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，我們只取了前10項(xiàng)，事實(shí)上，所得的結(jié)論對(duì)n>2的項(xiàng)數(shù)不是很敏感，圖5所示是取不同項(xiàng)數(shù)(n不同)時(shí)，理論計(jì)算的電勢(shì)曲線，由圖可知，n>2時(shí)，電勢(shì)的理論計(jì)算曲線幾乎是重合的。圖6所示為電勢(shì)理論值隨高度y的變化曲線，理想情況下，傳播的是TEM波，因此電勢(shì)理論值隨y的變化應(yīng)該是一條直線，但在實(shí)際情況下，由式(19)可知，電勢(shì)表達(dá)式是線性函數(shù)y/b與無(wú)窮級(jí)數(shù)的代數(shù)和，因而電勢(shì)與y的關(guān)系不再是條直線，而是略有彎曲。

圖3 有限元計(jì)算的電勢(shì)分布圖

圖4 有限元計(jì)算的電場(chǎng)示意圖

圖5 電勢(shì)理論值隨n的變化曲線(y=0.9b)

圖6 取不同項(xiàng)數(shù)時(shí)電勢(shì)理論值隨y的變化曲線(x=a)

電勢(shì)的有限元計(jì)算結(jié)果與解析解的結(jié)果對(duì)比如圖7所示，由這些對(duì)比圖可以看出，在I區(qū)(-a

y=0時(shí) y=0.2b時(shí)

y=0.4b時(shí) y=0.6b時(shí)

y=0.8b時(shí) y=b時(shí)圖7 電勢(shì)理論結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比曲線

3.2 電場(chǎng)的解及其仿真分析

與靜態(tài)場(chǎng)相同，由電勢(shì)φ得到I區(qū)的電場(chǎng)表達(dá)式為：

(25)

由上式可以看出，I區(qū)電場(chǎng)具有x分量，但由于sinh(x)是關(guān)于x的奇函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，在I區(qū)中矢量和為零，所以總場(chǎng)只有y分量，與開(kāi)始的TEM波假設(shè)是一致的。但在x=±a的邊界附近處，總場(chǎng)將是I區(qū)電場(chǎng)和II區(qū)電場(chǎng)的迭加。

同理可得II區(qū)場(chǎng)的表達(dá)式為：

(26)

理論計(jì)算值與仿真值y分量絕對(duì)值的對(duì)比如圖8所示，實(shí)際上我們更關(guān)心的是I區(qū)電場(chǎng)。

y=0時(shí) y=0.2b時(shí)

y=0.4時(shí) y=0.6b時(shí)

y=0.8b時(shí) y=b時(shí)圖8 電場(chǎng)理論結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比曲線

3.3 特性阻抗

(27)

其中Z0是真空中的波阻抗。則：

(28)

(29)

故：

(30)

因?yàn)閐n很小，因此：

(31)

所以有：

(32)

該結(jié)論與文獻(xiàn)的結(jié)論相同。

4 結(jié)論

本文對(duì)均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的一般理論進(jìn)行了闡述，得到分析導(dǎo)波系統(tǒng)的一般方程，然后對(duì)基于PMC邊界的間隙波導(dǎo)進(jìn)行了理論分析，發(fā)現(xiàn)其場(chǎng)方程與靜態(tài)場(chǎng)方程具有相同的形式，因此可以在給定的PMC邊界條件下，通過(guò)求解電勢(shì)所滿足的方程來(lái)間接求解場(chǎng)。利用分離變量法得到了電勢(shì)解析解，通過(guò)電場(chǎng)與電勢(shì)的梯度關(guān)系得到電場(chǎng)的解析解。為了驗(yàn)證解析解，利用有限元仿真軟件對(duì)基于PMC結(jié)構(gòu)的間隙波導(dǎo)模型進(jìn)行數(shù)值分析，然后把數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比的結(jié)果表明解析解很好的反映了間隙波導(dǎo)的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。運(yùn)用得到的解析解推導(dǎo)出間隙波導(dǎo)的特性阻抗，特性阻抗的結(jié)論與文獻(xiàn)的結(jié)論相同，進(jìn)一步證明了解析解的正確性。