計(jì)彥強(qiáng)，趙艷君，邵曉強(qiáng)*

(1.東北師范大學(xué) 物理學(xué)院 量子科學(xué)中心,吉林 長(zhǎng)春 130024；2.渤海大學(xué) 物理系，遼寧 錦州 121000)

量子糾纏是量子力學(xué)的精髓，在量子通信中處于重要位置.處于糾纏態(tài)的2個(gè)子系統(tǒng)無(wú)論相距多遠(yuǎn)，它們間的關(guān)聯(lián)依然存在.當(dāng)量子疊加態(tài)擁有2個(gè)及以上量子比特時(shí)，對(duì)其中任意一個(gè)量子進(jìn)行測(cè)量，與其有關(guān)聯(lián)的量子比特會(huì)塌縮到相應(yīng)的狀態(tài)，且測(cè)量結(jié)果與它們之間的距離無(wú)關(guān).通過(guò)對(duì)量子糾纏態(tài)的操作，可以實(shí)現(xiàn)信息的存儲(chǔ)、提取、編碼、傳遞.因此，量子糾纏一直是量子信息研究的核心問(wèn)題.糾纏態(tài)的非局域性廣泛應(yīng)用于量子信息中，如量子安全直接通信[1-5]、量子密鑰分發(fā)[6-8]、量子隱形傳送[9-11]、量子密鑰共享[12-15]等.

多粒子糾纏態(tài)的量子非局域性比2粒子糾纏態(tài)的強(qiáng)，因此多粒子糾纏態(tài)在量子信息中應(yīng)用更廣.由于多粒子糾纏態(tài)的結(jié)構(gòu)和特性比較復(fù)雜，隨著粒子數(shù)增加，制備難度也相應(yīng)增加.研究人員提出擴(kuò)展和融合操作，這兩種操作均能有效制備多體糾纏態(tài).擴(kuò)展操作每次使初態(tài)至多增加2個(gè)粒子，但對(duì)融合操作來(lái)說(shuō)，其能使2個(gè)及以上的糾纏態(tài)進(jìn)行融合，每次融合均使初始糾纏態(tài)的粒子數(shù)增加，因此，研究人員提出了一些基于融合機(jī)制制備大尺度糾纏態(tài)的方案[16-19].

原子處于激發(fā)態(tài)(高能級(jí))是不穩(wěn)定的，即使沒(méi)有外界的影響，電子也會(huì)自發(fā)從激發(fā)態(tài)躍遷至低能態(tài).原子自發(fā)輻射會(huì)降低融合方案的保真度，為了有效抑制原子的自發(fā)輻射，可以引入 Λ 型3能級(jí)原子.該文介紹糾纏態(tài)融合的概念，綜述基于融合機(jī)制制備Λ型3能級(jí)原子糾纏態(tài)的幾種方案，最后給出總結(jié)與展望.

1 融合機(jī)制

1.1 糾纏態(tài)融合

糾纏態(tài)的融合，是將2個(gè)大尺度的糾纏態(tài)融合產(chǎn)生1個(gè)更大尺度的糾纏態(tài).例如，Alice和Bob均擁有1個(gè)大尺度多粒子的糾纏態(tài)，Alice把自身?yè)碛械钠渲?個(gè)粒子A和Bob提供的粒子B均傳至融合裝置，融合過(guò)程只有A和B參與，剩下的粒子保持原始狀態(tài).經(jīng)過(guò)一系列操作后，Claire通過(guò)測(cè)量A和B的態(tài)來(lái)判斷融合是否成功.

迄今為止，研究人員在理論上已提出不同種類(lèi)量子糾纏態(tài)的制備方案，如W態(tài)[20-23]、GHZ態(tài)[24-25]、EPR態(tài)[26-27]、Cluster態(tài)[28-30]等糾纏態(tài)制備方案.?zdemir 等[31]提出利用線性光學(xué)實(shí)現(xiàn)融合的方案，該方案能使單獨(dú)的n個(gè)量子比特的W態(tài)(n≥2)和m個(gè)量子比特的W態(tài)(m≥2)融合，并產(chǎn)生(n+m-2)個(gè)量子比特的W態(tài).Bugu等[32]在?zdemir等[31]提出方案的基礎(chǔ)上，利用Fredkin門(mén)和單光子完成(n+m-1)個(gè)量子比特的W態(tài)(n≥2,m≥2)的融合.Yesilyurt等[33]提出融合4個(gè)W態(tài)的方案，利用3個(gè)CNOT門(mén)和1個(gè)Toffoli門(mén)產(chǎn)生(n+m+t+z-4)個(gè)量子比特的W態(tài)(n≥2,m≥2,t≥2,z≥2). Ozaydin等[34]利用1個(gè)Fredkin門(mén)和單光子融合產(chǎn)生(n+m+t+z-1)個(gè)量子比特的W態(tài).

1.2 W糾纏態(tài)的融合

假設(shè)Alice有n個(gè)量子比特的|W〉A(chǔ),Bob有m個(gè)量子比特的|W〉B,它們的初態(tài)分別為

(1)

整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)為

|φ0〉=|Wn〉A(chǔ)?|Wm〉B.

(2)

在|Wn〉A(chǔ)和|Wm〉B中分別提取1個(gè)原子，將這2個(gè)原子同時(shí)傳至融合裝置，經(jīng)一系列操作后，Claire接收Alice和Bob傳來(lái)的2個(gè)原子，這2個(gè)原子存在4種可能的狀態(tài)(|0102〉，|0112〉，|1102〉，|1112〉),幺正演化后在輸出裝置中仍可探測(cè)到這4種狀態(tài).根據(jù)測(cè)量結(jié)果可判斷糾纏態(tài)的融合是否成功.若測(cè)量結(jié)果為|0102〉,則融合過(guò)程失敗，失敗概率Pf(Wn,Wm)=P00=1/mn.若測(cè)量結(jié)果為|1112〉,則融合過(guò)程失敗，失敗的概率Pf(Wn,Wm)=P11=(n-1)(m-1)/mn.若測(cè)量結(jié)果為|0112〉或|1102〉,則融合過(guò)程成功，成功概率Ps(Wn,Wm)=(n+m-2)/mn.

1.3 GHZ糾纏態(tài)的融合

假設(shè)Alice擁有n個(gè)量子比特的GHZ態(tài)，Bob擁有m個(gè)量子比特的GHZ態(tài)，利用糾纏態(tài)|GHZm〉A(chǔ)和糾纏態(tài)|GHZn〉B融合產(chǎn)生1個(gè)更大的GHZ態(tài).

Alice和Bob擁有的GHZ態(tài)分別為

(3)

整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)為

|ψ0〉=|GHZm〉A(chǔ)?|GHZn〉B.

(4)

Claire接收Alice和Bob傳來(lái)的2個(gè)原子，這2個(gè)原子有4種可能狀態(tài)(|0102〉，|0112〉，|1102〉，|1112〉),幺正演化后在輸出的裝置中仍然可以測(cè)量到這4種狀態(tài).通過(guò)測(cè)量結(jié)果可判斷糾纏態(tài)的融合是否成功.|00〉或|11〉成功融合產(chǎn)生GHZ態(tài)的概率為1/4，|01〉或者|10〉成功融合產(chǎn)生GHZ態(tài)概率也是1/4.由于實(shí)際糾纏態(tài)融合過(guò)程中，需要對(duì)2個(gè)原子進(jìn)行測(cè)量，所以最后融合產(chǎn)生的大尺度GHZ態(tài)中會(huì)少2個(gè)粒子.

2 基于Λ型原子的糾纏態(tài)融合

|1V〉1|1V〉2,|1H〉1|1V〉2,|1V〉1|1H〉2,|1H〉1|1H〉2.

測(cè)到它們的概率分別為

1/mn,(n-1)/mn,(m-1)/mn,(n-1)(m-1)/mn.

輸出裝置中測(cè)到的光子態(tài)為

HWP和PBS的聯(lián)合作用使輸入光子態(tài)產(chǎn)生如下轉(zhuǎn)化

|1H〉1|1H〉2→|0〉3|1H1V〉4,|1V〉1|1V〉2→|1H1V〉3|0〉4,

|1H〉1|1V〉2→|1H〉3|1H〉4,|1V〉1|1H〉2→|1V〉3|1V〉4.

通過(guò)分辨光子1和2所處的糾纏態(tài)可判斷融合過(guò)程是否成功.

下面介紹利用單腔、雙腔實(shí)現(xiàn)Λ型原子W態(tài)的融合，以及利用Rydberg原子反封鎖效應(yīng)實(shí)現(xiàn)多粒子大尺度W態(tài)和GHZ態(tài)的融合[35-36].

2.1 基于單腔的W態(tài)融合

基于單腔的W態(tài)融合，主要利用2個(gè)束縛在光腔中的Λ型原子來(lái)實(shí)現(xiàn).原子-腔系統(tǒng)模型和原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 原子-腔系統(tǒng)模型(A)和原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)(B)

圖1B中，|g1〉和|g0〉為基態(tài)，|e〉為激發(fā)態(tài).|g1〉?|e〉由拉比頻率為Ωj的經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)，λj為原子與腔模耦合的強(qiáng)度.失諧量Δ遠(yuǎn)離共振時(shí)，原子與腔場(chǎng)及經(jīng)典激光場(chǎng)無(wú)能量交換.相互作用繪景中，系統(tǒng)的Hamilton量(?=1)為

(5)

其中：a表示腔場(chǎng)的湮滅算符.

將量子比特信息編碼在基態(tài)|g0〉和|g1〉上,得到4種狀態(tài)(|g0g1〉,|g0g0〉,|g1g0〉,|g1g1〉).若腔場(chǎng)處于真空態(tài)，則4個(gè)初態(tài)的演化如下

(6)

基于量子Zeno動(dòng)力學(xué)[37]可將|Wn〉A(chǔ)和|Wm〉B融合產(chǎn)生大尺度的WAB態(tài).分別在|Wn〉A(chǔ),|Wm〉B中提取的原子1，2的態(tài)為

(7)

將這2個(gè)原子同時(shí)放至真空腔進(jìn)行融合，此時(shí)系統(tǒng)的初態(tài)為|φ0〉=|Wn〉A(chǔ)?|Wm〉B?|0c〉,t=Δπ/(2Ω2)時(shí)，系統(tǒng)演化為

(8)

Claire通過(guò)對(duì)這2個(gè)原子的測(cè)量結(jié)果來(lái)判斷融合是否成功.若測(cè)量結(jié)果為|g0g0〉,則融合過(guò)程失敗，失敗概率Pf(Wn,Wm)=P00=1/mn.若測(cè)量結(jié)果為|g1g1〉,則這個(gè)融合還沒(méi)有結(jié)束，由于Claire對(duì)原子的測(cè)量導(dǎo)致各自的W態(tài)粒子減少，剩下的W態(tài)會(huì)繼續(xù)下一次融合，這種融合的失敗概率為

Pf(Wn,Wm)=P11=(n-1)(m-1)/mn.

若測(cè)量結(jié)果為|g1g0〉,則剩下的原子態(tài)為

Alice對(duì)自己的1個(gè)原子進(jìn)行單比特相位門(mén)操作

|g0〉→|g0〉,|g1〉→i|g1〉，

則剩余的原子態(tài)變?yōu)?/p>

這種融合的成功概率Ps(Wn,Wm)=(n+m-2)/(2mn).若測(cè)量結(jié)果為|g0g1〉,則融合的成功概率Ps(Wn,Wm)=(n+m-2)/(2mn).由上可知，融合的總成功概率為(n+m-2)/(mn).

2.2 基于雙腔的W態(tài)融合

采用2個(gè)分離的腔，二者由光纖連接，其中一個(gè)腔控制m個(gè)Wm態(tài)原子，另一個(gè)腔控制n個(gè)Wn態(tài)原子，那么就可在這兩個(gè)獨(dú)立的腔中實(shí)現(xiàn)W態(tài)的融合.圖2為基于雙腔的W態(tài)融合過(guò)程.

圖2 基于雙腔的W態(tài)融合

圖2中，原子A束縛在腔1中，原子B束縛在腔2中, 腔1，2間用光纖耦合.在Lτ/(2πc)?1[38-39]情況下，系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)為

(9)

|g0g0〉|0c1〉|0c2〉|0f〉→|g0g0〉|0c1〉|0c2〉|0f〉,

|g1g1〉|0c1〉|0c2〉|0f〉→|g1g1〉|0c1〉|0c2〉|0f〉.

(10)

若測(cè)量結(jié)果為|g0g0〉,|g1g1〉,則融合失敗，失敗概率分別為Pf(Wn,Wm)=P00=1/mn,Pf(Wn,Wm)=P11=(n-1)(m-1)/mn.若測(cè)量結(jié)果為|g1g0〉或|g0g1〉,則融合成功，成功概率Ps(Wn,Wm)=(n+m-2)/(2mn).兩個(gè)腔實(shí)現(xiàn)糾纏態(tài)融合的總成功概率為(n+m-2)/(mn).

實(shí)驗(yàn)中無(wú)論是雙腔還是單腔， Λ 型原子W 態(tài)融合過(guò)程均受腔場(chǎng)的衰減(κ)和原子自發(fā)輻射(γ)的影響.利用 Lindblad 主方程[40]，可分析κ和γ對(duì)融合的影響.數(shù)值模擬結(jié)果表明t=Δπ/(2Ω2)時(shí)，保真度較高，且其對(duì)κ和γ的衰減具有魯棒性.

2.3 基于Rydberg原子的 W 態(tài)融合

Rydberg封鎖效應(yīng)[41-42]是實(shí)現(xiàn)中性原子處理量子信息的機(jī)制之一.在特定條件下，即當(dāng)驅(qū)動(dòng)激光場(chǎng)頻率與原子躍遷頻率的失諧量與Rydberg相互作用強(qiáng)度滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí)，偶極封鎖效應(yīng)消失，這種現(xiàn)象被稱(chēng)為Rydberg 反封鎖效應(yīng).Rydberg反封鎖效應(yīng)[43-47]在量子邏輯門(mén)實(shí)現(xiàn)及糾纏態(tài)制備中具有重要作用.

圖3為2個(gè)Rydberg原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)，其中|r〉為Rydberg態(tài)，|0〉和|1〉為2個(gè)基態(tài)，Δrr為2個(gè)|r〉間的相互作用強(qiáng)度，|0〉?|r〉間的躍遷由Rabi頻率為Ωa的經(jīng)典激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)，|1〉?|r〉間的躍遷由Rabi頻率為Ωb的經(jīng)典激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)，Δa(b)表示相應(yīng)的失諧量.

圖3 2個(gè)Rydberg原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)

相互作用繪景下系統(tǒng)的哈密頓量為

(11)

Alice和Bob擁有的多粒子態(tài)分別為

(12)

此時(shí)系統(tǒng)的初態(tài)為|Wm〉A(chǔ)?|Wn〉B,t=Δπ/Ω2時(shí)，Claire對(duì)原子進(jìn)行測(cè)量，若測(cè)量結(jié)果為|00〉或|11〉,則融合失敗，失敗概率分別為Pf(Wn,Wm)=P00=1/mn,Pf(Wn,Wm)=P11=(n-1)(m-1)/mn.若測(cè)量結(jié)果為|10〉,則融合成功，成功概率Ps(Wn,Wm)=(m+n-2)/(2mn).若測(cè)量結(jié)果為|01〉,則融合成功，成功概率Ps(Wn,Wm)=(m+n-2)/(2mn).由上可知，融合的總成功概率為(m+n-2)/(mn).

2.4 基于Rydberg原子的GHZ態(tài)融合

Alice和Bob擁有的糾纏態(tài) (m,n≥3)分別為

(13)

系統(tǒng)初態(tài)為|GHZm〉A(chǔ)?|GHZn〉B,在激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng)和原子間相互作用下，系統(tǒng)演化為

(14)

測(cè)量可能的結(jié)果為|00〉,|11〉,|01〉,|10〉,測(cè)量后系統(tǒng)狀態(tài)分別塌縮為 |ψ2〉,|ψ3〉,|ψ4〉,|ψ5〉, 它們的表達(dá)式為

(15)

|ψ2〉，|ψ3〉，|ψ4〉，|ψ5〉均可通過(guò)執(zhí)行單比特的相位門(mén)轉(zhuǎn)變成標(biāo)準(zhǔn)的(m+n-2)個(gè)比特的GHZ態(tài).Claire測(cè)得這4個(gè)態(tài)的概率均為1/4，因此GHZ態(tài)融合的總成功概率為1，此表明Rydberg原子反封鎖效應(yīng)在GHZ態(tài)融合過(guò)程具有不可替代的作用.利用Rydberg原子的反封鎖效應(yīng)實(shí)現(xiàn)GHZ態(tài)的融合，其保真度能達(dá)到99.4%.

3 總結(jié)與展望

該文綜述了基于Λ 型原子實(shí)現(xiàn)大尺度 W 態(tài)和 GHZ 態(tài)的多粒子融合方案.利用單腔、雙腔實(shí)現(xiàn) Λ 型原子 W 態(tài)融合方案與利用 Rydberg 原子反封鎖效應(yīng)實(shí)現(xiàn)多粒子大尺度W 態(tài)和 GHZ 態(tài)的融合方案的保真度均超過(guò) 99%，且對(duì)κ和γ的衰減均具有魯棒性.但是，融合方案存在不足之處：隨著粒子數(shù)增加，W 態(tài)融合的成功概率降低.利用 Fredkin 同時(shí)對(duì)3個(gè) W 態(tài)進(jìn)行融合，可得到3量子比特的邏輯門(mén)，但3量子比特的邏輯門(mén)實(shí)驗(yàn)上并不容易實(shí)現(xiàn).利用量子點(diǎn)-腔耦合系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了光子 W態(tài)的融合，由于融合操作復(fù)雜無(wú)法在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn).采用腔 QED 技術(shù)實(shí)現(xiàn)糾纏態(tài)融合，只需控制系統(tǒng)的演化時(shí)間即可完成糾纏態(tài)的融合，遺憾的是該技術(shù)僅對(duì)2個(gè)糾纏態(tài)進(jìn)行了融合.后續(xù)的研究目標(biāo)可為：如何能同時(shí)融合多個(gè)糾纏態(tài)？通過(guò)引入什么樣的輔助系統(tǒng)才能提高糾纏態(tài)融合的成功概率？