韓 雪,王洪福

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 物理系，黑龍江 哈爾濱 150001; 2.延邊大學(xué) 理學(xué)院 物理系，吉林 延吉 133002)

糾纏是量子信息處理的重要資源，在實(shí)際量子信息處理中，不僅需要兩體糾纏態(tài)(Bell態(tài)),也需要大尺度的糾纏態(tài).由于W態(tài)對(duì)抗比特?fù)p失是魯棒的(即測(cè)量W態(tài)中一個(gè)粒子時(shí)其余粒子仍處于糾纏)，因此制備大尺度的W態(tài)成為熱點(diǎn).拓展和融合是制備大尺度W態(tài)的有效方案.拓展方案能在已有的1個(gè)n粒子W態(tài)上每次增加2個(gè)粒子來(lái)擴(kuò)大W態(tài)的尺度.與拓展方案相比，融合方案更加高效，它可以一次性融合2個(gè)大尺度的W態(tài)而得到一個(gè)更大尺度的W態(tài).如圖1所示，Alice和Bob手中分別有2個(gè)大尺度W態(tài)|Wn〉A(chǔ)和|Wm〉B,從|Wn〉A(chǔ)和|Wm〉B中各發(fā)送1個(gè)粒子至融合裝置，只有發(fā)送至裝置的粒子參與融合，其余粒子作為常數(shù)保留在Alice和Bob處.經(jīng)過(guò)一系列操作后，對(duì)參與融合的2粒子中的一個(gè)進(jìn)行測(cè)量，另一個(gè)發(fā)回原來(lái)的裝置，繼續(xù)進(jìn)行大尺度的W態(tài)融合.測(cè)量得到2種結(jié)果：一種是得到2個(gè)較小尺度的W態(tài)，它們繼續(xù)發(fā)送至相同裝置重復(fù)上述的融合過(guò)程，直至粒子數(shù)小于2，融合終止;另一種是實(shí)現(xiàn)了大尺度的W態(tài)融合，得到了更大尺度的W態(tài)|Wn+m-1〉.

圖1 融合過(guò)程示意圖

近年來(lái)，研究人員相繼提出不少W態(tài)融合方案[1-12].2011年，?zdemir等[4]首次利用線性光學(xué)提出融合門(mén)，融合1個(gè)n比特的W態(tài)及1個(gè)m比特的W態(tài)，生成1個(gè)(m+n-2)比特的W態(tài)，因此通過(guò)融合操作不僅擴(kuò)大了W態(tài)的尺度，而且糾纏資源也得到了充分利用.2013年，Bugu等[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上作了改進(jìn)，在1個(gè)Fredkin門(mén)和1個(gè)單光子的輔助下，實(shí)現(xiàn)了(n+m-1)比特的W態(tài)融合.Yesilyurt等[6]利用3個(gè)controlled-NOT門(mén)和1個(gè)Tooli門(mén)，融合m，n，t，z比特的W態(tài)，生成(n+m+t+z-4)比特的W態(tài).2014年，?zaydin等[7]用輔助單光子以及1個(gè)Fredkin門(mén)，融合m，n，t比特的W態(tài)，生成1個(gè)(n+m+t-1)比特的W態(tài).值得注意的是，上述方案均利用了多比特受控門(mén),如CNOT，Tooli，F(xiàn)redkin門(mén)，然而實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)這些受控門(mén)有很大困難[13].筆者簡(jiǎn)要綜述幾類W態(tài)融合方案，并著重闡述弱交叉克爾非線性系統(tǒng)和量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)中不借助受控相位門(mén)，實(shí)現(xiàn)W態(tài)融合的方案及其物理原理，最后給出總結(jié)與展望.

1 基于弱交叉克爾非線性系統(tǒng)的W態(tài)融合

(1)

從(1)式可以看出,通過(guò)弱克爾介質(zhì)非線性作用后，信號(hào)模沒(méi)有發(fā)生改變，而探測(cè)模的相干態(tài)相位被調(diào)制，相位角的改變量恰好與信號(hào)模的光子數(shù)成正比.通過(guò)探測(cè)相干態(tài)的相位變化，可以計(jì)算出信號(hào)模中的光子數(shù)，并且不破壞信號(hào)模的光子，因此通過(guò)弱交叉克爾介質(zhì)可實(shí)現(xiàn)非破壞性光子數(shù)測(cè)量.

圖2為文獻(xiàn)[4-5，8]的融合方案對(duì)比，其中虛框表示融合機(jī)制.圖2A方案中，融合后兩個(gè)光子均被探測(cè)器探測(cè)到.圖2B方案中，通過(guò)引入1個(gè)Fredkin門(mén)和1個(gè)輔助單光子，實(shí)現(xiàn)了(n+m-1)比特的W態(tài).圖2C方案中，僅需探測(cè)1個(gè)光子，而另1個(gè)光子發(fā)回參與融合的原來(lái)的態(tài)中，在不需要輔助光子的情況下，可獲得(n+m-1)比特的W態(tài)，不僅減少了資源消耗，還可以利用Bell態(tài)制備3比特W態(tài).

圖2 文獻(xiàn)[4](A)，[5](B)，[8](C)的融合方案對(duì)比

基于弱交叉克爾非線性系統(tǒng)的W態(tài)融合方案[8]如圖3所示.

圖3 基于弱交叉克爾非線性系統(tǒng)的W態(tài)融合方案

Alice和Bob的W態(tài)分別為

(2)

整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)為

|a〉|1V〉1|1V〉2+|b〉|1H〉1|1V〉2+|c〉|1V〉1|1H〉2+|d〉|1H〉1|1H〉2.

(3)

只有模1，2的光子發(fā)至融合裝置,處于模a，b的剩余的光子將被保留在Alice，Bob處.光子經(jīng)過(guò)PBS和弱交叉克爾介質(zhì)后，在相干態(tài)上執(zhí)行一個(gè)-3θ/2相移操作,執(zhí)行第1次零差測(cè)量[16-18]，再經(jīng)過(guò)一系列線性光學(xué)元件，最后執(zhí)行第2次零差測(cè)量.當(dāng)探測(cè)器D探測(cè)到光子時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)態(tài)變?yōu)?/p>

|Φ〉=|a〉|1V〉2+|b〉|1H〉2+|c〉|1H〉2=

(4)

可見(jiàn)，最終得到了尺度為(n+m-1)的光子W態(tài).

2 基于量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)的W態(tài)融合

對(duì)于InAs/GaAs自組織量子點(diǎn)[19],當(dāng)量子點(diǎn)受到光激發(fā)后，價(jià)帶上的電子會(huì)吸收一個(gè)光子從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶，這樣導(dǎo)帶中多了一個(gè)電子，而價(jià)帶中留下一個(gè)空穴,通過(guò)庫(kù)侖相互作用形成一個(gè)電子-空穴對(duì)(即激子)[20].根據(jù)泡利不相容原理，帶電激子的躍遷過(guò)程與過(guò)剩電子的狀態(tài)有關(guān).帶電量子點(diǎn)的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 帶電量子點(diǎn)的能級(jí)結(jié)構(gòu)

嵌入微腔的帶電量子點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)2能級(jí)量子系統(tǒng).將其嵌入雙邊腔，根據(jù)量子點(diǎn)光激發(fā)選擇定則和雙邊腔的反射透射特性，可以得到

|R↑,↑〉→|L↓,↑〉,|L↑,↑〉→-|L↑,↑〉,

|R↓,↑〉→-|R↓,↑〉,|L↓,↑〉→|R↑,↑〉,

|R↑,↓〉→-|R↑,↓〉,|L↑,↓〉→|R↓,↓〉,

|R↓,↓〉→|L↑,↓〉,|L↓,↓〉→-|L↓,↓〉.

(5)

(5)式廣泛應(yīng)用于量子信息處理[21-25].

2.1 電子比特的W態(tài)融合方案

基于量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)(n+m-1)電子比特的W態(tài)融合方案[9]原理如圖5所示.

圖5 基于量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)(n+m-1)電子比特的W態(tài)融合方案原理圖

圖5中，spin1和spin2均為量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)，c-PBSi(i=1,2,3,…)為橢圓基矢極化分束器，HWPi為半波片，QWP為1/4波片，S為光學(xué)開(kāi)關(guān)，PS為π相移器，DLi為時(shí)間延遲裝置，Di為光子探測(cè)器.

Alice和Bob的W態(tài)分別為

(6)

整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)為

|Φ0〉=|Wn〉A(chǔ)?|Wm〉B?|R1〉?|R2〉=

(|a〉|↑〉1+|b〉|↓〉1)?(|c〉|↑〉2+|d〉|↓〉2)|R1〉|R2〉.

(7)

首先讓光子1進(jìn)入腔1,光子的|L1〉,|R1〉部分分別完成(c-PBS1→|L1〉→PS→spin1→c-PBS1)和(c-PBS1→|R1〉→spin 1→PS→c-PBS1)操作,隨后光子1的|L1〉部分進(jìn)入腔2與電子自旋2作用，|L1〉部分經(jīng)歷(c-PBS2→c-PBS3→spin 2→PS→c-PBS4→HWPπ)這些操作后，變?yōu)?|b〉|c〉|R1〉|↓〉1|↑〉2+|b〉|d〉|L1〉|↓〉1|↓〉2)?|R2〉.|R1〉部分不與腔2中的電子自旋2作用.當(dāng)探測(cè)器探測(cè)到光子時(shí)，系統(tǒng)態(tài)為

|Φ2〉=(|a〉|c〉|R1〉|↑〉1|↑〉2+|a〉|d〉|R1〉|↑〉1|↓〉2+

|b〉|c〉|R1〉|↓〉1|↑〉2+|b〉|d〉|L1〉|↓〉1|↓〉2)?|R2〉.

(8)

顯然，當(dāng)探測(cè)器D2探測(cè)到光子，此態(tài)變?yōu)閨b〉|d〉|↓〉1|↓〉2?|R2〉，此時(shí)得到兩個(gè)分離的小尺度的W態(tài)|Wn-1〉和|Wm-1〉，隨后它們將使用相同機(jī)制繼續(xù)融合.當(dāng)探測(cè)器D1探測(cè)到光子時(shí)，系統(tǒng)態(tài)變?yōu)?/p>

|φ1〉=(|a〉|c〉|↑〉1|↑〉2+|a〉|d〉|↑〉1|↓〉2+|b〉|c〉|↓〉1|↑〉2)?|R2〉.

(9)

|φ1〉將繼續(xù)參與下面的融合過(guò)程.

|φ2〉=|↑〉1(|a〉|c〉|↑〉2+|a〉|d〉|↓〉2+|b〉|c〉|↓〉2).

(10)

很明顯，電子自旋1與其他電子自旋已經(jīng)解糾纏了，此時(shí)其余的電子自旋可表示為

|φ3〉=|a〉|c〉|↑〉2+|a〉|d〉|↓〉2+|b〉|c〉|↓〉2=

(11)

由式(11)知，|φ3〉是尺度為(n+m-1)的電子W態(tài)|Wn+m-1〉，獲得這個(gè)W態(tài)相應(yīng)的概率為(n+m-1)/nm.

2.2 光子比特的W態(tài)融合方案

基于量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)中(m+n-1)光子比特的W態(tài)融合方案[9]的原理如圖6所示.圖6中所有光學(xué)元件與圖5的相同.

圖6 基于量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)中(m+n-1)光子比特的W態(tài)融合方案原理圖

Alice和Bob的W態(tài)分別為

(12)

(13)

|Ψ1〉=|↑〉1(|a〉|c〉|R〉1|R〉2|↑〉2+|a〉|d〉|R〉1|L〉2|↓〉2+

|b〉|c〉|L〉1|R〉2|↓〉2)-|b〉|d〉|R〉1|L〉2|↓〉1|↓〉2.

(14)

對(duì)電子自旋1執(zhí)行測(cè)量，有下面2種測(cè)量結(jié)果

|↓〉1:|ψ1〉=-|b〉|d〉|R〉1|L〉2|↓〉2,

|↑〉1:|ψ2〉=|a〉|c〉|R〉1|R〉2|↑〉2+|a〉|d〉|R〉1|L〉2|↓〉2+|b〉|c〉|L〉1|R〉2|↑〉2.

(15)

對(duì)電子自旋|↓〉1的結(jié)果，將獲得2個(gè)小比特?cái)?shù)的W態(tài)|Wn-1〉和|Wm-1〉，這2個(gè)小尺度的W態(tài)能通過(guò)相同融合機(jī)制繼續(xù)循環(huán)，最終得到較大尺度的W態(tài).對(duì)電子自旋|↑〉1的結(jié)果，探測(cè)到的態(tài)將繼續(xù)用于之后的融合.處于延時(shí)器DL1的光子1的|R1〉部分經(jīng)過(guò)S2，c-PBS2進(jìn)入腔2，|R1〉部分執(zhí)行(c-PBS2→spin 2→c-PBS2→S1→PS2→c-PBS5→OWM)操作.

對(duì)電子自旋2執(zhí)行一個(gè)Hadamard門(mén)，且在基矢{|↑〉,|↓〉}下測(cè)量，若測(cè)量結(jié)果為|↑〉，則系統(tǒng)剩余態(tài)變?yōu)?/p>

|Ψ2〉=|a〉|c〉|R〉1|R〉2+|a〉|d〉|L〉1|L〉2+|b〉|c〉|L〉1|R〉2.

(16)

隨后，光子2依次通過(guò)QWP，P45.當(dāng)光子探測(cè)器D探測(cè)到光子時(shí)，剩余態(tài)為

|Ψ3〉=|a〉|c〉|R〉1+|a〉|d〉|L〉1+|b〉|c〉|L〉1=

(17)

由式(17)知，|Ψ3〉為尺度為(n+m-1)的光子W態(tài)|Wn+m-1〉.若電子自旋2是處在|↓〉，態(tài)|Wn+m-1〉變?yōu)?/p>

|Ψ4〉=|a〉|c〉|R〉1|R〉2-|a〉|d〉|L〉1|L〉2+|b〉|c〉|L〉1|R〉2,

(18)

此時(shí)，只要在光子2通過(guò)QWP之前執(zhí)行一個(gè)σz操作，光子態(tài)就變?yōu)閨Ψ2〉.重復(fù)上述操作，最終獲得的|Ψ4〉為|Wn+m-1〉，相應(yīng)的成功概率為(n+m-1)/nm.

3 總結(jié)及展望

近年來(lái)提出的W態(tài)融合方案中，大部分是在復(fù)雜的多比特控制門(mén)的基礎(chǔ)上提出的，而目前復(fù)雜的多比特控制門(mén)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)難度較大.該綜述對(duì)W態(tài)的融合研究進(jìn)行介紹，并著重闡述弱交叉克爾非線性系統(tǒng)和量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)中無(wú)需借助受控相位門(mén)實(shí)現(xiàn)W態(tài)的融合方案.當(dāng)前的研究多數(shù)聚焦于基于弱交叉克爾非線性系統(tǒng)和量子點(diǎn)-微腔耦合系統(tǒng)的W態(tài)融合方案，這些融合方案是否能推廣到更廣泛的量子系統(tǒng)(如金剛石氮空穴中心與微腔耦合系統(tǒng)、腔光力系統(tǒng)等)是今后探索的方向.