崔志卓，杜福洲,*，熊濤

1. 北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100083 2. 中國空間技術(shù)研究院 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094

在大型機(jī)械產(chǎn)品的裝配中，隨著基于模型定義技術(shù)和光學(xué)測量定位技術(shù)[1-3]的廣泛應(yīng)用，測量輔助裝配技術(shù)[4-5](Measurement-Assisted Assembly, MAA)在航空、航天、船舶等行業(yè)內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。

在大尺寸產(chǎn)品裝配對接與位姿調(diào)整方面，國內(nèi)外學(xué)者分別對數(shù)字化測量工藝模型、轉(zhuǎn)站公共基準(zhǔn)點(diǎn)布設(shè)、最佳裝配位姿的計算、工程應(yīng)用等分別進(jìn)行了研究與闡述[6-10]。上述研究以位姿調(diào)整為目標(biāo)實現(xiàn)了大型機(jī)械產(chǎn)品的對接，但對配合關(guān)系考慮的不夠充分。在實際裝配中，產(chǎn)品的配合質(zhì)量影響產(chǎn)品的物理性能，是協(xié)調(diào)的重點(diǎn)要素。而由于制造誤差、應(yīng)力釋放、熱膨脹、重力變形和工裝安裝誤差等因素導(dǎo)致裝配對接部分產(chǎn)生間隙或階差，通過分離并精加工/調(diào)整的方式改進(jìn)產(chǎn)品配合質(zhì)量，或者強(qiáng)行裝配影響產(chǎn)品的物理性能并帶來不必要的隱患。因此，諸多學(xué)者對此類問題進(jìn)行了研究。部分學(xué)者基于檢測數(shù)據(jù)研究裝配過程的產(chǎn)品偏差傳遞機(jī)理和裝配精度預(yù)測[11-15]從而提前發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行調(diào)整，部分學(xué)者通過數(shù)字化測量和柔性工裝改善因工裝定位偏差和產(chǎn)品變形引起的裝配偏差[16-18]。

在大型機(jī)械產(chǎn)品裝配中，通過對不同空間位置的軸孔進(jìn)行緊固連接是裝配連接的主要形式之一，如基于叉耳結(jié)構(gòu)的飛機(jī)翼身裝配、航天器的多緊固連接、風(fēng)電塔的大型法蘭連接等。而軸孔的配合質(zhì)量影響著產(chǎn)品的連接性能[19]，費(fèi)燕瓊等對電機(jī)套筒多軸孔多面約束的裝配進(jìn)行了裝配關(guān)系的分析，并采用導(dǎo)桿的方式完成裝配[20]，趙東平等針對間隙連接件采用多維矢量沿偏差傳遞路徑建立了多維矢量環(huán)，完成了裝配偏差的預(yù)測[21]，Luo等采用力/剛度補(bǔ)償?shù)姆绞酵瓿闪烁呔榷噍S孔的裝配[22]，郭崇潁等對紅外線線列電荷耦合元件的拼接中拼接精度問題，基于蟻群算法對解算的裝配偏差進(jìn)行優(yōu)化，指導(dǎo)工裝調(diào)整并完成裝配[23]。通過數(shù)字化測量手段獲取軸孔的空間位姿，分析軸孔裝配偏差并進(jìn)行協(xié)調(diào)的相關(guān)文獻(xiàn)還未見報道。

針對裝配過程中大型機(jī)械產(chǎn)品多面多孔裝配中裝配偏差難以預(yù)測，裝配過程協(xié)調(diào)難度大的問題，分析多面多孔裝配關(guān)系，采用“有向點(diǎn)”表征軸/孔的空間位姿，構(gòu)建多面多孔式裝配的數(shù)學(xué)模型，采用奇異值分解(SVD)分解法[24]對有向點(diǎn)集進(jìn)行最優(yōu)匹配，并對軸孔配合的裝配偏差進(jìn)行解算，在裝配前預(yù)測裝配偏差指導(dǎo)調(diào)配。最后通過多面多孔式裝配協(xié)調(diào)試驗進(jìn)行了驗證，試驗結(jié)果表明基于測量數(shù)據(jù)的裝配偏差分析與輔助調(diào)配方法可行，可提高裝配的效率和裝配一次成功率。

1 研究概述

在具有多面多孔的大型零部件裝配對接中，通過軸孔配合進(jìn)行緊固連接?；鶞?zhǔn)裝配體(Datum Component)安裝于固定工裝，對接裝配體(Align Component)安裝于可移動工裝，其裝配示意圖如圖1所示。受制造精度、溫度、重力、工裝夾緊等因素影響，裝配時軸孔配合產(chǎn)生縫隙、偏移、偏向，降低裝配質(zhì)量。通過數(shù)字化測量手段對面-面配合、孔-軸-孔配合狀態(tài)進(jìn)行分析，預(yù)估對接狀態(tài)下的偏差，在裝配前進(jìn)行補(bǔ)償，提高裝配質(zhì)量。如圖1所示，考慮多面多孔式裝配中三類軸孔裝配協(xié)調(diào)問題。

偏移(Axis Position Deviation)：如圖1中右上所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分裝配孔配合準(zhǔn)確時，引起孔上下配合處在配合面上產(chǎn)生了偏移，銷釘無法插入或扭曲，d為孔在配合面上產(chǎn)生的偏移量。

偏向(Axis Orientation Deviation)：如圖1中右中所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分孔同軸度配合較好時，個別孔的軸線配合出現(xiàn)問題，銷釘插入時無法通過，θ為孔軸線之間的夾角。

縫隙(Plane Position Deviation)：如圖1中右下所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分孔在配合面緊密貼合時，其他孔配合存在縫隙，如果縫隙超差時強(qiáng)行裝配，引起裝配體變形，降低裝配質(zhì)量，h為兩孔配合面沿軸線的投影距離。

上述3個問題耦合而影響了裝配的質(zhì)量，導(dǎo)致無法一次裝配，而是需要分離裝配體，對不協(xié)調(diào)的軸/孔逐個進(jìn)行調(diào)整以完成裝配，降低了裝配效率。

因此，采用數(shù)字化測量表達(dá)軸/孔的空間位姿，并對多軸/孔進(jìn)行裝配偏差的預(yù)測和分析，在實際裝配前找出超差的軸/孔，加以調(diào)配，改善裝配精度。

2 基于有向點(diǎn)集的裝配偏差分析

2.1 基于有向點(diǎn)的軸/孔位姿表達(dá)

廣義的裝配關(guān)系是指基準(zhǔn)、裝配工裝以及零部件三者之間的相互位置關(guān)系和配合關(guān)系。其中，裝配零部件之間的裝配連接與形位關(guān)系，影響了裝配體的幾何質(zhì)量，也一定程度影響著裝配應(yīng)力。多面多孔式裝配可以看做孔-軸配合關(guān)系、面-面配合關(guān)系以及整體的相對位姿配合關(guān)系，因此其裝配關(guān)系可以表達(dá)如圖2所示。其中，軸-孔的配合情況影響著兩個裝配體的配合質(zhì)量。

考慮軸/孔的體積較小，受力引起的局部變形一般很小，可以近似看成剛性體。在剛性假設(shè)條件下，軸/孔可以用一個點(diǎn)代表位置，一個矢量代表方向，而繞軸旋轉(zhuǎn)不會影響軸-孔的配合。

因此，定義有向點(diǎn)(Orientation Point，OP)，有向點(diǎn)是軸/孔在空間的位姿簡化描述，可以表示為

(1)

有向點(diǎn)的配合通常是一一對應(yīng)，因此進(jìn)行配合關(guān)系分析時，也是按對分析，定義具有相互配合關(guān)系的兩個有向點(diǎn)為有向點(diǎn)對。

對一個裝配體的多個軸/孔對應(yīng)的多個有向點(diǎn)共同組成了有向點(diǎn)集，多面多孔式裝配可以看做兩組對應(yīng)的有向點(diǎn)集的配合，將這兩組有向點(diǎn)集稱作有向點(diǎn)集對。

有向點(diǎn)可通過輔助工裝進(jìn)行測量，輔助工裝設(shè)計及測量方式如圖4所示。

通過計算4個測量點(diǎn)中心，并通過對角矢量叉乘，獲得位置參數(shù)和方向參數(shù)：

(2)

式中：c1、c2、c3、c4為輔助工裝上每個定位孔坐標(biāo)；l為輔助工裝以及靶球半徑合成的厚度。

2.2 基于有向點(diǎn)對的軸孔裝配偏差表達(dá)

裝配準(zhǔn)確度要求由尺寸精度、相互位置精度組成，其中尺寸精度由公差配合、接觸精度等組成，由制造過程保證其公差配合。相互位置精度包括同軸度、位置度等，是數(shù)字化調(diào)節(jié)的主要目標(biāo)。對于兩個裝配體的配合關(guān)系，可以通過式(3)進(jìn)行表示：

Φ(ω1,ω2)={ω1,ω2|f1(ω1,ω2)∈Ψ1,

f2(ω1,ω2)∈Ψ2,…,fn(ω1,ω2)∈Ψn}

(3)

式中：Ψ1、Ψ2、Ψn為裝配準(zhǔn)確度包含的區(qū)間；ω1、ω2為物體在空間的位置和姿態(tài)，在本文中為有向點(diǎn)；f1、f2、fn為從位姿參數(shù)到裝配準(zhǔn)確度的映射。

多個對象進(jìn)行配合時，每個對象應(yīng)滿足式(3)的要求，即可滿足裝配準(zhǔn)確度的要求。配合關(guān)系可描述為

(4)

式中：上標(biāo)A和B分別為基準(zhǔn)裝配體和對接裝配體，ΩA和ΩB分別為基準(zhǔn)裝配體和對接裝配體上相配合特征的位置和姿態(tài)參數(shù)的集合，在本文中為有向點(diǎn)集。

(5)

式中：qn為某一項裝配準(zhǔn)確度的指標(biāo)最優(yōu)值。

而軸孔類配合可以看做2個有向點(diǎn)之間進(jìn)行相互配合，如圖5所示，其由同軸度和位置度轉(zhuǎn)化而來的分析的值主要由偏移、偏向、縫隙決定。因此，二者的夾角(偏向)可以表示為

(6)

(7)

(8)

2.3 基于SVD分解的有向點(diǎn)集對裝配偏差解算

如圖6所示，裝配體進(jìn)行裝配時，可以等效為有向點(diǎn)集對中的有向點(diǎn)對一一配合，同時還需考慮有向點(diǎn)集自身的拓?fù)潢P(guān)系。即一個裝配體上的所有軸或孔構(gòu)成一個整體，因此需要對有向點(diǎn)集對的配合進(jìn)行整體評估，在最優(yōu)配合下，對有向點(diǎn)對的裝配偏差逐個進(jìn)行求解。

設(shè)基準(zhǔn)裝配體測量所得有向點(diǎn)集為

(9)

(10)

ΩBm可以轉(zhuǎn)化為位置參數(shù)矩陣PBm和方向參數(shù)矩陣OBm:

(11)

B的參數(shù)矩陣為ΩB，其位置和姿態(tài)參數(shù)矩陣分別為PB和OB，Bm和B兩組點(diǎn)集ΩB和ΩBm存在關(guān)系：

(12)

式中：R為旋轉(zhuǎn)矩陣；T為平移矩陣；EP為位置偏差矩陣；EO為方向偏差矩陣。

令

(13)

則式(12)可以轉(zhuǎn)化為

(14)

采用SVD分解法對式(14)進(jìn)行求解：

(15)

等價于

(16)

計算ΩVm及ΩV的重心坐標(biāo)：

(17)

令

(18)

則式(16)可以轉(zhuǎn)化為

(19)

等價于

(20)

此時

(21)

對H進(jìn)行SVD分解：H=UDVT，則

(22)

將R、T代入式(14)，有

(23)

則PBm′為對接裝配體B調(diào)整目標(biāo)位置下的有向點(diǎn)位置參數(shù)矩陣，此時PBm′與理想位置參數(shù)矩陣PBm仍有EP的差距。同理，OBm′與理想方向參數(shù)矩陣OBm有EO的差距。將PBm′與PBm、OBm′與OBm代入式(6)～式(8)中計算偏移、偏向、縫隙，并與裝配準(zhǔn)確度進(jìn)行比較，如果不滿足裝配準(zhǔn)確度要求，則需要進(jìn)行調(diào)配等優(yōu)化。

3 面向調(diào)配的協(xié)調(diào)量求解

孔類調(diào)配多通過對零部件上另一位置的調(diào)整間接傳遞。對空間任一點(diǎn)協(xié)調(diào)量的計算可通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式(Rodrigues’ Rotation Formula)進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，加上位置補(bǔ)償完成。

(24)

式中：Ralign為矢量變換的旋轉(zhuǎn)矩陣，通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式求解：

Ralign=-(Icosθ+(1-cosθ)rrT+

(25)

式中：θ可通過式(6)求解；r為旋轉(zhuǎn)軸；根據(jù)式(26)解得。

(26)

設(shè)調(diào)整點(diǎn)坐標(biāo)為P，則該點(diǎn)的調(diào)整目標(biāo)解算方法為

P′=RalignP

(27)

此時，平移補(bǔ)償量由ePi給出。平移量可分解為軸向平移和沿配合面平移，分別解算為縫隙補(bǔ)償和偏移補(bǔ)償。

(28)

式中：eh為縫隙補(bǔ)償矢量；ed為偏移補(bǔ)償矢量。

如果計算縫隙調(diào)整量為負(fù)值，說明該孔位在其他孔位配合正常后有擠壓，選出負(fù)值絕對值最大的一個，將該絕對值補(bǔ)償?shù)剿械目孜簧?，并進(jìn)行調(diào)整以消除影響。

4 試驗與分析

4.1 試驗過程與數(shù)據(jù)分析

結(jié)合某航天器多面多孔式裝配過程，建立試驗流程如圖8所示。

1)建立如圖9(a)所示試驗場景，3個孔類零件(a、b、c)分布固定板上作為試驗組A，安裝測量輔具后用三坐標(biāo)測量機(jī)對測量輔具的孔及上表面進(jìn)行測量，將孔投影到上表面所在平面為該測量孔在上表面的測量值，測量數(shù)據(jù)如表1所示。

2)如圖9(b)使用鋁塊將試驗組A的固定板傾斜約15°，松開每個孔類零件并在與固定板的連接處插入不等量的墊片，使其相對姿態(tài)發(fā)生變化，擰緊，作為B組試驗體，測量方式參考步驟1)，測量數(shù)據(jù)如表2所示(未轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系至A所在坐標(biāo)系)。

3)對試驗組A與B進(jìn)行分析，計算試驗組B需要補(bǔ)償?shù)膲|片以復(fù)原至A的狀態(tài)，松開孔類零件的緊固孔，并進(jìn)行墊片補(bǔ)償，在三坐標(biāo)測量機(jī)的輔助下完成平移運(yùn)動，調(diào)整完成后重新測量測量輔具作為試驗組C，協(xié)調(diào)量(墊片補(bǔ)償及平移量，墊片序號與圖9中測量輔具標(biāo)注序號一致)如表3所示，有向點(diǎn)的方向為z軸正方向，因此dz近似為0，墊片補(bǔ)償包括了縫隙以及偏向兩部分，試驗組C測量數(shù)據(jù)(未轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系至試驗組A所在坐標(biāo)系)如表4所示。

連接件測量點(diǎn)x/mmy/mmz/mm115.908347.840-80.594a267.929346.742-80.802366.817294.751-80.686414.804295.900-80.478181.161218.937-74.581b2132.616226.205-74.0303139.910174.713-74.032488.441167.405-74.5831187.626303.415-83.820c2233.913327.103-83.8353257.601280.779-83.8494211.308257.117-83.834

表2 試驗組B測量數(shù)據(jù)Table 2 Measure data of Set B

表3 試驗組B協(xié)調(diào)量Table 3 Adjustments of Set B

表4 試驗組C測量數(shù)據(jù)Table 4 Measure data of Set C

4)計算試驗組C與試驗組A的裝配偏差，試驗組B與試驗組A的裝配偏差，如果試驗組C與試驗組A較試驗組B與試驗組A的裝配偏差有減少，則驗證本文的方法的有效性，解算結(jié)果如表5所示。

表5數(shù)據(jù)顯示，縫隙、偏移、偏向均有明顯減少，從而說明在本方法的指導(dǎo)下能夠通過測量數(shù)據(jù)對裝配偏差進(jìn)行分析并輔助調(diào)配。

表5 裝配偏差比較Table 5 Comparison of assembly deviation

4.2 誤差分析

試驗中解算出的協(xié)調(diào)量的不確定度受測量不確定度以及算法本身精度影響，縫隙、偏移、偏向的不確定度可根據(jù)式(29)進(jìn)行粗略估計:

(29)

式中：Δh為縫隙補(bǔ)償量的不確定度;Δp1、Δp2為有向點(diǎn)位置參數(shù)的測量不確定度;Δm為算法在計算機(jī)運(yùn)行中舍入精度引起的誤差，在多次仿真試驗中，該數(shù)值優(yōu)于0.002 mm;Δd為偏移補(bǔ)償量的不確定度;Δθ為偏向補(bǔ)償量的不確定度;Δo1、Δo2為有向點(diǎn)方向參數(shù)的測量不確定度。

其中三坐標(biāo)測量機(jī)型號為PEARL-755，其基準(zhǔn)測量不確定度參數(shù)為3 μm，線性測量不確定度參數(shù)為3 μm/m。試驗中均為點(diǎn)測量，測量范圍較小，估計測量不確定度為3 μm。

根據(jù)式(2)，有向點(diǎn)的位置測量不確定度為6.2×10-3mm，有向點(diǎn)的方向測量不確定度估計為4.7×10-3(°)，縫隙的測量不確定度估計為9.0×10-3mm，偏移的測量不確定度估計為9.0×10-3mm，偏向的測量不確定度估計為6.6×10-3(°)。

在試驗中，協(xié)調(diào)的偏差還受工藝因素的影響，縫隙調(diào)整與偏向調(diào)整中墊片厚度名義值與實際值的偏差、墊片墊入深度、螺釘擰緊力等因素對調(diào)整結(jié)果均有影響，偏移調(diào)整中人為操作偏差、軸孔配合偏差影響了調(diào)整精度。

5 結(jié) 論

1) 提出基于有向點(diǎn)的軸/孔位姿表達(dá)方法，構(gòu)建多面多孔式裝配偏差的數(shù)學(xué)表達(dá)模型，對有向點(diǎn)集對的協(xié)調(diào)過程進(jìn)行分析；針對軸或孔的調(diào)整裝配，給出協(xié)調(diào)量計算方法，實現(xiàn)多面多孔式裝配的裝前評估與協(xié)調(diào)。

2) 針對有向點(diǎn)集對協(xié)調(diào)的問題，構(gòu)建了有向點(diǎn)集對配合的數(shù)學(xué)模型，采用SVD分解法進(jìn)行最佳擬合；針對有向點(diǎn)表征的孔或軸的調(diào)整裝配，通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式和平移補(bǔ)償計算調(diào)整量。

3) 進(jìn)行了多面多孔式裝配協(xié)調(diào)試驗，試驗結(jié)果表明，通過對測量數(shù)據(jù)的分析和對軸/孔的調(diào)整，縫隙、偏移、偏向均有明顯降低，驗證了本文方法能夠基于測量數(shù)據(jù)對裝配偏差分析并輔助調(diào)配。

4) 本方法還可擴(kuò)展應(yīng)用于柔性工裝裝調(diào)等。