上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部 劉美玲

向量組的線性相關(guān)性理論是線性代數(shù)課程的重要組成部分，對(duì)于線性方程組的求解有很好的輔助功能。然而本概念是該門(mén)課中最抽象、最難理解的部分之一，出于課程體系的完整性和后續(xù)學(xué)習(xí)的需要，很多學(xué)生學(xué)完了該課程，但對(duì)線性關(guān)系依然是知之甚淺，因此打擊了一些學(xué)生學(xué)習(xí)該門(mén)課程的信心，喪失了對(duì)該門(mén)課程的興趣，對(duì)后面能否求解線性方程組產(chǎn)生了懷疑。為此，在多年的教學(xué)實(shí)踐中，必須思考如何用通俗的語(yǔ)言來(lái)生動(dòng)形象地表達(dá)這些枯燥的概念和定理。應(yīng)用類(lèi)比法，則可以讓學(xué)生對(duì)這些抽象概念感到熟悉、感到親切，從而容易接受和理解。

一、線性相關(guān)性和線性方程組

線性方程組：

可以用向量形式表示為：

對(duì)應(yīng)的齊次方程組：

可以用向量形式表示為：

由此，方程組是否有解轉(zhuǎn)變?yōu)槟芊裾业揭唤M數(shù) ，使（1）式成立。

則稱(chēng)向量組線性相關(guān)，否則稱(chēng)線性無(wú)關(guān)。

由線性相關(guān)性的定義可知，對(duì)應(yīng)的向量組線性相關(guān)即表示齊次線性方程組（3）有非零解；線性無(wú)關(guān)則只有零解。這里要向?qū)W生解釋?zhuān)匠蹋?）中向量組線性組合的系數(shù) 就代表方程組的解。

二、定理及舉例

定理1 設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式唯一。

定理1說(shuō)明線性方程組（1）有解可以表達(dá)為向量b能由向量組A線性表示，表示法唯一即表示只有唯一解。

該方程組的系數(shù)行列式

因此，方程組只有零解 ，所以向量組 線性無(wú)關(guān)。

例1題目簡(jiǎn)單明了，著重向?qū)W生講解明白向量組合可以表示成方程組，具體顯示了向量組的線性相關(guān)性和線性方程組的求解的直接關(guān)系。

因向量組A線性無(wú)關(guān)，所以上方程組只有零解，從而B(niǎo)相應(yīng)的方程組也只有零解，即線性無(wú)關(guān)。

定理2有些抽象難懂，講解證明過(guò)程時(shí)充分解釋將向量組合展開(kāi)成方程組，即轉(zhuǎn)換為了方程組的解的問(wèn)題，簡(jiǎn)潔明了，生動(dòng)易懂。

經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐證明，從調(diào)整教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、合理使用教學(xué)方法、讓學(xué)生正確區(qū)分線性相關(guān)、線性表示與線性方程組的關(guān)系，注重知識(shí)的應(yīng)用及結(jié)合數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題，并增加應(yīng)用性練習(xí)等幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)，在提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的同時(shí)，也教會(huì)了學(xué)生如何不斷擴(kuò)充自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，提高了他們的自學(xué)能力和可持續(xù)發(fā)展的能力。