夏衣旦·莫合德 張四保 熊滿玉

(1.喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 新疆 喀什 844008; 2.烏魯木齊第四十二小學， 新疆 烏魯木齊 830000)

0 序 言

n是一正整數(shù)，令φ(n)為Euler函數(shù).Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一類極其重要函數(shù)之一，有關φ(n)方程解的研究可以說是數(shù)論研究中的一個極富意義的研究課題之一，引起了不少學者的關注及重視，也得到了一些結論，如文獻[1-6].

對于形如

φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))

(0.1)

的Euler函數(shù)φ(n)的線性方程有著一定的研究.文獻[7]討論了方程(0.1)當k為素數(shù)的情形，給出了k=3時方程(0.1)的部分解，而文獻[8]給出了k=3方程(0.1)的全部解；文獻[9]給出了k=4方程(0.1)的全部解；文獻[10]討論了當k=4,6時方程(0.1)的各自解；文獻[11]給出了k=5方程(0.1)的全部解；文獻[12]給出了k=7方程(0.1)的全部解；文獻[13]給出了k=8方程(0.1)的全部解；文獻[14]給出了k=9方程(0.1)的全部解.

本文將討論一個有關Euler函數(shù)φ(n)的非線性方程

φ(mn)=7φ(m)+8φ(n)+16

(0.2)

的解.

1 定理及其證明

定理1方程(0.2)有解(m,n)=(17, 32)，(17, 40)，(17, 48)，(17, 60)，(32, 17)，(40, 17)，(48, 17)，(60, 17)，(51, 11)，(51, 22)，(64, 11)，(68, 11)，(80, 11)，(96,11)，(102, 11)，(120, 11)，(123, 16)，(123, 20)，(164, 15)，(165, 16)，(176, 15)，(104, 10)，(112, 10)，(130, 8)，(130, 12)，(144,10)，(156, 10)，(168, 10)，(210, 8)，(210, 12)，(15, 27)，(15, 54)，(24, 27)，(30, 27)，(48,15)，(51, 9)，(51, 18)，(96, 9)，(102, 9)，(120, 9)，(104, 12)，(112, 12)，(140, 8)，(140, 12)，(156, 8)，(180, 8)，(104, 8)，(112, 8)，(144, 8)，(168, 8)，(40, 10)，(60, 10)，共52組.

證明設gcd(m,n)=d，則φ(m)=m1φ(d)，φ(n)=n1φ(d)，其中m1,n1∈Z+.由方程(0.2)，有φ(d)(dm1n1-7m1-8n1)=16，從而有φ(d)=1,2,4,8,16.

情況1φ(d)=1

此時有dm1n1-7m1-8n1=16.由φ(d)=1時，有d=1,2.

情況2φ(d)=2

此時有dm1n1-7m1-8n1=8.由φ(d)=2時，有d=3,4,6.

當d=6時，有6m1n1-7m1-8n1=8，從而有(3m1-4)(6n1-7)=52，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此時方程(0.2)無解.

情況3φ(d)=4

此時有dm1n1-7m1-8n1=4. 由φ(d)=4，有d=5,8,10,12.

當d=12時，有12m1n1-7m1-8n1=4.從而可得(3m1-2)(12n1-7)=26,不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此時方程(0.2)無解.

情況4φ(d)=8

此時有dm1n1-7m1-8n1=2.由φ(d)=8，有d=15,16,20,24,30.計算可得，當d=15,16,20,24,30，對于方程dm1n1-7m1-8n1=2，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此時方程(0.2)無解.

情況5φ(d)=16

此時有dm1n1-7m1-8n1=1.由φ(d)=16，有d=17,32,34,40,48,60. 計算可得，當d=17,32,34,40,48,60，對于方程dm1n1-7m1-8n1=1，不存在m1,n1∈Z+使得其成立，故此時方程(0.2)無解.綜上可得本文結論.