謝偉杰
摘 要 梅州市高一數(shù)學(xué)質(zhì)量抽測(cè)題第11題是一道關(guān)于平面向量數(shù)量積的考題,這道考題引起了筆者的注意。此題很好地考察了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解,也能很好地考察學(xué)生對(duì)求解平面向量數(shù)量積的方法是否掌握到位。
關(guān)鍵詞 平面向量數(shù)量積;解法
中圖分類號(hào):O241.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1002-7661(2018) 34-0211-01
做題中的“少運(yùn)算”是建立在對(duì)基本概念理解的基礎(chǔ)之上的,學(xué)生只有對(duì)相關(guān)的概念、性質(zhì)有深刻的理解,而不是純粹的記公式或套方法,才能在做題中真正實(shí)現(xiàn)“多思考,少運(yùn)算”。教師在教學(xué)中,要幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的核心及實(shí)質(zhì),而不是認(rèn)為學(xué)生只要能記住相關(guān)的公式或會(huì)套用某類方法解題就行,否則,在具體的問題情境中,學(xué)生極容易在公式與計(jì)算中迷失,從而找不到解決問題的有效途徑。
一、原題呈現(xiàn)
已知 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形,點(diǎn) , 分別是邊 , 的中點(diǎn),連接 并延長(zhǎng)到點(diǎn) ,使得 ,則 的值為 ( )
二、解法展示與對(duì)比
解法一:如圖1,
解法二:如圖2,以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn), 為 軸正方向,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則 , ,
解法三:如圖3,點(diǎn) 在 上的投影為點(diǎn) ,作點(diǎn) 在 上的投影 ,則 在 是的投影為 ,由向量數(shù)量積的含義可知 ,易得 與 相似,所以 ,又 ,所以 ,即 . 故
作為選擇題,解法三有明顯的優(yōu)點(diǎn),即我們只需將 在 上的投影 作出,對(duì)圖中線段 的長(zhǎng)度作大致估計(jì),就可迅速判斷只有 選項(xiàng)才是合理的。筆者認(rèn)為這樣并不是投機(jī)取巧,恰恰相反,在考場(chǎng)上會(huì)做這樣的思考,并采取此策略的學(xué)生,說明該生對(duì)數(shù)量積的概念有更深刻的理解,并有更好的思維能力。這與高考命題中所提倡的“多思考,少運(yùn)算”的理念也是一致的。