孫熙林，王 偉，2*

（1.青島科技大學(xué) 橡塑材料與工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266042；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

目前炭黑填充橡膠基材料[1-3]的研究主要有兩種方法：一種是基于物理試驗(yàn)方法研究宏觀力學(xué)性能；另一種是從細(xì)觀上建立能反映真實(shí)情況的炭黑聚集體模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬。對(duì)于后者，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了一些研究，諸如炭黑填充橡膠的變形抵抗機(jī)理和宏觀行為的研究[4-5]、代表體積單元（RVE）的尺寸大小及網(wǎng)格密度關(guān)系的討論[6]和炭黑粒子的隨機(jī)分布模式、粒徑大小及體積分?jǐn)?shù)等對(duì)橡膠基材料性能影響的研究[7]。隨著計(jì)算機(jī)硬件條件的改善和橡膠本構(gòu)理論及計(jì)算方法的不斷發(fā)展，從多尺度角度揭示炭黑填充橡膠的力學(xué)行為已成為可能。因此，探索一種在細(xì)觀尺度上通過(guò)建立能反映炭黑聚集體實(shí)際情況的三維模型來(lái)預(yù)測(cè)橡膠的力學(xué)行為，并指導(dǎo)炭黑填充橡膠材料的設(shè)計(jì)和改性具有重要意義。

1 代表體積單元

復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)認(rèn)為顆粒在復(fù)合材料基體中的分散具有一定的規(guī)律性，并且符合統(tǒng)計(jì)均勻性特點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]提出了復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)上具有周期性的行為假設(shè)，并且從宏觀中分離出能反映細(xì)觀特點(diǎn)的代表體積單元。代表體積單元的選取一般要滿足兩個(gè)特點(diǎn)：一是從細(xì)觀層面上看，其建立的模塊必須包含復(fù)合材料的各種顆粒填充物，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)能反映這些顆粒在基體中的體積分?jǐn)?shù)、分散方式等特點(diǎn)；二是可以把代表體積單元看作是均勻分布的最小單元，由于代表體積單元是連續(xù)的，需要施加周期性位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)的邊界條件以保證變形場(chǎng)的協(xié)調(diào)性。周期性假設(shè)則認(rèn)為，復(fù)合材料由代表體積單元周期性排列所構(gòu)成，宏觀上是均勻的各向同性材料，用代表體積單元的平均應(yīng)力-應(yīng)變行為就可以反映材料整體的宏觀特點(diǎn)。從細(xì)觀層面看，代表體積單元包含了復(fù)合材料基體和各種各向異性的填充物，可以反映在應(yīng)力應(yīng)變等條件下各種填充物對(duì)基體細(xì)觀上的影響（如應(yīng)力集中等），從而在細(xì)觀層面上設(shè)計(jì)和優(yōu)化相關(guān)問(wèn)題。

相比單顆粒、三顆粒[9]和十二面體多顆粒[10]等夾雜的三維RVE模型，本工作建立了多顆粒不同聚集體形態(tài)隨機(jī)分布的三維RVE模型，取得了與改進(jìn)的隨機(jī)序列吸附算法（RSA）建立粒徑和顆粒隨機(jī)分布的RVE模型相比較好的模擬結(jié)果，而后者由于與多數(shù)試驗(yàn)結(jié)果吻合性較好，被廣泛應(yīng)用于材料有效彈性模量的預(yù)測(cè)等。

2 隨機(jī)分布炭黑聚集體RVE模型的建立

2.1 RVE本構(gòu)模型選擇和參數(shù)設(shè)定

參考D.Sodhani和S.Reese[11]的建模假設(shè)，本工作建立的RVE模型是顆粒自由分布、無(wú)重疊和無(wú)粘結(jié)的理想炭黑填充橡膠材料，材料只由炭黑和橡膠組成。

一般認(rèn)為炭黑是各向同性的彈性材料，楊氏模量為200 MPa，泊松比為0.3，橡膠選擇超彈性本構(gòu)模型。建模時(shí)，將炭黑粒子和橡膠基體分開(kāi)，扣除炭黑粒子的橡膠基體即為未填充的橡膠，如圖1所示。

圖1 炭黑顆粒和橡膠基體的網(wǎng)格模型

選擇近似不可壓縮的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型來(lái)描述橡膠的力學(xué)行為。Mooney-Rivlin方程為：

式中W為橡膠類非線性材料Rivlin模型的應(yīng)變能密度函數(shù)，I1和I2分別為Green變形張量的第一和第二不變量，C10和C01是本構(gòu)常數(shù)，分別為0.155和0.135 MPa[12]。

2.2 RVE模型的建立

相比單顆粒、雙顆粒RVE模型只適用于顆粒均勻分散模式的模擬，本工作采用Digimat軟件設(shè)定炭黑聚集體是直徑為100 nm、RVE棱長(zhǎng)為600 nm的正六面體，長(zhǎng)徑比為1/6，假定炭黑聚集體與橡膠基體之間的接觸屬于完全界面接觸，建立炭黑體積分?jǐn)?shù)分別為0.024，0.07，0.11，0.15和0.25的球形炭黑聚集體RVE模型，選取體積分?jǐn)?shù)為0.07，0.15和0.25的3種模型（見(jiàn)圖2）的模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[12]進(jìn)行討論。

圖2 不同體積分?jǐn)?shù)的炭黑聚集體分布的RVE模型

本工作還建立了體積分?jǐn)?shù)為0.15的球體、橢球體、圓柱體、三棱柱和二十面體5種不同炭黑聚集體形態(tài)的RVE模型，見(jiàn)圖3。由于圓柱體和橢球體模型模擬結(jié)果與實(shí)際偏差較大，因此未列出。

圖3 不同顆粒形態(tài)的炭黑聚集體的RVE模型

2.3 Abaqus運(yùn)算

完成RVE的三維幾何建模后，借助Abaqus軟件進(jìn)行有限元建模和計(jì)算。從Digimat軟件導(dǎo)出FE模型時(shí)，加載方式是沿U1方向的單軸拉伸，采用方程約束的周期性邊界條件。在Abaqus中橡膠基體采用適用于大變形問(wèn)題的C3D10MH雜交單元，炭黑顆粒采用C3D10M單元。

3 結(jié)果與討論

3.1 模擬結(jié)果可靠性驗(yàn)證

在RVE模型建立并借助Abaqus軟件計(jì)算完成后可得到相關(guān)模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線、變形場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)等結(jié)果。體積分?jǐn)?shù)分別為0.07，0.15和0.25的炭黑填充橡膠復(fù)合材料的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4所示。

從圖4可以看出，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.07時(shí)，本模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及李慶等[12]的模擬結(jié)果變化趨勢(shì)相同，即隨著名義應(yīng)變的逐漸增大，名義應(yīng)力呈非線性增大，能夠模擬較大應(yīng)變下炭黑填充橡膠的力學(xué)行為，而且本模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合程度很高，表明本工作建立的體積分?jǐn)?shù)為0.07的炭黑填充橡膠的三維球形分散顆粒的RVE模型能夠反映實(shí)際情況，是合理、可靠的。

圖4 不同體積分?jǐn)?shù)的炭黑填充橡膠名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線

當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.15時(shí)，盡管由于RVE模型建立時(shí)炭黑聚集體易出現(xiàn)破碎導(dǎo)致模量偏低，但本模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[12]模擬結(jié)果基本吻合，說(shuō)明體積分?jǐn)?shù)為0.15的RVE模型也可以較好地反映炭黑填充橡膠的力學(xué)行為。

當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.25時(shí)，本模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[12]的模擬結(jié)果變化趨勢(shì)相同，本模擬結(jié)果與試驗(yàn)曲線吻合較好，模量稍偏低，但采用Digimat軟件建立的RVE模型在較大體積分?jǐn)?shù)下預(yù)測(cè)的應(yīng)變范圍更大、效果更好。

3.2 變形場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)分析

基于Digamt軟件建立的三維RVE模型的網(wǎng)格劃分如圖1所示，對(duì)RVE模型施加周期性邊界條件，沿U1軸施加一定位移實(shí)現(xiàn)單軸拉伸，借助Abaqus軟件計(jì)算可得RVE模型的變形圖和應(yīng)力場(chǎng)。體積分?jǐn)?shù)為0.07的RVE變形圖和應(yīng)力場(chǎng)分別如圖5和6所示。

圖5 RVE變形圖

從圖5可以看出，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.07的炭黑填充橡膠的單軸拉伸量為0.500 1 μm時(shí)發(fā)生了較大的形變，形變的主體是橡膠基體，炭黑聚集體發(fā)生形變較小。

從圖6（a）可以看出，應(yīng)力偏高的區(qū)域位于炭黑聚集體及其周圍。從圖6（b）可以明顯看出在兩個(gè)或多個(gè)炭黑聚集體相鄰近的區(qū)域，炭黑聚集體之間的應(yīng)力集中現(xiàn)象更為明顯，比炭黑聚集體與橡膠基體之間的應(yīng)力高1個(gè)數(shù)量級(jí)，是應(yīng)力集中突出的地方。

圖6 RVE預(yù)測(cè)的Mises應(yīng)力分布和局部應(yīng)力集中

3.3 不同炭黑聚集體模型對(duì)材料力學(xué)性能的分析

借助Digimat軟件建立了體積分?jǐn)?shù)為0.15的炭黑聚集體模型，并用三棱柱、圓柱體、球體、二十面體和長(zhǎng)徑比為1.2的橢球體來(lái)描述炭黑的聚集狀態(tài)。不同炭黑聚集體模型填充橡膠的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖7所示。

圖7 不同炭黑聚集體模型填充橡膠的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線

從圖7可以看出，球體、橢球體、圓柱體、二十面體和三棱柱模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與試驗(yàn)的接近程度越來(lái)越高。其中二十面體與三棱柱模型曲線幾乎一致，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。由此可以推測(cè)，在炭黑體積分?jǐn)?shù)較小且顆粒分散相對(duì)理想的狀況下，細(xì)觀尺度模型中描述炭黑聚集體在橡膠中的分散狀態(tài)用接近三棱柱或二十面體形狀的聚集體模型更好。另外，針對(duì)高用量炭黑填充橡膠力學(xué)性能的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)尚存在一定差距，需進(jìn)一步改進(jìn)模型或計(jì)算方法，并考慮炭黑凝膠和填料網(wǎng)絡(luò)對(duì)橡膠力學(xué)性能的貢獻(xiàn)。

4 結(jié)論

（1）本工作針對(duì)不同體積分?jǐn)?shù)炭黑填充橡膠建立的細(xì)觀尺度模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，說(shuō)明所建立的模型能較好地反映炭黑在橡膠中的聚集狀態(tài)。同時(shí)實(shí)現(xiàn)了用細(xì)觀尺度模型來(lái)預(yù)測(cè)填充橡膠宏觀力學(xué)性能的途徑。

（2）在單軸拉伸的變形場(chǎng)下，橡膠基體是形變的主體，炭黑聚集體產(chǎn)生形變較??；應(yīng)力偏高的區(qū)域位于炭黑聚集體與炭黑聚集體相接近的區(qū)域。

（3）當(dāng)炭黑體積分?jǐn)?shù)小且其顆粒處于相對(duì)理想分散狀態(tài)下，在細(xì)觀尺度上描述炭黑聚集體在橡膠中的聚集狀態(tài)時(shí)，用接近三棱柱或二十面體形狀的聚集體模型較好。