劉雅蘭

數(shù)學教育是數(shù)學活動的教育，也是思維活動的教育，保持思維活動的連續(xù)性、層進性對于學生清晰地理解問題，把握知識的核心和本質，并且為后續(xù)學習掃清障礙，提供支撐都是非常有價值的。本文從三個課例談對思維斷層性分析及策略的思考。

課例一：“乘法的初步認識”。

環(huán)節(jié)一：出示小飛機圖（圖一），小飛機里共有多少人？

生（1）：15人。

生（2）：3+3+3+3+3=15。

生（3）：還可以用三五十五。

師：這是什么意思？

生：用乘法來計算。

師：乘法？什么情況下用乘法？怎樣用乘法呢？

環(huán)節(jié)二：展開圖二（右圖），圖三（下頁左圖）的教學，用這樣的思維形式引領學生的思考。

生：3+3+3+3+3，一共有5個3，就用5×3來表示。（教師給予及時鼓勵。）

課例二：“5的乘法口訣”。

師：現(xiàn)在已經秋季了，小松鼠開始準備過冬的食物了，看看這一地的松果，你能幫小松鼠數(shù)數(shù)有多少松果嗎？

生說可以5個5個數(shù)，邊敘述邊圈畫數(shù)松果的過程。

師：為了看得清楚，一目了然，老師把這些松果在圈的基礎上擺一擺（擺出主題圖），這樣清楚了嗎？

課例三：“乘加、乘減的教學”。

教師讓學生觀察并解決實際問題，要知道圖中圓圈的個數(shù)，我們怎么辦？

方法一：10+9。

方法二：4×4+3。

方法三：9×2+1。

方法四：10×2-1。

學生找到好多方法來表達自己的思考，課堂比較活躍。然后老師出示一個新的與例題相似模式的圖片，讓學生在獨立解決問題的過程中夯實新知。

課例分析：

一、 關于乘法意義的認識的思維斷層型分析

我們在課例一中看到，教材中和教師課堂教學中所倡導的均是這樣的一個思維層次，相同加數(shù)的加法——幾個幾——乘法算式。這樣的教學中的思維是否是連貫的，是否是清晰的？筆者認為不然。

我們思考原來對于此部分教學，非常強調每份數(shù)與份數(shù)，而且一定把每份數(shù)寫在乘法算式中前面的位置，等到學習乘法交換律的時候，再強調兩個乘數(shù)的位置可以互換。后來教材發(fā)生了變化，根據(jù)一個加法算式可以寫出兩個乘法算式，不強調乘數(shù)的位置。現(xiàn)在教材這樣處理，我們認為它是把這樣兩個教學進行合理性整合，沒有先過分地強調位置，然后再強調位置可互換。這樣的處理方式，簡化了教學過程，減輕了學生的學習負擔。但這樣教學是否會缺失一些思考呢？筆者認為我們的乘法學習不僅要讓學生了解相同的加數(shù)可以用乘法來計算，還應該對乘法的結構及意義進行深入的思考。如在教學中，應該滲透這里的相同的加數(shù)是3，有5個這樣的加數(shù)，這樣就形成一種新的思維路徑。

這樣增加一個思維點的價值是：

1. 實現(xiàn)加法算式與乘法算式的溝通。

雖然如上面例子中的加法算式可以寫成兩個乘法算式，但學生要明白這里相同的加數(shù)是“誰”，相同加數(shù)的個數(shù)是“誰”。這樣學生說到“5個3”的時候，知道這里的每一份是3，有這樣的5個3。也就是雖然我們不強調應該把相同的加數(shù)放在乘法算式前面的位置，但是我們要知道誰是相同加數(shù)，這樣相同加數(shù)的個數(shù)有幾個。其實這樣一個過程就是把以乘法為背景的情境進行抽象，讓學生借助乘法的背景更好地理解乘法的意義，從而為將來學生用乘法的意義解決實際問題提供了支撐。

2. 乘法模型的構建為結構化的認知提供支撐。

乘法學習的價值在于可以借助乘法解決生活中的許多問題，比如行程問題、植樹問題、工效問題、價格問題等。在特定情境中，對相關術語的理解可以依托于乘法基本意義的理解。比如行程問題中的速度、時間和路程。這里的速度既是單位時間內走的長度，其實就是每份數(shù)，時間既是有這樣的幾份，就是份數(shù)。溝通了這樣的聯(lián)系，在乘法的意義的這部分教學就讓學生對于相同加數(shù)及相同加數(shù)的個數(shù)有了清晰的認識，在今后的教學時，就可以借助這樣的模型進行教學，形成結構化的統(tǒng)一體系，便于學生構建新知，形成對知識體系的清晰的理解和認識，降低學習的復雜性。

二、 關于乘法口訣學習過程中思維連續(xù)性的分析

在課例二中教者呈現(xiàn)一個比較亂的擺放的松果圖，讓學生思考“我”怎樣能很快地知道一共有多少個松果。教者這樣做的意圖是什么？這里蘊含著什么樣的思考？為什么教者強調讓學生圈一圈、畫一畫？

1. 在真實的現(xiàn)實問題中思考。

人教版教材中給的一套福娃（圖四），可以說蘊含了幾個5的思考。那為什么教者給的是散亂的松果？筆者覺得這恰恰是教者還原真實的現(xiàn)實。我們在生活中數(shù)物體的個數(shù)的時候，物體多半處于零散的狀態(tài)。在這種情況下，我們怎樣處理呢？能直接用乘法？恐怕是不能的，這里必須有一個思維過程，就是分，而且是等分，實際上學生遇到這個問題的時候往往不是分成10個一組，因為這樣對于他們來說每一份比較多。他們往往選擇的是5個一組，比較好分，也比較好數(shù)。教者創(chuàng)造這樣一個情境就是還原現(xiàn)實情境，讓學生經歷畫一畫、圈一圈的過程，感受思維連續(xù)性的發(fā)展過程，獲得活動的良好經歷和體驗。

尤其這里滲透一個解決數(shù)學問題的策略就是“尋求同一性”，即如果面對比較復雜的問題，我們怎樣把比較復雜的數(shù)據(jù)或問題變成“單一數(shù)據(jù)”或“單一情境”，通過簡化問題，最后尋求問題的解決，這樣的簡單的處理是對學生思維方式和習慣的引領。

2. 關于乘法本質的實踐性認識。

看似簡單的圈一圈，我們發(fā)現(xiàn)這恰恰是乘法本質的實踐性認識，就是加法與乘法的不同之處是什么。可能大家說，加法是加數(shù)不多，而且加數(shù)都不相同；乘法是加數(shù)都相同，或可以創(chuàng)造出相同加數(shù)。其實，筆者覺得可以再深入思考下，加法是相同計數(shù)單位的累積和疊加。如23+35，2個十與3個十的疊加，3個一與5個一的疊加。乘法是在計數(shù)單位的基礎上進行拓展，可以若干個“標準”為基數(shù)的累積和疊加，如案例二中，就是5個為基數(shù)，1個5，2個5……若以計數(shù)單位累積的話比較容易計算，如幾個1就是幾，幾個十就是幾十。若以非計數(shù)單位累積和疊加，就非常不好計算，乘法口訣恰恰為這個過程提供了支撐，這也恰恰是乘法口訣學習的價值所在。

看似一個簡單的處理，里面濃縮著教者對課程的理解及教材本質的認識和分析。所以，我們也經常說對教材的處理要深入淺出，就是對教材本質要有深入的認識，又要在課堂呈現(xiàn)上有一個簡單的載體去呈現(xiàn)，使學生能夠通過這樣的環(huán)節(jié)對知識有深入的認識，從而為后續(xù)的學習提供強有力的支撐。

三、 關于乘法的運用過程中思維軌跡的分析

在課例三中，我們看到教師創(chuàng)設了一個情境，讓學生在情境中運用所學的知識來解決問題，那從提取情境中的數(shù)學信息到運用所學的乘法知識來解決問題的過程中，我們潛藏的思維路徑是什么呢？在思維的過程中怎樣把“隱形”的思維顯性化呢？

1. 讓數(shù)形結合成為顯性化的手段。

借助“數(shù)形結合”，讓學生的思考及對問題的認識清晰化。如在課例三中讓學生的每一次思考都要有形的助力。

讓學生動手、動腦把“形的個數(shù)”借助“數(shù)”來抽象表達，把問題的解決，借助“形”來支撐。讓學生在形與數(shù)的相互借力中完成對問題的解決，也讓學生的思維在多種方式的表達中清晰呈現(xiàn)。

2. 借助語言的描述讓思維清晰化。

在學習過程中讓學生思維清晰化、條理化的另一個重要策略就是讓學生學會用語言來表達數(shù)學。我們經常會發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象，就是隨著年齡的增長，想表達的學生越來越少，更有一個現(xiàn)象就是當我們讓學生提出問題的時候，學生多半說不清楚、說不出來。

讓學生用自己的語言來表達數(shù)學是非常有價值的，我們說思維是隱形的，如何讓思維顯性化，那就需要語言作為思維的載體，通過語言的表達讓思維過程彰顯出來。讓學生用語言表達思維的過程是讓他組織自己的語言，捋順自己的思維，以期通過有理有據(jù)的表達讓他人能聽清楚，久而久之就會形成一種有條理的思維習慣，從而變成一種能力。這種思維的條理性、清晰性、外顯性是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)。

我覺得讓學生能說、善說需要有相應的訓練。對學生的表達訓練需要階段性，敢說——想說——會說——善說。

敢說——在學生最開始學習的時候，就讓他能夠安全地去表達，讓他知道，只要他表達就會得到教師的欣賞，為他的敢說提供一種生態(tài)氛圍。

想說——多利用贊賞的評價方式給予及時的鼓勵，同時采用多種方式鼓勵學生參與到說的過程中，通過小組互說做好準備，再到群體中分享，讓他養(yǎng)成先準備充分，再積極表達的意識。

會說——教師的及時指導對于學生正確的表達非常重要。對于在發(fā)言過程中能有自己個性思考，對發(fā)言過程中能夠針對問題集中研究，關注點清晰準確的學生及時鼓勵。并對哪些觀點和方法好給予提煉，給他們一個正確的導向，讓他們學會如何去表達。

善說——教師從學生說的層次、說的方法上進行指導的同時，也可以教會他們在說的過程中借助某種方法和策略，比如上面提到的數(shù)形結合、舉例說明等等。

學生在年紀小的時候，就潛移默化地開始訓練，這樣就可以漸漸形成會說的能力，能清晰表達“我”想的是什么，“我”什么沒有弄懂，就不會進行“啞巴式學習”，提不出自己的問題和觀點，也會讓教師在他的表述過程中看到他思維的痕跡，使之成為教育的起點，真正為學生提供有效教學的基本素材。

3. 解決問題策略的多樣性的共性提煉。

在上面課例中，教師提供學生學習的情境，并讓學生多樣化的表達，在這個多樣化表達之后，教師經常少做一件事，就是共性和個性的對比分析。如在上面學生回答了多種方法之后，教師要引導學生思考，適時提出問題，這些方法之間有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？實際這里的聯(lián)系就是在情境中尋找相同的每份（如圖五）。如果圖中物品的數(shù)量太多，直接數(shù)比較困難，我們就可以把圖中的物品進行分割，分割成若干份，每一份都一樣多問題就比較好解決了。分割的過程就是創(chuàng)造用乘法來解決問題的機會。分割后，我們只要數(shù)出有一份是幾，有幾份就可以用乘法來解決。

在上述方法進行對比后，我們還能發(fā)現(xiàn)在分割的過程中解決問題的共性都是找到每份和份數(shù)，但是不同點就是思考問題的方式分成兩大類，一個是“余”，一個是“補”。在對比的過程中學生對于解決問題的方法就有一個比較清晰的認識。

這個比較的過程，就是結構化認知的過程。學生在知識點相互勾連的過程中，把握知識的核心和本質，讓解決問題的方法、策略和經驗與原有的認知結構發(fā)生聯(lián)系，從而變成學生個體的經驗和感悟，從而成為他們的素養(yǎng)和能力。

編輯/魏繼軍