侯 冰，張大鵬，徐中海

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

經(jīng)典解的存在性及其正則性，其中：f1(t)是定義在(-，+)上的非負(fù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增的光滑函數(shù)，g(t)和f(t)是定義在(0，+)上的非負(fù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減的光滑函數(shù).顯然，在此區(qū)域上該問(wèn)題是一個(gè)在邊界上退化的非線性橢圓問(wèn)題.

問(wèn)題(P)是用來(lái)描述塑性流體的一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)模型，是由守恒律得到的(見文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[3]).近年來(lái)備受關(guān)注，且對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究取得了一些重要成果(見文獻(xiàn)[4]～文獻(xiàn)[15]).

本文假設(shè)：

(H1)存在常數(shù)a0>0，b0>0，使R(a0，b0)≥r0；

(H2)f1(0)=0，f1(t)>0(t≠0)，且f1(t)在(-，+)光滑，在(0，+)上不減；

(H3)g(t)>0，g(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上不減，且

(H4)f(t)>0(t≠0)，且f(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上嚴(yán)格遞減；

本文主要給出如下定理：

注1：具有平方梯度項(xiàng)時(shí)，文獻(xiàn)[13]中的處理方法不能直接使用，本文把文獻(xiàn)[13]的結(jié)果移植到具有梯度平方項(xiàng)的情況.這不是一個(gè)簡(jiǎn)單的推廣，本文結(jié)果獨(dú)特的標(biāo)志是把解的存在性與問(wèn)題區(qū)域的大小直接聯(lián)系起來(lái).

注3：文獻(xiàn)[13]中附錄A的有關(guān)證明有漏洞，其修正的證明見文獻(xiàn)[16].

1 基本引理及正則化問(wèn)題解的基本估計(jì)

引理1[7](比較原理)

給定方程：

設(shè)方程滿足的邊界條件為：

(1)f1：[0，)×Ω→[0，)，對(duì)于區(qū)域Ω上的任意點(diǎn)X，f1連續(xù)且非減；

(2)g：(0，)×Ω→(0，)，對(duì)于區(qū)域Ω上的任意點(diǎn)X，g連續(xù)且非增；

(3)f：(0，)×Ω→(0，)，對(duì)于區(qū)域Ω上的任意點(diǎn)X，f連續(xù)且非增.

我們進(jìn)一步假設(shè)

則ψ≥u≥φ.

考慮問(wèn)題(P)的下述正則化問(wèn)題為(1>ε>0)

(Pε)

根據(jù)橢圓方程有關(guān)經(jīng)典理論[17]，可以得到關(guān)于如下結(jié)論：

命題1問(wèn)題(Pε)有經(jīng)典解uε，且當(dāng)(x，y)∈Ω時(shí)，0

證明：①證當(dāng)(x，y)∈Ω時(shí)，uε>0.

顯然0是正則化問(wèn)題(Pε)的下解，則有uε≥0，且

(Eε)

又若(x0，y0)∈Ω，使得uε(x0，y0)=0，即0為該問(wèn)題解的最小值，則有uεxx≥0，uεyy≥0.而f(ε)>0，所以在點(diǎn)(x0，y0)處(Eε)式不成立.因此，當(dāng)(x，y)∈Ω時(shí)，uε>0.

②證當(dāng)(x，y)∈Ω時(shí)，uε≤a0.

設(shè)Φ(x，y)=w(r)，其中：w(r)是當(dāng)a=a0，b=b0時(shí)，文獻(xiàn)[13]中問(wèn)題(PP)的解.容易驗(yàn)證，Φ是問(wèn)題(Pε)的一個(gè)上解.顯然Φ≤a0，則由比較原理可得，uε≤a0.證畢.

命題2設(shè)問(wèn)題(Pε)的經(jīng)典解為uε.則存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得當(dāng)0<ε<ε0時(shí)，?(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，都有uε(x，y)≥λ0r2(x，y).

證明：?(x0，y0)∈Ωd，設(shè)Ω′={(x，y)：(x-x0)2+(y-y0)2

f1(φ+ε)=f1(λs+ε)≤f1(2)，g(φ+ε)=g(λs+ε)>0，φxx=-2λ，φyy=-2λ.

所以

注意到f的性質(zhì)，存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得當(dāng)0<ε<ε0，λ=λ0時(shí)，有：

應(yīng)用比較原理：在Ω′內(nèi)uε(x，y)≥φ(x，y)；特別取(x，y)=(x0，y0)，則有?(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，uε(x，y)≥λ0r2(x，y).證畢.

由命題2及橢圓方程經(jīng)典理論[17]得：

2 定理的證明

只須證明解的存在性

在方程兩邊取ε→0時(shí)的極限，有