周 碩，楊 帆

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

矩陣反問題在諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[1～5].近年來，二次特征值反問題的研究十分活躍，尤其是對特殊結(jié)構(gòu)矩陣的研究[6～12]，更多合理的解決方案不斷提出[13～16].本文主要研究一類二次特征值反問題的對稱正交反對稱解和對稱正交對稱解.

本文提出并解決如下兩個問題：

1 問題I的解

設(shè)P是n階對稱正交矩陣，則存在n階正交矩陣U，使

(1)

由此可得

X1Λ2+C1X1Λ+K1X1=0

，

(2)

X2Λ2+C2X2Λ+K2X2=0

，

(3)

將公式(2)、公式(3)兩端同時取轉(zhuǎn)置，記為公式(4)和公式(5)

(4)

(5)

將原問題轉(zhuǎn)化為如下兩個矩陣方程組的求解問題

(6)

(7)

由矩陣的Kronecker乘積，方程組(6)等價于如下矩陣方程

(8)

方程組(7)等價于如下矩陣方程

(9)

其中：

C1=[x(1：k)，x(k+1：2k)，，x((k-1)k+1，k2)]，

K1=[x(k2+1：k(k+1))，，x((2k-1)k+1：2k)]，

C2=[y(1：n-k)，y(n-k+1：2(n-k))，，y((n-k-1)(n-k)+1)：(n-k)2]，

K2=[y((n-k)2+1：(n-k+1)(n-k))，，y((2(n-k)-1)(n-k)+1：2(n-k)2)].

2 問題Ⅱ的解

其中：Γ1=diag(Ξ1，In-k-r1)，Γ2=diag(Ξ2，Ik-r2)，

證明

的充分必條件是

同時成立.