劉 通,崔卓須

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢 430072)

1引言

從模糊的、有噪聲的或者部分觀測圖像做圖像恢復(fù)可以看成一個反問題的應(yīng)用,數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫成如下形式

其中x,y∈Rm×n分別代表著原始圖像與觀察到的圖像,?是方差為σ2的高斯噪聲.A是從Rm×n映射到Rm×n的線性算子,在圖像的去卷積過程中,取A為卷積算子.在反問題中,A是不可逆或者有很大條件數(shù)的病態(tài)的算子.由于噪聲的存在,完全恢復(fù)圖像是不可能的,所以只能使用正則化方法尋找近似解.修改后的模型為

其中αR(x)就是包含著解的先驗信息的正則項,α是正則化參數(shù).

我們在正則項中使用R(x)=|Dx|,其中D取局部差分算子.這個正則項是非光滑非可分的,一個自然的想法是使用光滑化的l1范數(shù)逼近,基于全變分(TV)的圖像恢復(fù)經(jīng)常使用這種方法.而TV有利于保持圖像的銳利和物體的邊界,而且在恢復(fù)圖像過程中保住分片光滑的物體[1,2].但是同時TV也有一些缺點(diǎn),比如會在平坦區(qū)域產(chǎn)生階梯現(xiàn)象造成圖像細(xì)節(jié)丟失等.

在圖像恢復(fù)過程中另一個重要性質(zhì)就是圖像的稀疏表示.最好的稀疏性由L0范數(shù)生成,但L0范數(shù)導(dǎo)致了NP困難問題,所以我們使用了L1范數(shù)做逼近.利用小波框架表示圖像則有利于保證稀疏性的存在[3,4].本文將TV和小波框架兩種正則化模型結(jié)合在一起以保持各自的優(yōu)點(diǎn).在正則化模型的使用過程中,用ADMM算法以達(dá)到快速穩(wěn)定的目標(biāo).在之后的數(shù)值實驗中,將看到新方法提高了原有的TV和框架模型的效果[5,6].

2 基于ADMM的圖像恢復(fù)模型

2.1 兩種圖像恢復(fù)模型

TV去噪可以看做最有效和最難計算的幾種方法之一.為了去除它的缺點(diǎn),近年已經(jīng)發(fā)展出了原對偶方法,FTV d和增廣拉格朗日方法等[7].在這里將TV方法應(yīng)用于原問題.

對于圖像x∈Rm×n,用符號? 表示離散階梯算子從Rm×n映射到Rm×n×Rm×n.即?x=(?1x,?2x),在這里

由于使用的是L1范數(shù),定義 ∥x∥TV= ∥?x∥1=|?1x|+|?2x|,稱為各向異性,那么在應(yīng)用ADMM算法時會有兩個正則化項.此時問題變成

這里取λ>0作為正則化參數(shù),用來平衡三項的最小化取值.把該最小化問題變成約束最優(yōu)化問題

再得到增廣拉格朗日函數(shù)

這里 p2=(p2,1,p2,2)∈RM×N×RM×N為拉格朗日乘子,作用是防止λ>0在計算中趨向于無窮大.

類似的,取框架分解算子W,那么可以把原反問題寫成最小化問題

這里取μ>0為正則化參數(shù).把該最小化問題變成約束最優(yōu)化問題

再得到增廣拉格朗日函數(shù)

這里p1∈RM×N為拉格朗日乘子,作用是防止μ>0在計算中趨向于無窮大.

2.2 結(jié)合兩種模型的圖像恢復(fù)

結(jié)合兩個模型,在用小波框架作為第一步求出一個最優(yōu)解之后,把該最優(yōu)解作為一個初始值帶入到第二個模型算法之中做第二次運(yùn)算,以求出更好的解.于是得到新的方法如下

1.1:輸入初始值y,A,μ>0,b>0,x0=y,v0=Wx0,=0;

1.3:輸出xn;

2.1:輸入新的初始值y,A,λ>0,a>0,xn=y,u0=?xn,=0;

選定的停機(jī)準(zhǔn)則為

其中?>0是一個給定的值.

3 數(shù)值試驗結(jié)果與分析

3.1 圖像去模糊結(jié)果及分析

圖1:去模糊效果對比圖

表1:去模糊時的峰值信噪比

3.2 圖像去噪聲結(jié)果及分析

在去噪聲實驗中,δa=0.5,δb=1,μ =5×e?3,λ =5×e?3,a=b=1;作為對照,TV部分λ=0.01,δa=1和a=1;框架對照部分μ=0.01,δb=1.5和b=1.實驗結(jié)果在圖2中顯示,峰值信噪比見表2.

圖1:去噪聲效果對比圖

表2:去噪聲時的峰值信噪比

4 結(jié)語

在帶噪聲圖像恢復(fù)后的背景和草地的細(xì)節(jié)中,能夠很明顯地看到本文方法的優(yōu)勢在于保持了更多的細(xì)節(jié)信息.從PSNR的數(shù)據(jù)中,可以看到從模糊圖像和帶噪聲圖像的恢復(fù)中,本文的方法得到了更好的恢復(fù)結(jié)果.

針對圖像從模糊和噪聲中恢復(fù)的問題,本文結(jié)合了小波框架和TV模型,提出了新的L1正則化模型,并且應(yīng)用ADMM算法來結(jié)算這個新的模型.數(shù)值實驗的結(jié)果顯示本文的方法在圖像恢復(fù)過程中保留原始圖像的邊緣信息和細(xì)節(jié)上具有優(yōu)勢.于是本文的方法尤其適合恢復(fù)帶有很多紋理細(xì)節(jié)的圖像信息.在實驗得到的PSNR數(shù)值結(jié)果佐證了這個判斷.而這種將兩種模型結(jié)合的思想可以應(yīng)用在更多的場景之中.在今后的研究中可以應(yīng)用同樣的思想,將不同的算子組合來恢復(fù)具有不同的幾何信息和不同噪聲的圖像.