李自林，寇天旺

（天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384）

大跨度連續(xù)梁懸臂施工法是由零號塊處沿軸線方向?qū)B續(xù)梁分段澆筑的方法.采用懸臂施工的大跨度連續(xù)梁橋施工節(jié)段多，施工周期長，加上模板定位、變形誤差和預(yù)應(yīng)力筋損失等已知的誤差，收縮徐變以及人為觀測誤差等未知的誤差引起的撓度和應(yīng)力變化，使得大跨度連續(xù)梁橋施工過程具有全程不確定性和隨機性.同時在整個施工過程中經(jīng)歷混凝土澆筑、掛籃移動及預(yù)應(yīng)力筋張拉的體系轉(zhuǎn)變，結(jié)構(gòu)施工產(chǎn)生的撓度值是動態(tài)變化的.線性監(jiān)控是對連續(xù)梁橋在不同施工階段的實際施工狀態(tài)進行監(jiān)控，識別施工的實際狀態(tài)并根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)時時調(diào)整下一梁段的施工.對連續(xù)梁軸線線形進行控制的方法有卡爾曼濾波法[1]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2]、灰色控制理論等.

灰色系統(tǒng)理論[3]是研究廣泛存在的灰色系統(tǒng)的一種新理論.近些年來，灰色系統(tǒng)理論逐漸在橋梁建設(shè)中扮演愈加重要的角色，應(yīng)用形式主要為以灰色系統(tǒng)理論為原理，建立灰色系統(tǒng)預(yù)測模型，通過已澆筑梁段測試數(shù)據(jù)作為資料，實現(xiàn)未澆筑梁段的撓度值預(yù)測.灰色GM（1，1）模型通過灰色生成可以將無規(guī)律數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)列運算生成規(guī)律性較強的數(shù)據(jù)列，以此來減弱數(shù)據(jù)的隨機性[4].將離散的數(shù)據(jù)序列看作是連續(xù)函數(shù)在變化過程中的離散值，通過差分方程與微分方程間的互換建立連續(xù)的動態(tài)微分方程[5].

1　殘差修正GM（1，1）模型

殘差修正GM（1，1）模型是將灰微分方程的解與一次累加值相減得到殘差，并再次使用灰色GM（1，1）模型求解殘差預(yù)測差值，利用預(yù)測差值修正一次預(yù)測值得到最終預(yù)測值.假設(shè)原始序列為n元數(shù)列

灰色生成最常用的是累加生成的方法.將n元數(shù)列X(0)（k）通過累加運算得到一次累加值X(1)（k）

利用一次累加序列建立灰微分方程

式中：未知量a為發(fā)展灰數(shù)；未知量u為灰色作用量.

引入灰微分方程的背景值

式中：μ 稱為權(quán)重系數(shù)，μ∈[0，1].

假定μ取值0.5，則

求解方程（1）得到

原始序列X(0)與一次累加序列X(1)滿足

根據(jù)最小二乘法求解式（5）可得

將式（6）所得參數(shù)代入到灰微分方程式（1）繼續(xù)求解可得

將常數(shù)值c代入公式（7），灰微分方程的響應(yīng)式為

記殘差序列

取殘差序列k0到n作為原始序列ε(0)（k）

進行一次累加得到

利用 ε(1)建立 GM（1，1）模型響應(yīng)式為

殘差修正表達(dá)式為

2　殘差修正GM（1，1）模型的優(yōu)化

2.1　優(yōu)化方法

在建模過程中，有兩次假設(shè)：①構(gòu)造背景值時，假定權(quán)重系數(shù)μ取值0.5.②在求解微分方程時，假定X(0)（1）作為初始條件.

傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造方式是通過一次累加序列的緊鄰數(shù)據(jù)均值生成，但尚無法從理論上證明其建模精度較高.劉寒冰等[6]針對傳統(tǒng)多變量灰色模型背景值構(gòu)造方式的缺陷，通過指數(shù)函數(shù)擬合了一次累加序列，改進了背景值構(gòu)造方式，并成功應(yīng)用在路基沉降觀測中.王強[7]經(jīng)過理論研究，提出了一種新的動態(tài)定權(quán)方法，并在高邊坡變形預(yù)測中取得了較好效果.樊新海[8]采用了計算機技術(shù)，提出了一種計算機自動尋優(yōu)確定權(quán)重系數(shù)的方法，建立了GMP（1，1）模型，并通過實例驗證了其有效性.

傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型以X(0)（1）作為初始條件對灰微分方程進行求解，即響應(yīng)方程的解(1)（k）過點（1，X(0)（1））.張大海[9]指出灰色GM（1，1）模型是用指數(shù)曲線按照最小二乘法擬合X(1)（k），擬合的結(jié)果應(yīng)滿足

并分別以原始序列{X(0)（k）}中n個元素作為響應(yīng)式的初始條件進行預(yù)測，使結(jié)果誤差最小的X(0)（k）的值作為求解微分方程的初始條件.楊華龍[10]認(rèn)為由于數(shù)據(jù)采集存在不確定性，導(dǎo)致{X(0)（k）}中的數(shù)據(jù)本身就存在誤差，使預(yù)測誤差達(dá)到最小的初始條件并不一定是序列{X(0)（k）}中的值，可采用最小二乘法原理利用原始序列與預(yù)測序列差的平方和

達(dá)到最小來確定初始條件c.

2.2　優(yōu)化后殘差修正GM（1，1）模型建立

本文將采用自動尋優(yōu)方法確定該背景值權(quán)重系數(shù)的選取，采用該最小二乘法對初始條件進行優(yōu)化.構(gòu)造背景值時，涉及兩個過程的優(yōu)化：一是求解灰微分方程過程時背景值的構(gòu)造及初始條件的選??；二是對殘差改正值的預(yù)測時的背景值構(gòu)造及初始條件的選取.首先令μ=0，給其增加一個微量Δμ，即μ=μ+Δμ，將其代入背景值表達(dá)式求出對應(yīng)背景值，直至μ=1.這樣得出背景值表達(dá)式

式中：μ∈[0，1].

令 H=c·（1-ea），將 H 代入灰微分方程（7），得到

已知

根據(jù)最小二乘法，利用X(0)（k）與(0)（k）差的平方和S達(dá)到最小值時來定H取值.其中

利用X(1)（k）與生成序列作差得到殘差序列ε(0)，取其尾段序列為原始序列

構(gòu)造背景值為

GM（1，1）模型響應(yīng)式為

3　工程應(yīng)用

3.1　模型建立

商合杭高速鐵路跨G50高速連續(xù)梁跨徑形式為48 m+80 m+48 m預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁.主梁采用掛籃懸臂澆筑法施工，零號塊兩側(cè)各為10個施工塊，第11號塊為合龍塊，支座處零號塊長8 m，其余懸臂梁段長度為3.5 m至4 m.澆筑完畢及張拉預(yù)應(yīng)力筋完畢后，每一節(jié)段混凝土自重荷載、所受外部荷載及預(yù)應(yīng)力均會發(fā)生不同程度變化，且存在施工誤差，伴隨著混凝土收縮徐變效應(yīng)，已澆筑梁段的變形具有隨機性及不確定性，符合灰色系統(tǒng)建模的特征.故橋線形采用灰色控制理論進行控制，利用已澆筑梁段理論變形值和實測變形值之差作為殘差修正GM（1，1）模型原始序列對未澆筑梁段標(biāo)高進行預(yù)測.

為確定每節(jié)梁段的理論變形值，利用MIDAS/Civil有限元軟件建立連續(xù)梁三維有限元模型，該模型單元類型為變截面三維梁單元，共劃分346個單元，347個節(jié)點，共分為15個工況進行變形計算，連續(xù)梁計算模型如圖1所示.為測定每節(jié)梁段變形實測值，在每節(jié)梁段端部截面處設(shè)置一組位移測試截面，零號塊支座處布置一處測試截面，沿橫橋向布置3個測點，全梁一共50個測試截面，150個測點.

圖1　MIDAS有限元模型

3.2　優(yōu)化后殘差修正GM（1，1）模型應(yīng)用

為研究優(yōu)化后的殘差修正GM（1，1）模型在連續(xù)梁懸臂施工線形控制中的應(yīng)用效果，以34#墩大里程方向7#梁塊施工變形預(yù)測為例，分析優(yōu)化后的殘差修正灰色模型在橋梁線性控制中的應(yīng)用情況.

現(xiàn)澆段的立模標(biāo)高值按如下公式計算

式中：H立為澆筑段的立模標(biāo)高；H設(shè)為梁段的設(shè)計標(biāo)高值；fi為每一節(jié)段的預(yù)拋高值.

fi可以根據(jù)下式計算

式中：f自為施工節(jié)段自重及后續(xù)節(jié)段混凝土自重所產(chǎn)生的變形值；f預(yù)為預(yù)應(yīng)力束的張拉錨固梁段產(chǎn)生的變形值；f掛籃為該梁段掛籃變形值；fx為混凝土收縮徐變、溫度、二期恒載、施工荷載、結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)變對梁段產(chǎn)生的變形值；f靜為靜活載作用于梁段產(chǎn)生的位移.

利用灰色模型對梁段變形值進行預(yù)測實際上是對未澆梁段預(yù)拋高值進行預(yù)測.將立模標(biāo)高值加上預(yù)拋高調(diào)整值，可得到調(diào)整后的立模標(biāo)高值.

采用2#梁塊至6#梁塊預(yù)應(yīng)力張拉結(jié)束后理論變形值與實測變形值為原始序列.6#梁塊澆筑完成且預(yù)應(yīng)力張拉錨固結(jié)束，已澆筑完成梁段得到變形理論值與實際測試值見表1.

表1　34#墩各梁段變形值　mm

將差值 X(0)=（1.04，2.57，2.89，3.82，5.29）建立優(yōu)化后的殘差修正模型，利用自動尋優(yōu)定權(quán)法求得當(dāng)μ=0.469時，X(0)與序列殘差平方和最小.此時求得a=-0.264 6及u=1.770 2.未進行殘差修正的灰色模型表達(dá)式為6.690 1，求解出

由以上計算可知，7#梁段澆筑完成后，所產(chǎn)生的理論撓度值與實際撓度值差值的預(yù)測值為-6.703 5 mm.7#梁段理論變形值為-6.550 0 mm，故7#梁段實際變形的預(yù)測值為-6.550 0-6.703 5=-13.253 5 mm.而實際澆筑7#梁段完成后，測得7#梁段實測變形值為-12.60 mm，預(yù)測值與實測值相差0.65 mm，預(yù)測效果較好.

結(jié)合優(yōu)化后殘差修正GM（1，1）模型建立等維新陳代謝模型[11]，即每去掉一節(jié)段早期澆筑梁塊豎向?qū)崪y值與理論值差值數(shù)據(jù)，便加入一節(jié)段新澆筑梁塊撓度數(shù)據(jù)，保持?jǐn)?shù)據(jù)等維.以此對34#大里程方向未澆筑梁段將要產(chǎn)生的撓度值進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表2所示.

表2　優(yōu)化后殘差修正模型預(yù)測結(jié)果　mm

通過表2可以看出，優(yōu)化后的殘差修正GM（1，1）模型對剩余未澆筑梁塊的變形預(yù)測值均接近于實際變形值，剩余未澆梁段中實際值與預(yù)測值差值最大僅為2.28 mm，證明優(yōu)化后的模型對未澆筑梁段預(yù)拋高值預(yù)測效果較好，可以利用模型對未澆筑梁段預(yù)拋高進行預(yù)測.

通過建立傳統(tǒng)灰色殘差修正GM（1，1）模型對34#大里程方向未澆筑梁段將要產(chǎn)生撓度值進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表3.

表3　傳統(tǒng)殘差修正模型預(yù)測結(jié)果　mm

通過對比表2、表3可以發(fā)現(xiàn)34#墩大里程方向7，8，9，10號梁塊采用優(yōu)化后的殘差修正模型比未優(yōu)化模型預(yù)測誤差差值分別為0.15，0.07，0.03，0.08mm，優(yōu)化后模型預(yù)測誤差均小于傳統(tǒng)模型，預(yù)測效果較優(yōu).從整體預(yù)測結(jié)果來看，兩種模型預(yù)測誤差差值并不大，這是因為該數(shù)據(jù)列原始序列與預(yù)測序列差的平方和達(dá)到最小時，權(quán)重系數(shù)μ接近0.5.但經(jīng)過優(yōu)化以后，模型背景值與初始條件更加具有確定性，比使用假設(shè)值更加具有說服力.

在連續(xù)梁施工過程中，采用優(yōu)化后的模型對未澆筑梁段施工標(biāo)高進行動態(tài)調(diào)整，經(jīng)過合龍段澆筑及剩余預(yù)應(yīng)力鋼束張拉，主梁施工完畢，主梁1#至50#測點線性控制結(jié)果如圖2及圖3所示.

圖2　梁底1#至50#截面設(shè)計高程與實測高程對比

圖3　梁底1#至50#截面設(shè)計高程與實測高程差值

分析圖2可以看出連續(xù)梁梁底1#至50#測點實測高程測試結(jié)果與設(shè)計值基本相近，主梁線形無較大突變.從圖3可以看出，成橋后實測值與設(shè)計值直接誤差在8 mm以內(nèi)，橋梁施工滿足設(shè)計要求，滿足誤差要求.

4　結(jié)論

（1）分別在初次建模及殘差修正兩個過程利用自動尋優(yōu)定權(quán)法和最小二乘法對殘差修正GM（1，1）模型的權(quán)重系數(shù)及初始條件進行優(yōu)化，對傳統(tǒng)殘差修正GM（1，1）模型的預(yù)測效果有提高作用.

（2）采用優(yōu)化后的殘差修正GM（1，1）模型對大跨度連續(xù)梁橋的軸線線形進行施工控制，通過已澆筑梁段的豎向撓度值建立模型，預(yù)測尚未澆筑梁段豎向撓度變形值，以此來動態(tài)調(diào)整未澆筑梁段立模標(biāo)高值從而可以有效控制橋梁軸線線形，成橋以后各測點設(shè)計值與實測值標(biāo)高之差均在8 mm以內(nèi)，符合誤差要求.

（3）灰色控制理論在施工梁段數(shù)較少時便可建立起灰色模型，對施工中不確定因素引起的誤差進行修正，且預(yù)測精度有一定保證，因此在大跨度懸臂施工橋梁線性控制中極為適用.