杜　航，李　剛，魯　明

0　引　言

框架驅(qū)動組件是控制力矩陀螺的關(guān)鍵組成部分之一，用于驅(qū)動轉(zhuǎn)子組件繞框架軸旋轉(zhuǎn)以輸出控制力矩，實現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制與姿態(tài)機動.框架組件的性能直接決定了輸出力矩的精度、響應(yīng)速度與平穩(wěn)性，直接影響航天器的姿態(tài)控制性能.采用諧波減速器作為傳動機構(gòu)的CMG框架具有體積小、重量輕、功耗低等優(yōu)點，但不可避免地會帶來由于傳動精度、齒隙、剛度非線性特性等問題引入的傳動誤差.為此，建立充分描述諧波減速器特有性能的控制模型對研究采用諧波減速器的CMG框架系統(tǒng)傳動精度問題具有重要作用.

在目前對采用諧波減速器作為傳動裝置的間接驅(qū)動的CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)的研究中，文獻[1]針對CMG框架伺服系統(tǒng)產(chǎn)生的諧振問題，提出了一種基于H∞混合靈敏度的振動抑制方法；文獻[2]針對CMG框架系統(tǒng)諧振，建立了帶有速度環(huán)的CMG框架動力學(xué)模型，但以上所建立的CMG框架模型中，針對諧波減速器只考慮了減速比和固定轉(zhuǎn)速下的剛度，對于齒隙和減速器非線性扭轉(zhuǎn)剛度等非線性因素沒有考慮.文獻[3]針對諧波減速器的遲滯特性建立了一種數(shù)學(xué)模型，并針對這一特性進行了仿真研究.文獻[4-5]針對采用電機直驅(qū)的CMG框架伺服系統(tǒng)進行了建模.文獻[6]對大型單框架CMG進行了整體仿真，考慮了諧波減速器但是所建立的模型并沒對減速器的回差、非線性扭轉(zhuǎn)剛度、傳動剛度等現(xiàn)象進行研究.

本文對CMG框架驅(qū)動組件用諧波減速器進行了精細的建模，在諧波傳動系統(tǒng)線性模型的基礎(chǔ)上，充分考慮了諧波減速器的齒隙模型、非線性剛度、減速器效率等因素.針對低速下諧波減速器的低剛度特性所引起的傳動誤差較大提出了考慮傳動誤差的減速器模型；最后建立了CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)模型，并對諧波減速器剛度和阻尼這兩個因素對框架系統(tǒng)性能的影響做了研究.

1　直接驅(qū)動和間接驅(qū)動方式比較

根據(jù)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，框架驅(qū)動系統(tǒng)有直接驅(qū)動和間接驅(qū)動兩種方式，其性能對比如表1所示.

表1　框架驅(qū)動組件驅(qū)動方式性能對比Tab.1　Performance comparison of frame-driven component drive mode

由表1可知采用直接驅(qū)動形式的框架驅(qū)動系統(tǒng)，由于輸入軸與輸出軸之間一般采用剛性連接，不會引入傳動誤差，因此具有剛度高、測量精度高，框架動態(tài)響應(yīng)頻率高的優(yōu)點.但是由于沒有減速環(huán)節(jié)，所選用的電機力矩系數(shù)大，從而會產(chǎn)生電機與框架驅(qū)動組件的結(jié)構(gòu)尺寸大、重量大等問題.間接驅(qū)動的框架驅(qū)動組件在驅(qū)動電機與輸出軸之間一般選用諧波齒輪或直齒輪作為減速機構(gòu)進行減速，框架轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速較低，不可避免的引入由于傳動精度、回差等因素引入的傳動誤差，但采用間接驅(qū)動形式的框架驅(qū)動組件具有體積小、重量輕、功耗低、抗干擾能力強等優(yōu)點.本文所研究的1 000 N·m·s控制力矩陀螺采用諧波減速器作為減速機構(gòu).

2　諧波減速器建模

2.1　諧波減速器線性建模

CMG框架系統(tǒng)中諧波減速器的作用是將框架電機的轉(zhuǎn)速以一定的傳動比減速并將框架電機的輸出力矩放大后驅(qū)動框架——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的組件，諧波減速器要具備較大的減速比，而且要求扭轉(zhuǎn)剛度大、反向間隙小、摩擦力矩小等特點.諧波減速器由柔輪、波發(fā)生器和剛輪3部分組成，這3部分可以以一個為固定端，其他兩個中的一個作為輸入端、另一個作為輸出端，從而實現(xiàn)增速或減速.本文所研究的1 000 N·m·s控制力矩陀螺框架驅(qū)動系統(tǒng)中的諧波減速器所采用的傳動方式為：剛輪為固定端，電機驅(qū)動波發(fā)生器主動運動，柔輪為從動.

根據(jù)諧波齒輪傳動原理，可將諧波傳動系統(tǒng)簡化為典型的二質(zhì)量系統(tǒng)[7-8]，中間由彈性軸連接.CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)所采用的諧波傳動系統(tǒng)線性模型如圖1所示.

圖1　諧波傳動系統(tǒng)線性模型Fig.1　Simplified model of harmonic drive system

其中，θ1為電機端角位移，θ2為負載端角位移(即諧波齒輪輸出角位移)，T1為電機輸出力矩，T2為諧波齒輪柔輪輸出力矩，J1為伺服電機轉(zhuǎn)動慣量，J2為負載轉(zhuǎn)動慣量，Ts為電機輸出到諧波齒輪柔輪的力矩，T1d為電機端擾動，T2d為負載端擾動，b1、b2為粘性摩擦系數(shù)，k為諧波減速器剛度，N為諧波減速器傳動比.

根據(jù)圖1所示CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)線性模型，根據(jù)力學(xué)關(guān)系，可以得到力矩平衡方程

(1)

由減速器傳動比可以得出電機輸出到諧波齒輪柔輪的力矩和柔輪的輸出力矩

(2)

根據(jù)上述方程(1)～(2)即可建立CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)線性模型.

2.2　諧波減速器齒隙死區(qū)模型

齒隙的死區(qū)模型被廣泛地應(yīng)用于描述傳動的控制系統(tǒng)中齒隙的非線性特性，其模型描述如下：

(3)

式中，z=θm(t)-iθd(t).

其中，k為諧波減速器剛度，c為諧波減速器阻尼，j為齒隙，z為輸入的相對位移.

齒隙死區(qū)模型的輸入是減速器輸入與輸出端的相對位移，輸出是減速器輸出端傳遞到負載上的力矩，其中綜合考慮了減速器剛度和阻尼這兩個非線性因素對齒隙的影響，通過驅(qū)動系統(tǒng)和從動系統(tǒng)的傳遞力矩來描述齒隙.

利用MATLAB/Simulink軟件對齒隙死區(qū)模型進行仿真，得到反映輸入轉(zhuǎn)角相對位移和輸出力矩之間關(guān)系的齒隙死區(qū)模型，如圖2所示.圖3模擬了正弦信號通過齒隙死區(qū)模型的輸出.由圖3可以看出，利用正弦函數(shù)來模擬框架轉(zhuǎn)速方向從正轉(zhuǎn)到反轉(zhuǎn)的變向過程，此時輸出力矩在轉(zhuǎn)速變向處，即正弦函數(shù)的零點處，會出現(xiàn)延遲.

圖2　齒隙死區(qū)模型Fig.2　Dead-zone model

圖3　正弦函數(shù)通過模型的輸出Fig.3　Sinusoidal signal passes through the model

2.3　考慮傳動誤差的減速器模型

傳動誤差的定義如下：

(4)

但由于在具有正反轉(zhuǎn)運動的諧波齒輪傳動中，存在著制造誤差、傳動剛度、外界負載的誤差、齒隙回差等諸多影響傳動誤差的非線性因素，故式(4)并不能直接應(yīng)用于諧波減速器傳動誤差的計算.考慮到具有正反轉(zhuǎn)運動的諧波齒輪傳動誤差公式如下[9]：

(5)

式中，Δφhg為諧波傳動中的轉(zhuǎn)角誤差，kB是實際測量傳動誤差值與傳動誤差理論計算值的比值；zmp是諧波齒輪同時參與嚙合的齒對數(shù)；ΔF∑j是剛輪或柔輪的綜合誤差；d′是轉(zhuǎn)動齒輪的分度圓直徑；U為波發(fā)生器波數(shù)；ω0是柔輪的最大徑向變形量；ih是諧波齒輪的傳動比；Δpn是波發(fā)生器零件的徑向誤差；Δe是彈性回差的理論值.

根據(jù)式(5)的傳動誤差公式可以建立諧波減速器傳動誤差模型，與(1)～(3)聯(lián)立可以建立考慮傳動誤差的減速器模型，并與不考慮傳動誤差的減速器模型進行對比.

取轉(zhuǎn)速n=1 rad/s(模擬低速)和n=1 000 rad/s(模擬高速)進行仿真，結(jié)果如圖4所示.

圖4(a)表示在低速下不考慮傳動誤差的減速器模型，圖4(b)表示在低速下考慮傳動誤差的減速器模型，圖4(c)表示在高速下不考慮傳動誤差的減速器模型，圖4(d)表示在高速下考慮傳動誤差的減速器模型.通過對比可以看出：在低速時，考慮傳動誤差的系統(tǒng)模型輸出轉(zhuǎn)速波動較大，在波峰處存在0.36 rad的傳動誤差，平均傳動誤差0.2 rad，而不考慮傳動誤差的系統(tǒng)模型在0.2 s后就達到穩(wěn)定值，之后輸出穩(wěn)定傳動誤差可以忽略，顯然考慮傳動誤差的系統(tǒng)模型更符合實際情況.在高速時，兩種模型則無差別，說明在減速器高速運轉(zhuǎn)時傳動誤差對系統(tǒng)的影響很小，與低速相比影響可以忽略.后續(xù)對CMG框架系統(tǒng)的建模中將采用考慮傳動誤差的減速器模型，更準確的描述框架系統(tǒng)在低速運轉(zhuǎn)時的輸出轉(zhuǎn)速.

圖4　兩種減速器模型對比Fig.4　Comparison between two kinds of reducer models

3　控制力矩陀螺框架驅(qū)動系統(tǒng)建模

3.1　CMG框架驅(qū)動組件結(jié)構(gòu)原理

CMG框架驅(qū)動組件結(jié)構(gòu)如圖5所示.

圖5　CMG框架驅(qū)動組件示意圖Fig.5　CMG Gimbal System

CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)主要由框架電機、諧波減速器、旋轉(zhuǎn)變壓器、框架軸承組件等組成.其中，框架電機是驅(qū)動框架——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)、實現(xiàn)控制力矩陀螺力矩輸出的關(guān)鍵組件，框架電機要具有良好的低速穩(wěn)定性，能將功耗維持較小的水平，研究對象所采用的框架電機為永磁直流無刷電機；諧波減速器的作用是將框架電機的轉(zhuǎn)速以一定的傳動比減速并將框架電機的輸出力矩放大后驅(qū)動框架-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的組件，諧波減速器要具備較大的減速比，而且要求扭轉(zhuǎn)剛度大、反向間隙小、摩擦力矩小等特點；旋轉(zhuǎn)變壓器是用于測量框架軸的角位置；框架軸承組件的作用是與供電端軸承組件一起支承框架—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，使其得以旋轉(zhuǎn).

3.2　CMG框架系統(tǒng)設(shè)計

根據(jù)圖5所示CMG框架驅(qū)動組件的結(jié)構(gòu)原理，可以得到框架伺服系統(tǒng)動態(tài)電機數(shù)學(xué)模型：

以我院2017年2月-2018年2月內(nèi)收治的20例冷凝集素增高患者為實驗研究對象,所有患者均存在血型鑒定和交叉配血不合問題,包括9例慢性肺心病患者、6例感染性心內(nèi)膜炎患者、5例腎病綜合征患者。20例患者中男性12人,女性8人,患者年齡18.5-84.3歲,平均(49.6±7.4)歲。

(6)

其中，R為電機繞組電阻，im為電機繞組電流，L為電機繞組電感，Ce為電機反電動勢系數(shù)，Cl為電機力矩系數(shù).

將式(6)與(1)、(2)聯(lián)立即為采用諧波減速器的框架伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.

在MATLAB/Simulink軟件中搭建電機模型，將之前建立好的考慮傳動誤差的諧波減速器模型封裝作為減速器模塊，建立完整的CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)模型.

仿真所采用的CMG框架轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)是是一個轉(zhuǎn)速、位置、電流三閉環(huán)控制系統(tǒng)，采用從內(nèi)環(huán)到外環(huán)的設(shè)計方法，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖6所示.

圖6　CMG框架轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)Fig.6　Control diagram of CMG gimbal system

4　仿真結(jié)果

4.1　CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)仿真

本文仿真主要數(shù)據(jù)如表2所示.

表2　CMG框架驅(qū)動組件仿真參數(shù)Tab.2　Parameters of CMG gimbal system

因減速器存在著i=100的減速比，為模擬框架在低速時的轉(zhuǎn)速，設(shè)置電機輸出端轉(zhuǎn)速為10 rad/s，則通過減速器的理想輸出轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s，此時CMG框架輸出轉(zhuǎn)速開環(huán)仿真曲線如圖7所示.

加入PID閉環(huán)控制后轉(zhuǎn)速輸出曲線如圖8所示.輸出轉(zhuǎn)速誤差降低了53.33%，得到了較好的抑制.

圖7　框架輸出轉(zhuǎn)速Fig.7　Output velocity of CMG gimbal system

圖8　加入PID控制后輸出轉(zhuǎn)速Fig.8　Output velocity of CMG gimbal system with PID control

4.2　諧波減速器剛度對框架驅(qū)動系統(tǒng)性能的影響

由已建立的CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)模型研究剛度對框架驅(qū)動系統(tǒng)性能的影響，在低轉(zhuǎn)速下(電機輸出轉(zhuǎn)速n=10 rad/s)，分別設(shè)置剛度為k=2 000 N·m/rad,k=5 000 N·m/rad,k=10 000 N·m/rad,k=20 000 N·m/rad, 可以得到系統(tǒng)在不同剛度條件下的輸出轉(zhuǎn)速曲線，如圖9所示.

由圖9可以看出，隨著剛度的增加，輸出轉(zhuǎn)速曲線達到穩(wěn)定值的時間從剛度為2 000 N·m/rad時的0.6 s減小到剛度為20 000 N·m/rad時的0.2 s，輸出曲線的誤差從2 000 N·m/rad時的5.3%降低到剛度為20 000 N·m/rad時的3.1%.由此可以看出框架驅(qū)動組件選用剛度值較大的諧波減速器，可以使輸出轉(zhuǎn)速更穩(wěn)定，精度更高.而在實際情況時，由于諧波減速器的特性，其剛度并不是一個恒定的值，低速時剛度較小，隨著速度的增加剛度會隨之增加，所以會出現(xiàn)在低速時框架伺服系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速誤差較大的現(xiàn)象.

圖9　剛度對系統(tǒng)的影響Fig.9　Influence of stiffness on the system

圖10　阻尼對系統(tǒng)的影響Fig.10　Influence of damping on the system

4.3　諧波減速器阻尼對框架驅(qū)動系統(tǒng)性能的影響

由已建立的CMG框架驅(qū)動系統(tǒng)模型可以研究阻尼對框架驅(qū)動系統(tǒng)性能的影響，在低轉(zhuǎn)速下(取電機輸出轉(zhuǎn)速n=10 rad/s)，設(shè)置剛度為k=2 000 N·m/rad,k=10 000 N·m/rad,k=20 000 N·m/rad 3種情況，分別取阻尼c=0.1 N·s/m,c=2 N·s/m,c=5 N·s/m,可以得到系統(tǒng)在不同剛度情況下、取不同阻尼值時系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速曲線，如圖10所示.

從圖10可以看出，在諧波減速器剛度很大時，其阻尼對系統(tǒng)的影響可以忽略不計；隨著剛度的減小，阻尼對系統(tǒng)的影響逐漸增加；與此同時，在剛度為2 000 N·m/rad時，阻尼取0.1 N·s/m時誤差為2.3%，阻尼取5 N·s/m時誤差為5.3%，阻尼取5 N·s/m時誤差為8.7%，可以看出，隨著諧波減速器阻尼的增大，框架系統(tǒng)達到穩(wěn)定后的誤差也會增加.

5　結(jié)　論

本文利用MATLAB/Simulink軟件建立了綜合考慮減速器齒隙、傳動誤差、剛度、阻尼等因素的CMG框架伺服系統(tǒng)模型.采用PID閉環(huán)控制對低速下輸出轉(zhuǎn)速誤差進行抑制，使輸出轉(zhuǎn)速誤差降低了53.33%.最后利用模型分析了諧波減速器剛度和阻尼對系統(tǒng)的影響：諧波減速器剛度高時輸出轉(zhuǎn)速更穩(wěn)定、精度更高；在剛度很大時，阻尼對系統(tǒng)的影響可以忽略，隨著剛度的降低，阻尼越大系統(tǒng)達到穩(wěn)定后的誤差越大.