,,,,宛山

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,沈陽 110819)

球頭銑刀多軸銑削加工是目前加工自由曲面的主要方式之一,廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、模具等領(lǐng)域[1-4].銑削力是研究銑削加工過程的重要物理量,而瞬時(shí)未變形切削厚度是銑削力模型的重要組成部分.因此,研究球頭銑刀切削刃微元點(diǎn)的瞬時(shí)未變形切削厚度模型具有重要意義.

目前,在球頭銑刀銑削力的研究中,一般將切削刃微元點(diǎn)軌跡簡(jiǎn)化為圓,然后利用空間幾何關(guān)系建立瞬時(shí)未變形切削厚度模型,例如:平移切削厚度建模法、正弦積法.在相關(guān)學(xué)者[1-6]的研究基礎(chǔ)上,在一定的條件下,通過這種假設(shè)得到的銑削力模型尚可滿足應(yīng)用需求.但隨著加工精度要求的提高和銑削研究的深入,建立更為精確的銑削力模型成為當(dāng)前研究的重要問題.然而,解決該問題關(guān)鍵就是建立精確的瞬時(shí)未變形切削厚度模型.

近年來,銑削研究的相關(guān)學(xué)者又掀起了如何建立精確的切削厚度模型研究.Azeem等[2]詳細(xì)討論了球頭銑刀水平切削、非水平切削和旋轉(zhuǎn)切削的切削刃微元點(diǎn)軌跡,建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并以此為基礎(chǔ)得到了適用于球頭銑刀多軸銑削的瞬時(shí)未變形切削厚度通用模型.Zhu等[7]根據(jù)坐標(biāo)變換矩陣和進(jìn)給矢量的參數(shù)化表達(dá),推導(dǎo)了任意時(shí)刻切削刃微元點(diǎn)空間位置的計(jì)算模型,并將此模型作為計(jì)算瞬時(shí)未變形切削厚度、討論刀具與工件切觸情況的基礎(chǔ).閆雪等[5,8]針對(duì)立銑刀水平銑削,分析了銑刀切削刃上任意點(diǎn)(切削刃微元點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)軌跡,提出了一種基于切削刃運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那邢骱穸扔?jì)算方法,不僅可以得到更準(zhǔn)確的切削厚度計(jì)算結(jié)果,而且簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.梁鑫光[9]針對(duì)傳統(tǒng)切削厚度計(jì)算方法存在的原理性誤差,分析了球頭銑刀球面切削刃的三次擺線軌跡,推導(dǎo)了計(jì)算多軸銑削切削厚度的精確表達(dá)式.賀小東等[10]針對(duì)立銑刀的水平銑削,通過描述切削刃的真實(shí)擺線運(yùn)動(dòng)軌跡,建立和求解了未變形切削厚度的超越方程,得到了準(zhǔn)確的切削厚度計(jì)算表達(dá)式.

綜合上述研究可以看出,獲得精確的瞬時(shí)未變形切削厚度的前提是建立準(zhǔn)確描述切削刃微元點(diǎn)的軌跡模型,而且鮮有針對(duì)球頭銑刀多軸銑削的切削刃軌跡和精確的未變形切削厚度的研究,主要是由于切削刃軌跡復(fù)雜的時(shí)空特性,使其未變形切削厚度的計(jì)算基本采用簡(jiǎn)化的傳統(tǒng)近似建模方法.為此,本文提出一種適用于描述球頭銑刀多軸銑削加工過程中切削刃微元點(diǎn)空間軌跡的方法,即結(jié)合空間坐標(biāo)變換、刀具幾何模型和空間位置矢量推導(dǎo)得到描述切削刃微元點(diǎn)軌跡的矢量模型,從而為獲得精確的未變形切削厚度模型和簡(jiǎn)化其計(jì)算過程奠定基礎(chǔ).

1 工件和刀具的坐標(biāo)系

工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系是定量描述切削刃微元點(diǎn)軌跡的前提,為了準(zhǔn)確地描述球頭銑刀多軸銑削加工過程中刀具相對(duì)于工件的位置和姿態(tài),分別建立工件坐標(biāo)系、刀具坐標(biāo)系和用于中間變換的參考坐標(biāo)系,如圖1所示.

圖1 工件、刀具和參考坐標(biāo)系Fig.1 Workpiece,cutter and reference coordinates systems

圖1中:ow-xwywzw為工件坐標(biāo)系;po為球頭銑刀刀尖的位置坐標(biāo);nf為刀尖進(jìn)給方向的單位向量;no為刀軸方向(位姿)向量.po,nf和no均為工件坐標(biāo)系下的矢量形式.

or-xryrzr為輔助建立工件和刀具變換關(guān)系的參考坐標(biāo)系,以刀尖為坐標(biāo)系原點(diǎn)or,刀軸方向?yàn)閦r軸方向,刀具進(jìn)給方向nf在垂直于zr軸平面內(nèi)的投影方向?yàn)閤r軸方向(當(dāng)投影為一個(gè)點(diǎn)時(shí),則以上一個(gè)刀位點(diǎn)的xr軸方向作為當(dāng)前刀位點(diǎn)的xr軸方向),yr軸方向根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)系的右手定則確定.坐標(biāo)系or-xryrzr相對(duì)于工件坐標(biāo)系按數(shù)控程序控制的刀具位置和位姿運(yùn)動(dòng).

oc-xcyczc為刀具坐標(biāo)系,以刀尖為坐標(biāo)系原點(diǎn)oc,刀軸方向?yàn)閦c軸方向,相切于任一刀刃曲線并垂直于刀軸的方向?yàn)閤c軸方向,yc軸方向根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)系的右手定則確定.坐標(biāo)系oc-xcyczc為刀具的局部坐標(biāo)系,不僅相對(duì)于工件坐標(biāo)系按數(shù)控程序控制的刀具位置和位姿運(yùn)動(dòng),還相對(duì)于參考坐標(biāo)系or-xryrzr繞zr軸旋轉(zhuǎn).

根據(jù)坐標(biāo)系or-xryrzr和oc-xcyczc的建立原則可知,平面xrorzr和xcoczc位于同一平面,并且xr軸和xc軸之間的夾角θ與刀具轉(zhuǎn)速、時(shí)間有關(guān).

根據(jù)圖1和上述的坐標(biāo)系建立過程,可由矢量po,nf和no計(jì)算得到坐標(biāo)系ow-xwywzw和or-xryrzr之間的變換關(guān)系,即坐標(biāo)系or-xryrzr下矢量到坐標(biāo)系ow-xwywzw下的變換矩陣為

(1)

式中:nf-nf·no·no為進(jìn)給方向在垂直于zr軸平面內(nèi)的投影方向向量.

(2)

坐標(biāo)系or-xryrzr和oc-xcyczc之間的變換矩陣為

(3)

結(jié)合式(1)和式(3),可得工件坐標(biāo)系ow-xwywzw和刀具坐標(biāo)系oc-xcyczc之間的變換矩陣為

(4)

2 切削刃微元點(diǎn)的空間位置矢量和軌跡模型

2.1 切削刃微元點(diǎn)的空間位置矢量模型

切削刃微元點(diǎn)的軌跡,其實(shí)質(zhì)就是切削刃上點(diǎn)的空間位置隨時(shí)間變化所形成的空間軌跡.因此,為了建立準(zhǔn)確的切削刃微元點(diǎn)軌跡模型,首先需要建立切削刃微元點(diǎn)的位置矢量模型.圖2為球頭銑刀球面切削刃上任意微元點(diǎn)e在刀具坐標(biāo)系oc-xcyczc下的空間位置關(guān)系示意圖.

圖2 刀具坐標(biāo)系下切削刃微元點(diǎn)的空間位置Fig.2 Spatial position of tooth element in cutter coordinates system

圖2中:R為刀具半徑,mm;n為刀具轉(zhuǎn)速,r/min;κ為切削刃微元點(diǎn)e的軸向位置角,rad;j為切削刃編號(hào);ψ為切削刃微元點(diǎn)e的螺旋滯后角,rad.根據(jù)圖2可知,只需確定κ和ψ即可寫出微元點(diǎn)e的位置矢量表達(dá)式,κ和ψ與切削刃曲線密切相關(guān).

球頭銑刀屬于典型的回轉(zhuǎn)刀具,其切削刃曲線是由某一點(diǎn)作螺旋運(yùn)動(dòng)而形成的曲線.根據(jù)切削刃曲線特征,主要有等導(dǎo)程和等螺旋角球頭銑刀2種.鑒于刀具加工制造的工藝性和經(jīng)濟(jì)性,目前常用的球頭銑刀主要采用等導(dǎo)程切削刃曲線.因此,本文針對(duì)等導(dǎo)程球頭銑刀建立切削刃微元點(diǎn)的空間位置矢量模型.

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系和等導(dǎo)程螺旋線形成原理,可直接寫出切削刃微元點(diǎn)e的空間位置矢量形式為

(5)

由于點(diǎn)e位于等導(dǎo)程螺旋線上,因此螺旋滯后角ψ可由軸向位置角κ表示為

(6)

式中:P=2π·R/tanβ為導(dǎo)程,β為公稱螺旋角,rad;N為刃數(shù).

結(jié)合式(5)和式(6),可進(jìn)一步得到以軸向位置角κ為參數(shù)的任意切削刃微元點(diǎn)空間位置矢量

(7)

2.2 軌跡模型

刀尖和刀位軌跡,即式(1)中的po和no是確定切削刃微元點(diǎn)軌跡的必要條件.然而,多軸銑削的數(shù)控程序往往是以一系列離散數(shù)據(jù)組成,如圖3所示.因此,需要經(jīng)過插值計(jì)算才能得到連續(xù)的刀尖和刀位軌跡.

具有多軸銑削功能的數(shù)控系統(tǒng),例如SINUMERIK 840D sl數(shù)控系統(tǒng),其插值一般采用線性插值的方式.因此,任意時(shí)刻的刀尖位置,即刀尖軌跡po可表示為

圖3 SINUMERIK 840D sl系統(tǒng)的多軸銑削數(shù)控程序Fig.3 Multi-axis milling NC codes in the control system SINUMERIK 840D sl

(8)

式中:f為進(jìn)給速度,mm/min;ti-1為刀尖位置ci-1對(duì)應(yīng)時(shí)刻,s;t為ti-1和ti之間任意時(shí)刻,s.

與計(jì)算po不同,計(jì)算描述刀具位姿的no.首先,需要線性插值得到機(jī)床各旋轉(zhuǎn)軸的角度,然后,結(jié)合機(jī)床的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系確定其計(jì)算表達(dá)式.換言之,no的計(jì)算與機(jī)床結(jié)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)學(xué)密切相關(guān).本文以回轉(zhuǎn)擺動(dòng)形式的五軸聯(lián)動(dòng)加工中心為對(duì)象,如圖4所示,闡述任意時(shí)刻no的計(jì)算方法.

圖4 五軸聯(lián)動(dòng)加工中心Fig.4 5-axis CNC universal machine

圖4中:坐標(biāo)系om-xmymzm為機(jī)床坐標(biāo)系;B,C是帶正負(fù)方向的旋轉(zhuǎn)軸角度,rad.根據(jù)線性插值,五軸聯(lián)動(dòng)加工中心任意時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)軸角度為

(9)

式中:Bi,Ci為數(shù)控程序每行代碼中控制旋轉(zhuǎn)軸角度的離散數(shù)據(jù),即刀位控制數(shù)據(jù).

根據(jù)圖4所描述的機(jī)床結(jié)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)關(guān)系,即旋轉(zhuǎn)軸C依附于旋轉(zhuǎn)軸B,據(jù)此刀具位姿no可表示為

(10)

對(duì)于式(3)中xr軸和xc軸的夾角θ,可根據(jù)圖1和圖2中的幾何關(guān)系和參數(shù)表示為

(11)

(12)

結(jié)合式(1)～式(12),可得到任意切削刃微元點(diǎn)e的軌跡模型為

(13)

3 軌跡模型的仿真分析和驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文研究的正確性和可靠性,首先，利用C++編程語言和OpenGL 4.5圖形接口開發(fā)實(shí)現(xiàn)了基于所建模型的切削刃微元點(diǎn)軌跡仿真.然后，以刀具半徑為R=4 mm的等導(dǎo)程球頭銑刀為對(duì)象,建立其1∶1的幾何模型并標(biāo)記切削刃上任意點(diǎn),即利用幾何方法實(shí)現(xiàn)離散跟蹤被標(biāo)記點(diǎn)在不同時(shí)刻的空間位置.最后,進(jìn)行仿真軌跡和跟蹤數(shù)據(jù)的對(duì)比分析,作為判斷本文研究正確性的依據(jù).

本文所選用的刀具如圖5所示,其具體參數(shù)如表1所示.選取的切削刃上各標(biāo)記點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值如表2所示.確定各相關(guān)參數(shù)和標(biāo)記點(diǎn)后,模擬仿真主軸轉(zhuǎn)速為6 000 r/min、進(jìn)給速度為3 200 mm/min的葉輪開粗銑削過程,可得到切削刃微元點(diǎn)的仿真軌跡和某一時(shí)刻的標(biāo)記點(diǎn)位置狀態(tài)，如圖6所示.為了便于對(duì)比分析,提取某一時(shí)間段的切削刃微元點(diǎn)軌跡和該時(shí)間段內(nèi)標(biāo)記點(diǎn)所有的離散位置數(shù)據(jù),整理得到在工件坐標(biāo)系下各坐標(biāo)分量相對(duì)于時(shí)間的變化關(guān)系,如圖7所示.

圖5 球頭銑刀和其幾何模型Fig.5 Ball-end milling cutter and the geometric model

表1 球頭銑刀幾何參數(shù)

表2 標(biāo)記點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系下的坐標(biāo)Tab.2 Coordinates of marked points in cutter coordinates system

根據(jù)圖6和圖7,可以看出仿真得到的切削刃微元點(diǎn)軌跡在任意時(shí)刻都能和標(biāo)記點(diǎn)具有較高的重合度.由此可以證明本文所建立的切削刃微元點(diǎn)軌跡模型和開發(fā)的程序正確、可靠,而且適用于球頭銑刀多軸銑削加工.

圖6 切削刃微元點(diǎn)軌跡仿真Fig.6 Trajectory simulation of tooth element

圖7 仿真軌跡和標(biāo)記點(diǎn)位置隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.7 Change relationship of simulated trajectories and marked-points’ coordinates with time

4 結(jié)語

通過對(duì)球頭銑刀多軸銑削加工過程中工件和刀具坐標(biāo)系變換關(guān)系、切削刃微元點(diǎn)空間位置矢量和刀具軌跡的分析與定量描述,建立了準(zhǔn)確描述切削刃微元點(diǎn)軌跡的矢量模型.并通過對(duì)比分析軌跡仿真和標(biāo)記點(diǎn)的跟蹤結(jié)果,驗(yàn)證了所建模型和研究方法的正確性.

本文建立的模型不僅適用于球頭銑刀多軸銑削加工的切削刃微元點(diǎn)軌跡描述,更重要的是該模型以矢量形式準(zhǔn)確描述了切削刃微元點(diǎn)位置在參與切削過程中復(fù)雜的時(shí)空變化.因此,本文的研究對(duì)進(jìn)一步建立準(zhǔn)確的未變形切削厚度和深入研究球頭銑刀多軸銑削加工具有重要意義.

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