郝旭東

華東師范大學(xué)哲學(xué)系

xdhao@philo.ecnu.edu.cn

1 引言

如果將歐幾里德幾何的第五公設(shè)“平行公理”取消，代之以與其相沖突的命題，就會(huì)得到非歐幾何，如羅巴切夫幾何、黎曼幾何。類似地，如果在一個(gè)邏輯理論中矛盾律與排中律都成立，那么就稱之為亞氏（Aristotelian）邏輯；否則，若矛盾律或排中律在其中不成立，就稱之為非亞氏（non-Aristotelian）邏輯。如果所有陳述在一個(gè)理論中都為真，則稱其為不足道理論；否則，就稱之為足道理論。如果一個(gè)理論是不協(xié)調(diào)的（一般意義的矛盾律在其中失效，即一個(gè)命題及其否定在其中可以都真），并且還是足道的，就稱該理論是弗協(xié)調(diào)理論；并將其底層邏輯稱為弗協(xié)調(diào)邏輯（paraconsistent logic，又譯“次協(xié)調(diào)邏輯”“亞相容邏輯”等）。在弗協(xié)調(diào)邏輯中，一個(gè)命題及其否定不能推出任意命題。后文給出的邏輯系統(tǒng)C1D1本文將該邏輯系統(tǒng)稱作C1D，其中C1的含義是指其弗協(xié)調(diào)措施來自于達(dá)·科斯塔（N.C.A.da Costa）的正加型弗協(xié)調(diào)邏輯，D是英文單詞“doxic”的首字母。就是一種具有弗協(xié)調(diào)邏輯特性的多主體置信邏輯。

弗協(xié)調(diào)邏輯的先驅(qū)是波蘭的邏輯學(xué)家盧卡西維茨（J.?ukasiewicz）和俄國(guó)邏輯學(xué)家瓦西里耶夫（N.I.Vasiliev）。盧卡西維茨是第一個(gè)構(gòu)想形式化的弗協(xié)調(diào)邏輯的學(xué)者。1910年，他論證了亞里士多德的三段論原則是獨(dú)立于矛盾律的（[6]，第503頁(yè)），并建議構(gòu)建一種“非亞氏邏輯”。1912年，瓦西里耶夫設(shè)想了一種“想象邏輯（Imaginary logic）”，在這種非亞氏邏輯中，矛盾律不再一般有效（[12]，第127-163頁(yè)）。盡管盧卡西維茨和瓦西里耶夫沒有做弗協(xié)調(diào)邏輯的具體構(gòu)建工作，但他們的研究為弗協(xié)調(diào)邏輯奠定了重要的思想基礎(chǔ)。1948年，雅思科瓦斯基（S.Ja?kowski）在他的老師盧卡西維茨的影響下，構(gòu)建了第一個(gè)弗協(xié)調(diào)邏輯的形式系統(tǒng)（[5]，第143-157頁(yè)）：商討邏輯（Discussive logic）。雅思科瓦斯基的基本思想是把“真”解釋為“根據(jù)某人（在商討中）的立場(chǎng)真”。這類似于模態(tài)邏輯“在某可能世界中為真”的描述，只不過這個(gè)可能世界，是以該商討人為立場(chǎng)出發(fā)點(diǎn)的世界（[11]，第3-16頁(yè)）。這樣，一個(gè)公式及其否定都真，就不會(huì)導(dǎo)致任意公式為真的后果。

20世紀(jì)50年代，巴西邏輯學(xué)家達(dá)·科斯塔及其合作者獨(dú)立于雅思科瓦斯基開始了矛盾系統(tǒng)（Contradictory system）的研究，并且發(fā)展出了一些具有弗協(xié)調(diào)性質(zhì)（paraconsistency）的系統(tǒng)，比如命題演算Cn(1≤n≤ω)和謂詞演算ω)和，這是如今被研究和討論最為廣泛的弗協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)（[4]，第790-911頁(yè)）。此外，達(dá)·科斯塔等學(xué)者還對(duì)雅思科瓦斯基的商討邏輯進(jìn)行了擴(kuò)充研究，得到了一階謂詞和高階謂詞商討邏輯系統(tǒng)。（[3]，第37-56頁(yè)）這些研究工作使得雅思科瓦斯基的商討邏輯更加完整和系統(tǒng)。50年代末，安德森（A.R.Anderson）和貝爾納普（N.Belnap）為處理實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵怪論而給出了相干邏輯。相干邏輯的一個(gè)顯著特征就是要求前提和結(jié)論必須要具有一個(gè)相同的命題或謂詞參數(shù)。正是因?yàn)檫@個(gè)原則，相干邏輯就具有了弗協(xié)調(diào)邏輯的性質(zhì)。弗協(xié)調(diào)相干邏輯主要是由澳大利亞的邏輯學(xué)者盧特雷（R.Routley）（[7]，第51-68頁(yè)）、梅耶爾（R.K.Meyer）（[8]，第183-194頁(yè)）、普利斯特（G.Priest）（[9]，第219-241頁(yè)）等人研究并發(fā)展的。此外，阿魯達(dá)（A.I.Aruda）和達(dá)?科斯塔還給出了弗協(xié)調(diào)相干邏輯系統(tǒng)P和P*。（[1]，第33-49頁(yè)）總體來說，弗協(xié)調(diào)邏輯有三種類型：相干型，即上文所述的弗協(xié)調(diào)相干邏輯類型；棄合型，以雅思科瓦斯基所創(chuàng)立的商討邏輯為代表；正加型，即給正命題邏輯系統(tǒng)增加適當(dāng)?shù)姆穸ㄔ~，即著力于對(duì)經(jīng)典否定詞的修正，這是達(dá)·科斯塔開創(chuàng)的弗協(xié)調(diào)邏輯的主流方向，迄今更多地表現(xiàn)于與相干方向的結(jié)合，如普利斯特著名的LP（悖論邏輯）系統(tǒng)。

總之，弗協(xié)調(diào)邏輯是如今被廣泛而深入研究的重要邏輯分支。（更多的細(xì)節(jié)內(nèi)容可參閱[4,10,11]）由于正加型弗協(xié)調(diào)邏輯盡量保留了經(jīng)典邏輯的很多與矛盾律無關(guān)的重要推理模式，所以本文的研究和討論范圍僅限于正加型弗協(xié)調(diào)邏輯。正是通過對(duì)正加型弗協(xié)調(diào)邏輯的長(zhǎng)期考察與探究，我國(guó)學(xué)者張建軍提出了可以為弗協(xié)調(diào)邏輯“找到一種可以刻畫人類信念系統(tǒng)之‘容錯(cuò)’性的‘置信語(yǔ)義’”（[15]，第614頁(yè)）的觀點(diǎn)?；趯?duì)這一觀點(diǎn)的認(rèn)同，本文以此為指針嘗試性地給出了弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯系統(tǒng)C1D的語(yǔ)法和語(yǔ)義，并證明了其可靠性和完全性。以其特征內(nèi)定理為切入點(diǎn)，通過透徹解析C1D容忍矛盾沖突的邏輯機(jī)制，詳盡闡釋其作為一種解悖方案的合理性與必要性，清晰展示其容忍信念沖突的特殊處理方式。

2 C1D的形式語(yǔ)言

將C1D的形式語(yǔ)言記作L0，它包括如下初始符號(hào)：

(1) 命題符p,q,r,s,···；

(2) 聯(lián)結(jié)詞?,∧,∨,→；

(3) 信念算子Biα(i∈N)；

(4)左右括號(hào)。其中，Bmp表示認(rèn)知主體m相信p。

公式的定義如下：

(1)任意的命題符是公式；

(2)如果α和β是公式，那么(α∧β)、(α∨β)、(α→β)、?α以及Biα(i∈N)是公式；

(3)只有按照步驟(1)和(2)得到的符號(hào)序列才是公式。

令Form(L0)表示所有公式的集合，用大寫希臘字母表示任意的公式集，小寫希臘字母表示任意的公式。另引入一些縮寫和語(yǔ)法符號(hào)：

(1)α?β表示(α→β)∧(β→α)；

(2)αo表示?(α∧?α)。αo的直觀含義是α遵守矛盾律，即α是舉措得當(dāng)?shù)模╳ell-behaved）；而若α∧?α成立，則稱α是舉措失當(dāng)?shù)模╞ad-behaved）（[4]，第799-800頁(yè)）；

(3)～α表示(?α∧αo)。(?α∧αo)直觀含義是遵守矛盾律的否定，即經(jīng)典否定；

(4)語(yǔ)法符號(hào)“?”仍表示形式可推演關(guān)系。

3 C1D的公理系統(tǒng)

下列(1)-(12)都是弗協(xié)調(diào)命題演算C1的公理模式（[4]，第800頁(yè)），(13)和

(14)則是關(guān)于認(rèn)知算子的公理模式。

C1D的推理規(guī)則有兩條：

R1： 由?α和?α→β，可以推出?β。

R2： 由?α，可以推出?Biα，(i=1,···,m，m∈N)。

4 C1D的語(yǔ)義

定義1框架F是一個(gè)多元組(W,R1,···,Rm)；其中，W是認(rèn)知世界或狀態(tài)的集合；Ri是W上的一個(gè)二元關(guān)系，i=1,···,m(m∈N)。

定義2一個(gè)關(guān)于i=1,···,m(m∈N)的賦值就是一個(gè)從(L0)×W到{1,0}的映射，對(duì)于α,β∈Form(L0)而言滿足以下條件（符號(hào)“?”的意思是“如果……，那么……”，符號(hào)“?”的意思是“當(dāng)且僅當(dāng)”）：

(1)V(α,w)=0?V(?α,w)=1

(2)V(??α,w)=1?V(α,w)=1

(3)V(βo,w)=V(α→β,w)=V(α→?β,w)=1?V(α,w)=0

(4)V(α→β,w)=1?V(α,w)=0或V(α,w)=1

(5)V(α∧β,w)=1?V(α,w)=1且V(β,w)=1

(6)V(α∨β,w)=1?V(α,w)=1或V(β,w)=1

(7)V(αo,w)=V(βo,w)=1?((α△β)o,w)=((▽?duì)?o,w)=1；

其中△∈{∧,∨,→}，▽∈{?,Bi},i=1,···,m(m∈N)

(8)V(Biα,w)=1?對(duì)任一i(i=1,···,m，m∈N)，任一w′∈W，wRiw′?V(α,w′)=1

定義3一個(gè)關(guān)于認(rèn)知主體i(i=1,···,m，m∈N)的模型M=(W,R1,···,Rm,V)，其中，(W,R1,···,Rm)是一個(gè)框架，而V該框架的一個(gè)賦值。

定義4令M=(W,R1,···,Rm,V)是任一模型，F(xiàn)=(W,R1,···,Rm)是任一框架，α是Form(L0)中的任一公式，w是W中的任一信念世界認(rèn)知狀態(tài)：

(1)若V(α,w)=1，則稱α在w中真，記作M?αw；若V(α,w)=0，則稱α

在w中假，記作M?αw；

(2)公式α在M中是可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)，存在w∈W使得V(α,w)=1；

(3)公式α在M中是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任一w∈W都有V(α,w)=1；

(4)公式α在F上是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任一(W,R1,···,Rm)上的V都有V(α,w)=1。

定義5(C1-變形) 令α是Form(L0)中的任一公式，C1-變形記作α′，它其實(shí)就是對(duì)公式刪除所有認(rèn)知算子的結(jié)果。嚴(yán)格來說，C1-變形就是一個(gè)從一個(gè)公式到另一個(gè)公式的映射：

5 C1D的一些定理和推論

由于C1D包含了C1所有公理模式和推理規(guī)則所以C1D是C1的真擴(kuò)張，所以C1的定理都將是C1D-定理；也將包含經(jīng)典邏輯命題演算的所有正推理模式和正定理。例如，在C1D中有C1的如下的定理1-4。（[4]，第797-803頁(yè)）

定理1?α→α

定理2在C1D中有：

(1)若α∈Γ，則Γ?α；

(2)若有Γ?α和Γ??，則有??α；

(3)若有??α和??α→β，則有??β；

(4)若有Γ?α和?，α?β，t則有Γ,??β。

定理3在C1D中有：

(1)若有Γ1?α，Γ2?α→β，Γ1,Γ2??，則有??β。特別地

當(dāng)Γ1=?，若有?α，Γ2?α→β，Γ2??，則有??β；

當(dāng)Γ2=?，若有Γ1?α，?α→β，Γ1??，則有??β；

(2)若有Γ?α1→α2，Γ?α2→α3,···，Γ?αm-1→αm，則有Γ?α1→αm；

(3)Γ?α∧β當(dāng)且僅當(dāng)，Γ?α且Γ?β；

(4)若Γ?α，則Γ?α∨β且Γ?β∨α；

(5)若Γ,α?γ且Γ,β?γ，則有Γ,α∨β?γ；

(6)若Γ,α?β，則Γ?α→β（演繹定理）；

(7)若Γ?αo，Γ?α→β，Γ?α→?β，則Γ??α。

定理4?α→β?(?Biα→Biβ)，i=1,···,m(m∈N)。

定理5在C1D中有:

(1)?αo??(Biα)o，i=1,···,m(m∈N)；

(2)?α??Biα，i=1,···,m(m∈N)。

證明：

(1)由于有?αo，因而就存在一個(gè)有窮的公式序列α1,···,αh，使得αh=αo，并且對(duì)于任一j(l≤j≤h)使得αj滿足下列條件之一：

(a)αj是C1D的一個(gè)公理；或者

(b)存在l,k＜j使得αj可以從αl和αk(=αl→αj)通過規(guī)則R1得到；

(c)存在l≤j使得αj(=Biαl)可以從αi通過規(guī)則R2得到。

這樣，由公理(13)αo→(Biα)o，從αm(=αo)，使用R1，可得(Biα)o。

因此，公式序列α1,···,αh,(Biα)o就是?(Biα)o的證明。

(2)類似于(1)的證明，通過形式可推演的定義易證，略。 □

推論1任一C1D-定理的C1-變形都是C1-定理。

證明：類似于模態(tài)邏輯中P-變形的證明，施歸納于證明長(zhǎng)度即可。該推論說明，若α是C1D-定理，則α′一定是C1-定理；若α不是C1-定理，則α′就不是C1D-定理。 □

推論2對(duì)于i=1,···,m(m∈N),下述公式不是C1D-定理：

證明：首先 (1)Bi?(α∧?α)不是C1D-定理。因?yàn)槠銫1-變形是?(α∧?α),而?(α∧?α)不是C1-定理（[4]，第801頁(yè)），所以，根據(jù)推理1，Bi?(α∧?α)就不是C1D-定理。(2)-(10)的證明類似。 □

6 C1D的可靠性和完全性

定理6C1D的所有公理在任意框架上有效。

證明：首先根據(jù)定義2和4易驗(yàn)證公理(1)-(12)在任意框架上有效。下面驗(yàn)證公理(13)和(14)在任意框架上有效：

(1) 公理 (13)αo→(?α)o∧(Biα)o(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。首先，根據(jù)定義2和4易驗(yàn)證公理αo→(?α)o在任意框架上有效。其次，驗(yàn)證αo→(Biα)o在任意框架上有效：

- 當(dāng)V(αo,w)=0，根據(jù)定義 2(3)，則有V(αo→(Biα)o,w)=1；

- 當(dāng)V(αo,w)=1，根據(jù)定義 2(7)，則有V((Biα)o,w)=1；

這樣根據(jù)定義2(3)，可得V(αo→(Biα)o,w)=1。由于w是任意的，因此，根據(jù)定義4可知，αo→(Biα)o在任意框架上有效。因此，αo→(?α)o∧(Biα)o(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。

(2)公理(14)Bi(α→β)→(Biα →Biβ)(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。

假若公理 (16)Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)并非在任意框架上有效，那么就有(W,R1,···,Rm)?Bi(α →β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)，于是就存在一個(gè)模型 (W,R1,···,Rm,V)使得(W,R1,···,Rm,V) ?Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)；即，存在w∈W使得V(Bi(α→β)→(Biα→Biβ),w)=0；于是就有

于是，對(duì)于任一則有

于是，對(duì)于任一則有

由于④和⑧會(huì)導(dǎo)致荒謬，所以假設(shè)不成立。故，公理(14)Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。 □

定理7對(duì)于i=1,···,m，m∈N，令F是任一框架類，

(1)若α和α→β在F上有效，則B在F上有效；

(2)若α在F上有效，則Biα在F上有效。

證明：(1)的證明類似于模態(tài)邏輯中的證明，略。

(2)的證明：若α在F上有效，令(W,R1,···,Rm)是中的任一框架，V是該框架上的任一賦值。于是，對(duì)于任一w∈W，則有V(A,w)=1；因此可得，對(duì)于任一w′∈W，wRiw′?V(α,w′)=1；于是就有對(duì)于i=1,···,m，V(Biα,w)=1；由于w的任意性，所以就有 (W,R1,···,Rm)?Biα；由于 (W,R1,···,Rm)的任意性，因此就有對(duì)于i=1,···,m，F(xiàn) ?Biα；即，對(duì)于i=1,···,m，Biα在 F上有效。 □

定理8C1D是可靠的，即，若?C1Dα，則?C1Dα。

證明：首先，根據(jù)定理6，公理模式在C1D-框架上有效。其次，定理7表明C1D的推理規(guī)則在任一框架上有效。所以，C1D是可靠的。 □

定義6

(1)對(duì)于任一公式集，令，若，則稱Γ是演繹封閉的。

(2)稱Γ是不足道的，當(dāng)且僅當(dāng)，；否則，稱之為足道的。

(3)稱Γ是不協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)，有公式A使得Γ?A且Γ??A。否則，稱之為協(xié)調(diào)的。顯然，空集是總是協(xié)調(diào)的。

(4)稱一足道集Γ是極大的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意公式α，若α/∈Γ則?！葅α}是不足道的。

引理1令Γ?Form(L0)，α∈Form(L0)，則有：

(1)如果有Γ?α∧～α，那么有Γ是不足道的；

(2)如果Γ是不足道的，那么存在公式α使得Γ?α∧～α；

(3)Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ∪{～α}是不足道的；

(4)如果Γ是極大足道的且α/∈Γ，那么?！葅α}?α∧～α；

(5)如果Γ是極大足道的且α/∈Γ，那么Γ∪{α}??α。

引理2令Γ?Form(L0)，α,β∈Form(L0)，若Γ是極大足道集，則有：

(1)Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈Γ；

(2)若α∈Γ，則～α/∈Γ；若～α∈Γ，則α/∈Γ；

(3)α∈?；颉痢师?；

(4)若?α，則α∈Γ；

(5)若α∈Γ，α→β∈Γ，則β∈Γ。

引理3令Γ?Form(L0)，α,β∈Form(L0)，若Γ是極大足道集，則有：

(1)若βo,(α→β),(α→?β)∈Γ，則?α∈Γ；

(2)α→β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α/∈?；颚隆师?；

(3)α∧β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈Γ且β∈Γ；

(4)α∨β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈?；颚隆师?；

(5)Ifα∈Γ且(?α)/∈Γ，z則(??α)∈Γ；若α/∈Γ且(?α)∈Γ，則(??α)/∈Γ；

(6)若αo,βo∈Γ，則 (α→β)o∈Γ，(α∧β)o∈Γ，(α∨β)o∈Γ，(?α)o∈Γ，(Biα)o∈Γ(i=1,···,m，m∈N)。

證明：引理1(1)到3(5)都是C1-定理，因而它們也都是C1D-定理。下面證明引理3(6)是C1D-定理。

同理，由公理(12)和(13)，易證(6)的其余內(nèi)容也成立。 □

引理4每一個(gè)足道集都可以擴(kuò)張成極大足道集。

證明：與經(jīng)典邏輯林頓巴姆引理的證明類似，略（[16]，第39-40頁(yè)）。 □

引理5Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α是maxΓ中任一極大足道集的元素，即，?X∈maxΓ(α∈X)，特別地，當(dāng)Γ=?時(shí)，?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α是任一個(gè)極大足道集的元素。

證明：首先，有

其次，有

因而，就有Γ?α??X∈maxΓ(α∈X)。

所以，當(dāng)Γ=?，就有?α??X∈maxΓ(α∈X)。 □

定義7是一個(gè)典范模型（canonical model），其中

引理6V滿足定義2的(1)-(7)。

證明：首先，我們可以使用引理3(1)來驗(yàn)證滿足定義2(4)。即驗(yàn)證若有，則有。

給定，則

類似地，使用引理3(2)-(6)，可以驗(yàn)證滿足定義2(2)-(7)。□

引理7是C1D-模型。

證明：根據(jù)引理6，驗(yàn)證滿足定義2(1)-(7)。

下面我們驗(yàn)證滿足定義2(8)。Biβ1,···,Biβp∈X為已知，根據(jù)引理 3(3)，則有

由①和②，可得，即，滿足定義2(8)。因此，是C1D-模型。 □

定理9 C1D是完全的，即，若?C1Dα，則?C1Dα。

證明：若已知?C1Dα，假設(shè)?C1Dα，根據(jù)引理5，就存在一個(gè)極大足道集w使得α/∈w。因?yàn)?，所以就有。同時(shí)，由于是C1D-框架，所有就有。這與已知不符，所以假設(shè)不正確，因而，就有?C1Dα。 □

7 結(jié)論

弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯C1D為我們提供了處理矛盾沖突的一種簡(jiǎn)單易行的邏輯途徑。那么，為什么C1D可以容忍認(rèn)知領(lǐng)域的矛盾沖突呢？下面，我們就在給出答案的同時(shí)，也通過實(shí)例分析的方式顯示C1D在實(shí)用方面的邏輯價(jià)值。

7.1 C1D可以作為相信者悖論解悖方案

相信者悖論最早是由伯奇（T.Burge）在1978年提出的（[2]，第21-35頁(yè)），它是一種典型的認(rèn)知悖論。類似于說謊者悖論，它也源自一個(gè)自指的陳述；通過邏輯的推導(dǎo)，就可以得到一個(gè)嚴(yán)格意義的悖論Biα??Biα。在此，我們僅以最簡(jiǎn)單的方式對(duì)之進(jìn)行可以滿足我們說明C1D性質(zhì)的描述（更多細(xì)節(jié)見[14]，第176-180頁(yè)）。類似于說謊者悖論，相信者悖論也是由一個(gè)自指性語(yǔ)句構(gòu)成的，我們將該語(yǔ)句用α表示，它斷言：認(rèn)知主體i不相信α；用公式可將α定義為：

現(xiàn)在的問題是：認(rèn)知主體i相信還是不相信α？在接受C1D的規(guī)則R2以及公理Biα→α的基礎(chǔ)上，則有如下推斷：

一方面，若有Biα，根據(jù)公理Biα→α，則有α；而α即為“認(rèn)知主體i不相信α”，即有?Biα。因此，就有Biα→?Biα。另一方面，若?Biα，由于“認(rèn)知主體i不知道α”正是α，即有α；于是根據(jù)規(guī)則R2，可得Biα。所以，就有?Biα→Biα。這就是說，如果Biα為真，那么它就為假；如果Biα為假，那么它就為真。于是，我們就得到了一個(gè)矛盾等價(jià)式Biα??Biα。這就是造成了相信者悖論。

出現(xiàn)這種真矛盾（dialetheia或true contradiction）2“真矛盾”是普利斯特用來闡釋其LP系統(tǒng)語(yǔ)義的特有術(shù)語(yǔ)（[11]，第4頁(yè)）。該術(shù)語(yǔ)用來描述那些形如α∧?α，但并沒有在實(shí)際上導(dǎo)致包含它的理論變得不足道的公式。此處，我們擴(kuò)展了真矛盾概念的范圍。因?yàn)榻^大多數(shù)嚴(yán)格意義的邏輯悖論的語(yǔ)形都是α??α，既然弗協(xié)調(diào)邏輯將悖論歸為真矛盾，那么真矛盾的范圍就應(yīng)該包括那些形如α??α，但實(shí)際上并沒有導(dǎo)致包含它的理論變得不足道的那些公式。會(huì)有怎樣的后果？

我們知道，如果去掉C1D的公理模式(9)-(13)，就可以得到一個(gè)基于經(jīng)典邏輯的置信邏輯系統(tǒng)，這是一種經(jīng)典認(rèn)知邏輯（即，基于經(jīng)典邏輯的認(rèn)知邏輯）。由于公式(α??α)→β是經(jīng)典邏輯的定理，因而利用公理(16)和R2易證其包含信念算子的形式(Biα??Biα)→Biβ也將是經(jīng)典認(rèn)知邏輯的定理。這即是說，經(jīng)典認(rèn)知邏輯不允許認(rèn)知主體同時(shí)相信一個(gè)陳述及其否定；換言之，以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)，存在相信者悖論的后果就是相信所有陳述。這就意味著相信者悖論在包含它的知識(shí)信念系統(tǒng)中爆炸了，從而導(dǎo)致了該知識(shí)信念系統(tǒng)的理性崩潰；而導(dǎo)致相信所有陳述的理論顯然是毫無意義或不足道的。

但實(shí)際上，在我們的知識(shí)信念領(lǐng)域中，存在著很多認(rèn)知悖論。很多時(shí)候我們不能因?yàn)樵谀忱碚撝谐霈F(xiàn)了這種悖論，就斷然認(rèn)為該理論在事實(shí)上全無意義、毫不足道。例如，盡管在素樸集合論中有羅素悖論，但這種集合論仍然可以很好地幫助我們解決初等數(shù)學(xué)以及日常思維領(lǐng)域中的相關(guān)問題。面對(duì)各種形如Biα??Biα的認(rèn)知悖論，為了避免相信一切的后果，我們的邏輯基礎(chǔ)顯然就不能是經(jīng)典認(rèn)知邏輯；就必須是一種可以容忍悖論，但同時(shí)又不會(huì)導(dǎo)致爆炸性后果的邏輯。C1D正是這樣的邏輯；因?yàn)楦鶕?jù)推論2，公式(Biα??Biα)→Biβ將不再是該系統(tǒng)的定理；所以，以C1D為基礎(chǔ)邏輯，相信者悖論就不會(huì)導(dǎo)致相信一切的爆炸性后果。

但同時(shí)我們也應(yīng)當(dāng)清楚地知道，C1D方案并沒有真正解決悖論問題，它只是容忍了悖論。更準(zhǔn)確地說，經(jīng)典邏輯的思路是“解?！?，要求我們解決和消除悖論；而C1D方案是要“容?！?，為的是即使不消除悖論，也不會(huì)導(dǎo)致理性崩潰。其思路的合理性在于，解決和消除相信者悖論或其它認(rèn)知悖論的確很重要，但直到現(xiàn)在，也沒有哪種方案可以令各方都完全滿意。在徹底解決這些悖論之前，面對(duì)這些認(rèn)知悖論的事實(shí)存在，既然我們?cè)谑聦?shí)上沒有失去邏輯理性，那么我們就需要一種可以容忍悖論的基礎(chǔ)邏輯。在含有悖論的前提下，弗協(xié)調(diào)認(rèn)知邏輯C1D并沒有像經(jīng)典認(rèn)知邏輯那樣，進(jìn)而就要求我們?nèi)ハ嘈乓磺?；因而，這就十分有利于成為那些雖然含有某些認(rèn)知悖論，但在某些方面仍有價(jià)值和意義的認(rèn)知理論的基礎(chǔ)邏輯。

7.2 C1D可以作為含有沖突信念理論的基礎(chǔ)邏輯

如果信念領(lǐng)域出現(xiàn)了矛盾狀況，我們就說出現(xiàn)了信念沖突。這是經(jīng)典邏輯所不能容忍的，因?yàn)楣?α∧?α)→β是經(jīng)典邏輯的定理。這就意味著，如果矛盾是成立的，那么就會(huì)導(dǎo)致任意陳述的成立?；蛘哒f，經(jīng)典邏輯認(rèn)為矛盾狀況就意味著不足道；如果一個(gè)理論出現(xiàn)了矛盾狀況（沖突、不協(xié)調(diào)），那就意味著理論的不足道和無意義。這即是說，經(jīng)典邏輯要求不能有矛盾；如果理論本身不排除矛盾，就會(huì)導(dǎo)致該理論在邏輯上變得毫無價(jià)值。所以，經(jīng)典邏輯顯然就不適于處理這種雖然不協(xié)調(diào)但足道的狀況。面對(duì)這種狀況，我們就需要那種可以將不協(xié)調(diào)與不足道區(qū)別對(duì)待的邏輯。

不能有矛盾沖突的要求本來也無可厚非，但在我們現(xiàn)實(shí)的世界，存在很多弗協(xié)調(diào)（即不協(xié)調(diào)但足道）的狀況；特別是在認(rèn)知領(lǐng)域中，弗協(xié)調(diào)的狀況幾乎就是常態(tài)，甚至可以說是不可避免的。于大而言，不同的民族、文化、宗教信仰、社會(huì)階層等之間，在觀念和信仰上存在著某種天然的不一致。于小而言，某個(gè)認(rèn)知主體或認(rèn)知共同體也不可能保證其知識(shí)信念始終都協(xié)調(diào)一致、始終沒有矛盾沖突。這就有個(gè)問題：在解決矛盾沖突之前，存在矛盾沖突的現(xiàn)階段，我們是否真的就相信了任意陳述？顯然沒有。也就是說，在這種情況下，我們的理性思維所依賴的基礎(chǔ)邏輯應(yīng)當(dāng)是一種可以容忍沖突，但同時(shí)又不會(huì)導(dǎo)致爆炸性后的邏輯。而此處所給出的弗協(xié)調(diào)認(rèn)知邏輯C1D正是這樣一種邏輯。

比如，當(dāng)一個(gè)認(rèn)知主體j因?yàn)槟撤N原因同時(shí)相信了一個(gè)陳述及其否定，用邏輯語(yǔ)言可以將之描述為Bj(α∧?α)或Bjα∧Bj?α。如果該認(rèn)知主體的基礎(chǔ)邏輯是經(jīng)典認(rèn)知邏輯（即，由經(jīng)典邏輯通過擴(kuò)充認(rèn)知算子及其相關(guān)公理和推理規(guī)則而得到的認(rèn)知邏輯），由于公式(α∧?α)→β是經(jīng)典邏輯的定理，所以使用公理(14)和R2易證Bj(α∧?α)→Bjβ和(Bjα∧Bj?α)→Bjβ也將是定理。這兩條定理的直觀含義是說，如果認(rèn)知主體同時(shí)相信了一個(gè)陳述及其否定，那么他在邏輯上就必須相信任意的陳述。這就意味著，若以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)，認(rèn)知主體在進(jìn)行有意義的認(rèn)知活動(dòng)之前，這種認(rèn)知的矛盾沖突必須被清除掉。否則，其結(jié)果就會(huì)導(dǎo)致其它所有的認(rèn)知活動(dòng)在邏輯上喪失了必要。

但實(shí)際的情況并非如此。即使一個(gè)認(rèn)知主體接受了一個(gè)陳述及其否定，他仍然保持著足夠的理性，仍然可以進(jìn)行有意義的認(rèn)知活動(dòng)。這就是說，面對(duì)信念中的不協(xié)調(diào)，我們并沒在事實(shí)上失去邏輯的理性，進(jìn)而真地就去相信任意的陳述。此時(shí)，認(rèn)知主體理性的基礎(chǔ)邏輯顯然不是經(jīng)典認(rèn)知邏輯，而是一種可以包含信念沖突且不會(huì)導(dǎo)致相信任意陳述的邏輯。根據(jù)推論2，上述的兩個(gè)公式Bj(α∧?α)→Bjβ和(Bjα∧Bj?α)→Bjβ已不是C1D的定理，所以弗協(xié)調(diào)置信邏輯就具有了這種容忍認(rèn)知沖突但同時(shí)又不會(huì)導(dǎo)致爆炸性后果機(jī)制，因而就可以作為弗協(xié)調(diào)認(rèn)知理論的一種基礎(chǔ)邏輯。

更進(jìn)一步地說，以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)不能同時(shí)相信一個(gè)陳述及其否定的原因在于：在經(jīng)典認(rèn)知邏輯中，公式(Bjα∧Bj?α)沒有模型；即，不存在某個(gè)認(rèn)知世界w，使得(Bjα∧Bj?α,w)=1。這是顯而易見的。因?yàn)槿粲?Bjα∧Bj?α,w)=1，則有(Bjα,w)=1且(Bj?α,w)=1。而根據(jù)經(jīng)典認(rèn)知邏輯對(duì)否定詞的賦值定義，這是不可能的。所以，公式(Bjα∧Bj?α)在經(jīng)典認(rèn)知邏輯中為是不可滿足式。所以，根據(jù)經(jīng)典認(rèn)知邏輯的要求，認(rèn)知主體就不可以同時(shí)相信一個(gè)陳述及其否定。這是我們對(duì)信念系統(tǒng)所追求的一種理想狀態(tài)；在這種理想狀態(tài)中，我們的信念是協(xié)調(diào)一致的，是不存在任何矛盾沖突的。

然而，我們之所以稱之為“理想狀態(tài)”，就是因?yàn)樵谠S多的實(shí)際情境中，我們很難確保認(rèn)知個(gè)體或著某個(gè)認(rèn)知共同體的知識(shí)或信念沒有沖突。在C1D中，一般意義的矛盾律受到了限制，于是一個(gè)陳述及其否定（該否定為弗協(xié)調(diào)否定，而不是經(jīng)典否定）則可以同時(shí)成立。更具體地說，根據(jù)定義2(1)，C1D允許(Bjα,w)=1且 (Bj?α,w)=1；所以根據(jù)定義 2(5)，(Bjα∧Bj?α,w)可以為 1（但不是一定為1）。也即是說，如果以弗協(xié)調(diào)置信邏輯C1D為基礎(chǔ)，認(rèn)知主體就可以相信一個(gè)陳述及其（弗協(xié)調(diào)）否定。同時(shí)，又不會(huì)因此而導(dǎo)致爆炸性后果，因?yàn)楣?Bjα∧Bj?α)→Bjβ已不再是系統(tǒng)C1D的定理。如果以弗協(xié)調(diào)置信邏輯C1D為基礎(chǔ)，我們就可以既容忍認(rèn)知沖突，又不會(huì)在邏輯上失去理性而去相信一切。

總而言之，在知識(shí)和信念占重要地位的認(rèn)知領(lǐng)域，出現(xiàn)矛盾沖突的情形幾乎是以常態(tài)方式而存在的。經(jīng)典認(rèn)知邏輯要求我們必須要將它們解決掉，這樣的要求無可厚非，也是必要的。如果這些認(rèn)知的矛盾沖突可以被及時(shí)而恰當(dāng)?shù)亟鉀Q，那是最理想的結(jié)果。但實(shí)際上，解決這些知識(shí)信念的矛盾沖突不僅需要耗費(fèi)大量辛勤的智力活動(dòng)，更重要的是也需要耗費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間。此外，還存著某些在某種層面上無需考慮其影響，也無需考慮將之解決的那種知識(shí)信念的矛盾沖突（比如，羅素悖論在初級(jí)集合論學(xué)習(xí)層面或日常生活層面上，就無需考慮其影響）。面對(duì)這些尚未解決或在一定層面上無需解決的矛盾沖突，我們?cè)谶壿嬌鲜欠裾娴木吞幱凇跋嘈乓磺小钡幕靵y狀態(tài)呢？顯然沒有。實(shí)際上，認(rèn)知主體在容忍它們的狀態(tài)下，仍然可以順利地進(jìn)行著理性思考，因而其基礎(chǔ)邏輯顯然就應(yīng)該是一種弗協(xié)調(diào)性質(zhì)的認(rèn)知邏輯。弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯C1D可以容忍那些形如Bj(α∧?α)、(Bjα∧Bj?α)或(Bjα??Bjα)的知識(shí)信念沖突，因而就可以為那些包含知識(shí)信念矛盾沖突的理論提供的一種可靠的基礎(chǔ)邏輯。維特根斯坦曾經(jīng)預(yù)言和期望一種可以包含矛盾的演算（[13]，第171頁(yè)），如果把弗協(xié)調(diào)邏輯看作是這種演算的開端，那么弗協(xié)調(diào)置信邏輯或許正好展示了這種演算在信念領(lǐng)域的實(shí)踐應(yīng)用。

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