沈 磊, 王芳貴, 王 茜

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

1977年,Nicholson[1]研究exchange環(huán)時引入了clean環(huán)的概念.稱環(huán)R為clean環(huán)，如果每個元素可表示為一個冪等元e與一個單位u之和;若還有eu=ue成立,則稱為強clean環(huán)[2].后來,clean環(huán)的研究逐漸成為環(huán)理論的一個熱點.

Camillo等[3]將clean環(huán)中的冪等元替換成系數(shù)取自R的中心的某一多項式g(x)的根,并稱這類環(huán)為g(x)-clean環(huán).g(x)-clean環(huán)是對clean環(huán)的推廣,顯然(x2-x)-clean環(huán)就是clean環(huán).Nicholson等[4]研究了模的自同態(tài)環(huán)的g(x)-clean性.后來Yang[5]得到了g(x)-clean環(huán)的更多性質(zhì),并得出了g(x)-clean環(huán)與clean環(huán)的關(guān)系,即R是clean環(huán)當且僅當R是(x-a)(x-b)-clean環(huán),其中a、b為中心元素且b-a是單位.另外g(x)-clean環(huán)也得到了眾多推廣,如弱g(x)-clean環(huán)[6]、g(x)-f-clean環(huán)[7]和g(x)-nil clean環(huán)等[8].

Chen[9]研究了每個元素可表為一個冪等元e與一個Jacobson根中元素j之和的環(huán),并稱之為J-clean環(huán),若還有ej=je,則稱之為強J-clean環(huán).文中指出強J-clean環(huán)都是強clean環(huán).

自然地,每個元素可表為g(x)的根與一個Jacobson根中元素之和的環(huán)是值得研究的一類環(huán),本文稱這類環(huán)為g(x)-J-clean環(huán).類似g(x)-clean環(huán)與clean環(huán)的關(guān)系,得到了g(x)-J-clean環(huán)與J-clean環(huán)的關(guān)系(見本文定理3.3).

文獻[10]稱環(huán)R為弱clean環(huán),如果任何r∈R,可表為r=e+u或r=-e+u,其中e是冪等元,u是單位.值得注意的是ter[11]提到另一種意義的弱clean環(huán).眾所周知,若R是clean環(huán),則二階矩陣環(huán)M2(R)也是clean環(huán),但反之不成立.因此ter[11]稱環(huán)R是弱clean環(huán),如果對任何r∈R,都有是M2(R)中的clean元.本文采用Ahn意義下的弱clean性.

本文提到的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán).環(huán)R的中心、Jacobson根和單位群分別記為C(R)、J(R)和U(R).用Z表示整數(shù)環(huán),Zn表示模n的剩余類環(huán).

1 g(x)-J-clean環(huán)的基本性質(zhì)

定義1.1設(shè)R是環(huán),g(x)∈C(R)[x]為一給定的多項式,稱r∈R為g(x)-J-clean元,如果r=s+j,其中j∈J(R)且g(s)=0.稱R為g(x)-J-clean環(huán),如果任何r∈R都是g(x)-J-clean元.

顯然,(x2-x)-J-clean環(huán)就是Chen[9]引入的J-clean環(huán).首先給出g(x)-J-clean環(huán)與g(x)-clean環(huán)、J-clean環(huán)的關(guān)系.

命題1.2若R是g(x)-J-clean環(huán),則R是g(x)-clean環(huán).

證明設(shè)r∈R,則r-1=s+j,其中j∈J(R)且g(s)=0.從而有r=s+(j+1),且j+i∈U(R).故R是g(x)-clean環(huán).

例1.31)g(x)-J-clean元未必是g(x)-clean元.如R=Z,g(x)=x2-1,則R中所有g(shù)(x)-J-clean元為1,-1,而所有g(shù)(x)-clean元為-2,0,2.

2)g(x)-clean環(huán)未必是g(x)-J-clean環(huán).特別地,clean環(huán)未必是J-clean環(huán),如R=Z5.

3)g(x)-J-clean環(huán)未必是J-clean環(huán),如R=Z5,g(x)=x(x-1)(x-2)(x-2)(x-4).

設(shè)R、T是環(huán),φ:R→T是環(huán)同態(tài).

令

則φ(g(x))∈C(T)[x].

證明設(shè)t∈T,記t=φ(r),r∈R.由r=s+j,其中j∈J(R)且g(s)=0,得

t=φ(r)=φ(s)+φ(j),φ(j)∈J(T),

且

故T是φ(g(x))-J-clean環(huán).

Yang[5]推廣了冪等元提升的概念.設(shè)I是環(huán)R的理想

則存在b∈R使得g(b)=0且b-a∈I.

2 g(x)-J-clean環(huán)的擴張

眾所周知,交換環(huán)R上的一元多項式環(huán)R[t]不是clean環(huán),從而也不是J-clean環(huán)和nil clean環(huán).2016年,Khashan等[8]證明了對任意g(x)∈R[x],一元多項式環(huán)R[t]都不是g(x)-nil clean環(huán).注意到J(R[t])=nil(R[t]),從而有R[t]也不是g(x)-J-clean環(huán).下面考慮形式冪級數(shù)環(huán).

引理2.2設(shè)R[[t]]是交換環(huán)R上的形式冪級數(shù)環(huán),則

J(R),ak∈R,k>0}.

命題2.3設(shè)R[[t1,…,tn]]是交換環(huán)R上的形式冪級數(shù)環(huán),g(x)∈C(R)[x],則R是g(x)-J-clean環(huán)當且僅當R[[t1,…,tn]]是g(x)-J-clean環(huán).

證明充分性顯然,下證必要性.由歸納法只需證n=1的情況,記t=t1.設(shè)

因為R是g(x)-J-clean環(huán),可記a0=s+j0,其中j0∈J(R),g(s)=0.所以f=s+j,其中

故R[[x]]是g(x)-J-clean環(huán).

下面考慮環(huán)的平凡擴張.設(shè)R環(huán),RMR是雙模,稱環(huán)R(M)=R⊕M為R關(guān)于M的平凡擴張,其中加法按分量相加,乘法定義為(r1,m1)(r2,m2)=(r1r1,r1m2+m2r1).容易得到

J(R(M))={(j,m)|j∈J(R),m∈M}.

命題2.4設(shè)R是環(huán),RMR是雙模且g(x)∈C(R)[x],則R(M)是g(x)-J-clean環(huán)當且僅當R是g(x)-J-clean環(huán).

證明必要性由R?R(M)/(0⊕M)即得,下證充分性.設(shè)R是g(x)-J-clean環(huán),(r,m)∈R(M),則r=s+j,其中j∈J(R),g(s)=0.從而(r,m)=(s,0)+(j,m),且(j,m)∈J(R(M)),g((s,0))=(0,0).故R(M)是g(x)-J-clean環(huán).

接下來考慮矩陣環(huán).

以下命題的證明與命題2.6類似,在此從略.

命題2.8設(shè)R是環(huán),g(x)∈C(R)[x],則R是g(x)-J-clean環(huán)當且僅當對任何正整數(shù)n,R上的n階上(下)三角矩陣Tn(R)是g(x)-J-clean環(huán).

clean環(huán)R上的全陣環(huán)Mn(R)也是clean環(huán),Yang[5]證明了該結(jié)論對g(x)-clean環(huán)也成立.但J-clean環(huán)上的全陣環(huán)未必是J-clean環(huán).例如Z2是J-clean環(huán),但M2(Z2)不是.

3 (x2+cx+d)-J-clean環(huán)

下面考慮g(x)為二次的情況.Yang[5]證明了下述命題.

命題3.1設(shè)R是環(huán),a,b∈C(R),g(x)∈(x-a)(x-b)C(R)[x],且b-a∈U(R),則:

1)R是clean環(huán)當且僅當R是(x-a)(x-b)-clean環(huán)；

2) 若R是clean環(huán),則R是g(x)-clean環(huán).

注3.2事實上由R是(x-a)(x-b)-clean環(huán),可以得到b-a∈U(R).設(shè)a=s+u,其中u∈U(R)且(s-a)(s-b)=0.因s-a是單位,故s-b=0,即得b-a是單位.

類似地,對于g(x)-J-clean環(huán)也有下述定理.

定理3.3設(shè)R是環(huán),a,b∈C(R),g(x)∈(x-a)(x-b)C(R)[x],則:

1)R是J-clean環(huán)且b-a+1∈J(R)當且僅當R是(x-a)(x-b)-J-clean環(huán)；

2) 若R是J-clean環(huán)且b-a+1∈J(R),則R是g(x)-J-clean環(huán).

證明1) 必要性 設(shè)R是J-clean環(huán),r∈R,由b-a+1∈J(R),得a-b∈U(R).故(r-a)(b-a)-1=e+j,其中j∈J(R),e是冪等元.因此

r=(e(b-a)+a)+j(b-a),

其中j(b-a)∈J(R)且

((e(b-a)+a)-a)((e(b-a)+a)-b)=0,故R是(x-a)(x-b)-J-clean環(huán).

充分性 設(shè)R是(x-a)(x-b)-J-clean環(huán),則a-1=s1+j1,其中j1∈J(R),(s1-a)(s1-b)=0.從而a-s1=1+j1∈U(R),故s1=b,b-a+1∈J(R).對r∈R,有r(b-a)+a=s+j,其中j∈J(R),(s-a)(s-b)=0.由此得到

r=(s-a)(b-a)-1+j(b-a)-1,

其中

j(b-a)-1∈J(R),

((s-a)(b-a)-1)2=(s-a)((s-b)+

(b-a))(b-a)-2=(s-a)(b-a)-1

是冪等元,故R是J-clean環(huán).

2) 由1)即得.

推論3.4設(shè)R是環(huán),n為整數(shù),則以下各條等價:

1)R是J-clean環(huán);

2)R是(x2-x)-J-clean環(huán);

3)R是(x2+x)-J-clean環(huán);

4)R是(x2-2nx)-J-clean環(huán).

證明在定理3.3中,取a=1,b=0和a=0,b=-1,即得1)?2)?3).取a=0,b=1由2)得2∈J(R),從而2n∈J(R).再取a=b+1+2n,得1)?4).

例3.5定理3.3和推論3.4中的等價性對于單個元素一般不成立.例如R=Z3,則1是J-clean元,但不是(x2+x)-clean元,2是(x2+x)-J-clean元,但不是J-clean元.

推論3.6設(shè)R是環(huán),g(x)∈C(R)[x],In=2nR,其中n∈Z.若g-根關(guān)于J(R)可以提升,則R是g(x)-J-clean環(huán)當且僅當R/In是g(x)-J-clean環(huán).

證明由推論3.4知2∈J(R),從而In?J(R),再由命題1.5即得.

4 (xn-x)-J-clean環(huán)

在討論(xn-x)-J-clean環(huán)之前,首先給出(xn-1)-J-clean元素的性質(zhì).

例4.1設(shè)R是環(huán),n為正整數(shù),且

若a0?J(R),則R不是g(x)-J-clean環(huán).事實上,假設(shè)0=s+j,j∈J(R),g(s)=0,則

矛盾.

由上例可知,任何(非零)環(huán)都不是(xn-1)-J-clean環(huán).自然地,引入以下定義:

定義4.2稱環(huán)R為g(x)-J*-clean環(huán),若任何非零元r∈R是g(x)-J-clean元.

引理4.3[13]設(shè)R是環(huán),若對任何a∈R存在正整數(shù)n(a)≥2使得an(a)=a,則任何r∈R的階有限,從而R是交換環(huán).

定理4.4設(shè)R是環(huán),n為正整數(shù).若R是(xn-1)-J*-clean環(huán),則R是有限域,且非零元都是xn-1的根.

證明設(shè)0≠r∈R,且r=s+j,其中j∈J(R),sn=1,則r=s(1+sn-1j)是單位.從而J(R)=0,且rn=1.由引理4.3得R是有限域.

定理4.5設(shè)n為正整數(shù),且n≥2,R是(xn-x)-J-clean環(huán),則下列各條等價:

1) 對任意a∈R,(a+1)R不含有非平凡冪等元;

2) 對任意a∈R,R(a+1)不含有非平凡冪等元;

3)R是有限域且R中非零元都是xn-1-1的根.

證明1)?3) 設(shè)0≠a=s+j,其中j∈J(R),sn=s,于是asn-1=s+jsn-1.所以

(a+1)(1-sn-1)=(j+1)(1-sn-1).

又因為j+1∈U(R),得

e=(j+1)(1-sn-1)(j+1)-1∈(a+1)R,

且e2=e.若1-sn-1≠0,e是非平凡冪等元,矛盾.故R是(xn-1-1)-J*-clean環(huán).

3)?1)顯然.2)?3)類似可證.

記Un(R)為R中可表為不超過n個單位的和的元素的集合.易見0,1∈U2(R).

命題4.6設(shè)R是環(huán),n為正整數(shù)且

其中a0∈U(R).若R是g(x)-J*-clean環(huán),則R=U2(R)

證明設(shè)1≠r∈R,記r-1=s+j,其中j∈J(R),g(s)=0,則s(sn-1+an-1sn-1+…+a1)=-a0∈U(R),故s∈U(R).r=s+(1+j)∈U2(R),即R=U2(R).

命題4.8設(shè)R是環(huán),n為正整數(shù),a,b∈C(R),則R是(ax2n-bx)-J-clean環(huán)當且僅當R是(ax2n+bx)-J-clean環(huán).

證明必要性 設(shè)r∈R,-r=s+j,其中j∈J(R),as2n-bs=0.因此r=(-s)+(-j)且

a(-s)2n+b(-s)=0.

故R是(ax2n+bx)-J-clean環(huán).

充分性證明與必要性證明類似.

回顧文獻[14-15]中稱元素r∈R為弱J-clean元,是指存在j∈J(R)和冪等元e,使得r=e+j或r=-e+j.顯然弱J-clean環(huán)是(x3-x)-J-clean環(huán).反之不一定成立.

例4.9設(shè)R=Z3×Z3,則J(R)=0,且每個元素都是x3-x的根,因此R是(x3-x)-J-clean環(huán)，但(1,2)不是弱J-clean元.

命題4.10設(shè)R是(x3-x)-J-clean環(huán),0≠a∈R.若下述條件之一成立,則a是弱J-clean元:

1) (a+2)R不含x2+2x的非零根;

2)R(a+2)不含x2+2x的非零根;

3)aR不含x2-2x的非零根;

4)Ra不含x2-2x的非零根.

證明設(shè)a=s+j,其中j∈J(R),s3=s.假設(shè)1)成立,因為(a+2)(s-s2)=(j+1)(s-s2),記y=(j+1)(s-s2)(j+1)-1.若s-s2≠0,則y≠0,且y2=(j+1)(s-s2)2(j+1)-1=-2y,矛盾.故s是冪等元.

假設(shè)3)成立,因為a(s+s2)=(j+1)(s+s2),記z=(j+1)(s+s2)(j+1)-1.若s+s2≠0,則z≠0,且z2=(j+1)(s+s2)2(j+1)-1=2z,矛盾.故s是冪等元.

2)和4)的證明分別與1)和3)的證明類似.

注4.11若對任何a∈R,命題4.10中至少有一條成立,則R是弱J-clean環(huán).對于(x3-x)-nil clean環(huán)與弱nil clean環(huán),也有類似的關(guān)系.

為了構(gòu)造不是弱clean的(x3-x)-clean環(huán),需要以下引理.

引理4.12[10]不可分解的弱clean環(huán),或者是局部環(huán),或者有2個極大理想且2是單位.

例4.13設(shè)R=Z(3)∩Z(5)={a/b∈Q|3?b,5?b},則R有2個極大理想3R和5R,且2∈U(R).因此R是弱clean環(huán).取a=(3/8,-3/8),則對任何冪等元e,都有a,a+e和a-e不是單位,從而R×R不是弱clean環(huán).容易得到R×R是(x3-x)-clean環(huán).

下述命題的證明與命題4.10類似,在此從略.

命題4.14設(shè)R是(x3-x)-clean環(huán),0≠a∈R.如果滿足下述條件之一,則a是弱clean元:

1) (a-1)R不含x2-2x的非零根;

2)R(a-1)不含x2-2x的非零根;

3) (a+1)R不含x2+2x的非零根;

4)R(a+1)不含x2+2x的非零根.

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