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包含Chebyshev多項(xiàng)式的r-循環(huán)矩陣的譜范數(shù)

2018-07-04 11:53師白娟
關(guān)鍵詞:范數(shù)線性證明

師白娟

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意n≥0,著名的第一、二類切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)和Un(x)的定義如下:

顯然Tn(x)和Un(x)是二階線性遞推多項(xiàng)式,并且滿足遞推公式:

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n≥1,

T0(x)=1,T1(x)=x,

T2(x)=2x2-1,T3(x)=4x3-3x;

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x),n≥1,

U0(x)=1,U1(x)=2x,

U2(x)=4x2-1,U3(x)=8x3-4x.

{Tn(x)}和{Un(x)}的通項(xiàng)公式為:

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),研究包含第一類Chebyshev多項(xiàng)式和第二類Chebyshev多項(xiàng)式的r-循環(huán)矩陣的譜范數(shù)和Euclidean范數(shù).

定義1.1矩陣A=(aij)∈Mm×n的歐幾里得范數(shù)與譜范數(shù)定義為:

其中,λi是矩陣AHA的特征值,矩陣AH是矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

下面有關(guān)矩陣A的歐幾里得范數(shù)與譜范數(shù)的不等式成立[6]:

(1)

(2)

引理1.1[7]設(shè)矩陣A和B是2個(gè)m×n矩陣,那么

‖A°B‖2≤‖A‖2‖B‖2,

其中A°B是A和B的Hadamard積.

引理1.2[7]設(shè)A和B是2個(gè)m×n矩陣,那么

‖A°B‖2≤r1(A)c1(B),

其中

引理1.3當(dāng)1-x2≠0時(shí),

證明

2 主要結(jié)論

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖An‖2是矩陣An的譜范數(shù),其中

證明

由譜范數(shù)定義可得

(i) 當(dāng)|r|≥1,由引理1.3有

n+n(K1-1)=nK1.

因此

另一方面,設(shè)矩陣B和C為:

則An=B°C有

因此

(ii) 當(dāng)|r|<1時(shí),

‖An‖E=

因此

另一方面,對(duì)矩陣B和C有

因此

綜上

推論2.1設(shè)D=LDr(Tn-1(x),Tn-2(x),Tn-3(x),…,T1(x),T0(x))是r-左循環(huán)矩陣,則有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖Dn‖2是矩陣Dn的譜范數(shù),其中

證明方法與上面相同,并有相同結(jié)果.

定理2.2設(shè)n×n矩陣

Circr(U0(x),U1(x),…,Un-1(x))∈Mn

是r-循環(huán)矩陣,則有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖On‖2是矩陣On的譜范數(shù),其中

證明

由譜范數(shù)定義可得

(i) 當(dāng)|r|≥1,由引理1.3有

因此

另一方面,設(shè)矩陣P和Q分別為:

則On=P°Q,

因此

(ii) 當(dāng)|r|<1時(shí),

n+n|r|2(K2-1).

因此

另一方面,對(duì)矩陣P和Q有

因此

推論2.2設(shè)E=LEr(Un-1(x),Un-2(x),…,U1(x),U0(x))是r-左循環(huán)矩陣,則有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖En‖2是矩陣En的譜范數(shù),其中

證明方法與定理2.2證明相同,結(jié)果相同.

因此證明了所有的結(jié)論,當(dāng)r=1時(shí),可以得到Chebyshev多項(xiàng)式的關(guān)于循環(huán)矩陣的譜范數(shù)的上下界估計(jì).同樣的方法適用于所有的線性遞推數(shù)列或多項(xiàng)式.

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