張宏偉

[摘要]在明晰“歷史文化全景”的必要性和內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，以翔實(shí)的教學(xué)案例，探究如何從縱、橫、越三個(gè)維度彰顯數(shù)學(xué)歷史和文化，旨在構(gòu)建、實(shí)施歷史和文化課程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積淀更為豐富、更為厚重的文化底蘊(yùn)，獲得更為充分的情感體驗(yàn)，成為全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)世界和認(rèn)識(shí)自己的人，即用全景式的數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)全面發(fā)展的人。

[關(guān)鍵詞]全景式教育；數(shù)學(xué)歷史；數(shù)學(xué)文化；課程；重建

[中圖分類號(hào)]G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]10079068（2018）18000105

一、綜述

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的歷史，不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想方法的演變和發(fā)展過(guò)程，而且探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類文明所帶來(lái)的影響。它研究的對(duì)象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史、哲學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)文化從廣義上講，研究的內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言以及它們的形成和發(fā)展過(guò)程，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。

與小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史和文化，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中具有獨(dú)特的、重要的課程價(jià)值。在當(dāng)前的信息化時(shí)代，我們可以輕而易舉地檢索、收集到很多數(shù)學(xué)歷史和文化相關(guān)的資料，但是這些現(xiàn)成的資料并不等于課程。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)還沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)歷史與文化進(jìn)行系統(tǒng)、科學(xué)的梳理，更沒(méi)有構(gòu)建成融合數(shù)學(xué)歷史和文化內(nèi)容的小學(xué)數(shù)學(xué)課程。

全景式數(shù)學(xué)教育認(rèn)為：“就像不能脫離中國(guó)的歷史和文化學(xué)習(xí)漢語(yǔ)一樣，也不可能脫離數(shù)學(xué)歷史和文化去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。如果把某一數(shù)學(xué)知識(shí)比喻成一棵樹(shù)的話，那么數(shù)學(xué)歷史和文化就是養(yǎng)育它的土壤、水、空氣與陽(yáng)光?！比笆綌?shù)學(xué)教育一直致力于把數(shù)學(xué)知識(shí)還原到數(shù)學(xué)歷史和文化之中進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究，著力構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)歷史與文化和諧統(tǒng)一、全景、完整的數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)。

那么，如何從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的角度，搜索、篩選出學(xué)生成長(zhǎng)所必需而又可學(xué)、能學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容呢？如何將這些數(shù)學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化編排、構(gòu)建成適合學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程？如何系統(tǒng)地引導(dǎo)和組織學(xué)生自主、完整地研究這些課程……多年來(lái)，我一直在思考這些問(wèn)題，并帶領(lǐng)全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)在課程建設(shè)和教學(xué)中進(jìn)行系統(tǒng)的嘗試與實(shí)踐，積累了一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，此文便是我們的思考和實(shí)踐的總結(jié)。

二、緣起——從一節(jié)跨年級(jí)的公開(kāi)課談起

2003年，我在山東濟(jì)寧喬羽學(xué)校任教，該校是九年一貫制學(xué)校。我在小學(xué)低年級(jí)、高年級(jí)和八年級(jí)都曾經(jīng)嘗試上同樣的一節(jié)數(shù)學(xué)課——“數(shù)學(xué)符號(hào)的秘密”，本節(jié)課有以下教學(xué)目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)一些符號(hào)，乃至對(duì)任何事物進(jìn)行追根溯源，都是深刻理解和認(rèn)識(shí)這些符號(hào)或事物的重要途徑；二是改變和增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到日常生活中司空見(jiàn)慣的、通常認(rèn)為已經(jīng)沒(méi)有問(wèn)題的地方往往隱藏著更深刻、更重要、更有價(jià)值的問(wèn)題；三是引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)歷史和文化的興趣，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)歷史和文化的潤(rùn)澤。當(dāng)然，同一課程，面對(duì)不同學(xué)段的學(xué)生，其教學(xué)目標(biāo)、難易程度以及教學(xué)容量等都是有所不同的。

課堂教學(xué)：

（課始呈現(xiàn)下面常用的數(shù)學(xué)符號(hào)）

+ - ÷ ： = ≈ <> % ∏ （ ） ㎎ ㎏ T ㎜ ㎝ m ㎞ ㎡ ∥1 2 3 4 5 6 7 8 9 0……

⌒ ± ∑ ≤ ≥ ㏒ ∈ ∞ ∝ ∪ ∩ ∽ ≌ ∴ ∵ sin cos tin ≠ △ ⊥ || ……

當(dāng)然，面對(duì)小學(xué)生和初中生，我呈現(xiàn)的符號(hào)是不一樣的。面對(duì)小學(xué)生，我只呈現(xiàn)第一段中的符號(hào)，面對(duì)初中生則全部呈現(xiàn)上述符號(hào)。但是，接下來(lái)的活動(dòng)都是一樣的，即要求學(xué)生“挑選出你認(rèn)為已經(jīng)了解得非常清楚，感覺(jué)已經(jīng)沒(méi)有任何問(wèn)題的符號(hào)”。無(wú)論是小學(xué)低年級(jí)學(xué)生、高年級(jí)學(xué)生，還是初中生，他們最先挑選出來(lái)的幾個(gè)符號(hào)竟然出奇的一致，都是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，理由很簡(jiǎn)單，因?yàn)楦改笍男【烷_(kāi)始教他們識(shí)數(shù)了，而且有的學(xué)生還認(rèn)為自己已經(jīng)了解了阿拉伯?dāng)?shù)字的“前世今生”（始于印度，通過(guò)阿拉伯流傳到中國(guó)）。

于是，我激勵(lì)和點(diǎn)撥學(xué)生：“你認(rèn)為最沒(méi)有問(wèn)題的事物，往往存在著更大、更難、更重要、更需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題?！薄霸诖蠹叶颊J(rèn)為沒(méi)有問(wèn)題的地方發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，才是最牛的事情。”“在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中，還有重大的問(wèn)題你們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)！”這時(shí)學(xué)生個(gè)個(gè)滿臉疑惑，因?yàn)樗麄儾徽J(rèn)為這些數(shù)字有問(wèn)題，反倒認(rèn)為“老師的腦袋出了問(wèn)題”。我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“人類為什么用2這樣一個(gè)字符表示兩個(gè)數(shù)量？用這個(gè)字符表示3個(gè)物體可以嗎？這是沒(méi)有理由的硬性規(guī)定，還是始于無(wú)意的約定俗成？這些數(shù)字之所以這樣寫(xiě)，最初的構(gòu)造邏輯到底是什么……”這些問(wèn)題，很多教師可能也沒(méi)有思考和追問(wèn)過(guò)，但讓我倍感意外的是，很多學(xué)生竟紛紛表示自己知道數(shù)字的“前世今生”。如有學(xué)生說(shuō)：“數(shù)字0的產(chǎn)生源于原始人的狩獵活動(dòng)?！惫湃瞬蹲降将C物后都是把它們放在一個(gè)圈里，當(dāng)圈里有三只獵物時(shí)，就用數(shù)字3表示；當(dāng)圈里有兩只獵物時(shí)，就用數(shù)字2表示；當(dāng)圈里有一只獵物時(shí)，就用數(shù)字1表示；當(dāng)圈里一個(gè)獵物都沒(méi)有時(shí)，就只剩下一個(gè)空空的圈了，于是就畫(huà)一個(gè)這樣空空的圈，也就是0來(lái)表示?！睂W(xué)生的回答讓我想起了自己曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)的一節(jié)課——“0的認(rèn)識(shí)”，在這節(jié)課上，執(zhí)教教師所展示的0的由來(lái)與學(xué)生的解釋一模一樣，但數(shù)字1的構(gòu)造邏輯真的是這樣嗎？

我的聯(lián)想和反思：

孩子們對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)字的由來(lái)是這樣認(rèn)識(shí)的，那我們成人呢？特別是數(shù)學(xué)任課教師，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)是怎樣的呢？我開(kāi)始進(jìn)行訪問(wèn)和調(diào)查（2004年），調(diào)查的問(wèn)題只有兩個(gè)：一是西方人習(xí)慣把7寫(xiě)成7-，知道為什么嗎？人類最初為什么用0這個(gè)符號(hào)表示一個(gè)物體也沒(méi)有？調(diào)查結(jié)果顯示，關(guān)于7-，成人主要有以下三種觀點(diǎn)：（1）認(rèn)為是規(guī)定和習(xí)慣；（2）認(rèn)為是為了防止對(duì)這個(gè)數(shù)字進(jìn)行修改；（3）認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有多大意義，沒(méi)必要自找麻煩。

關(guān)于0，成人也有以下三種觀點(diǎn)：（1）認(rèn)為0的寫(xiě)法源于人們以前用空格的習(xí)慣，即空的地方用筆隨手一圈比較方便，于是就有了0的寫(xiě)法；（2）與學(xué)生對(duì)0的解釋一樣，認(rèn)為應(yīng)用空無(wú)一物的獵物圈表示；（3）認(rèn)為就是一個(gè)符號(hào)而已，追問(wèn)這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有意義。

其實(shí)，阿拉伯?dāng)?shù)字的構(gòu)造邏輯如下。

最初看到這段視頻是2003年，當(dāng)時(shí)該視頻讓我非常震撼、感慨萬(wàn)千：我竟然直到33歲才明白阿拉伯?dāng)?shù)字為什么這樣寫(xiě)！才明白原來(lái)數(shù)字自誕生的那一天起，就是數(shù)與形的完美統(tǒng)一！才明白西方人寫(xiě)的7-，最后那一筆竟然記載著這個(gè)數(shù)字誕生的歷史軌跡，它彰顯的是對(duì)數(shù)學(xué)歷史和文化的尊重與傳承。當(dāng)我把這段視頻分享給家長(zhǎng)和其他教師時(shí)，大家都感嘆道：“我和這10個(gè)數(shù)字打了一輩子交道，直到現(xiàn)在才明白為什么這樣寫(xiě)！”由此，我認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的每一個(gè)概念、每一個(gè)命題、每一個(gè)圖形、每一個(gè)符號(hào)都是人類智慧的結(jié)晶，都蘊(yùn)含著極其豐富的文化內(nèi)涵。于是，我對(duì)數(shù)學(xué)的每一個(gè)符號(hào)開(kāi)始充滿敬畏，同時(shí)也警覺(jué)到：“我們對(duì)數(shù)學(xué)歷史和文化的了解、學(xué)習(xí)與研究是不是存在‘營(yíng)養(yǎng)不良的現(xiàn)象？”

緊接著，我又對(duì)數(shù)學(xué)的其他符號(hào)、概念、法則、規(guī)律等進(jìn)行同樣的調(diào)查和訪問(wèn)。如：“㎞、dm、㎝、㎜、㎡、m3的構(gòu)造邏輯是什么？”“一天為什么要規(guī)定為24小時(shí)？”“為什么三角形不叫三邊形，四邊形不叫四角形，而長(zhǎng)方形為什么叫長(zhǎng)方形，正方形為什么叫正方形？”“為什么先乘除后加減？”……通過(guò)調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)讓人擔(dān)憂的現(xiàn)象：很多學(xué)生甚至很多數(shù)學(xué)教師，并不了解我們生活中時(shí)時(shí)使用的數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)概念的由來(lái)，不了解它的真正歷史和其蘊(yùn)含的文化。如“長(zhǎng)方形為什么叫長(zhǎng)方形，正方形為什么叫正方形”的問(wèn)題，我們班共有30位學(xué)生，卻有22位學(xué)生都在單元猜想中提出想了解長(zhǎng)方形和正方形名字由來(lái)的要求。我上網(wǎng)沒(méi)有查找到答案，于是咨詢了很多教師和數(shù)學(xué)教授，他們竟然也不能說(shuō)出長(zhǎng)方形和正方形名字的由來(lái)，更有甚者，他們所“明白”的竟然是沒(méi)有求證過(guò)的、想當(dāng)然的臆想或來(lái)自于以訛傳訛的“數(shù)學(xué)野史”。

我們的師生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？問(wèn)題出在哪里？我認(rèn)為，是我們的課程資源、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過(guò)程都存在相應(yīng)的不足與問(wèn)題。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程、教學(xué)現(xiàn)狀與課程研發(fā)價(jià)值

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程、教學(xué)現(xiàn)狀

第一，現(xiàn)行的很多數(shù)學(xué)教材都以知識(shí)窗的方式，碎片化、背景式地給學(xué)生呈現(xiàn)一些數(shù)學(xué)歷史和文化，編輯的內(nèi)容也相對(duì)隨意，既少又零散，對(duì)學(xué)生文化滋養(yǎng)的厚度、廣度不夠，有的甚至缺失。

第二，數(shù)學(xué)歷史和文化的編排與學(xué)習(xí)目標(biāo)存在不明確、不完整、不重視的現(xiàn)象。教材對(duì)數(shù)學(xué)歷史和文化的編排與學(xué)習(xí)目標(biāo)主要局限于知識(shí)的了解，既沒(méi)有安排相應(yīng)的常規(guī)課時(shí)，又不納入教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)范圍，屬于“正餐”之外偶爾添加的一點(diǎn)“零食”。

第三，數(shù)學(xué)歷史和文化教學(xué)到何種程度完全依賴于教師與學(xué)生的自覺(jué)。雖然有些教師能自覺(jué)搜集、整理數(shù)學(xué)歷史和文化，并將部分內(nèi)容轉(zhuǎn)化為課程，但往往不系統(tǒng)、不完整，有的可能根本不是歷史和文化的源本狀態(tài)，甚至出現(xiàn)知識(shí)性的錯(cuò)誤。

第四，注重縱向的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程，較少編排橫向的數(shù)學(xué)歷史和文化的介紹與對(duì)比。

第五，數(shù)學(xué)歷史和文化的課程價(jià)值沒(méi)有得到充分的重視與開(kāi)發(fā)。

第六，存在脫離數(shù)學(xué)歷史和文化教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)象，不能對(duì)數(shù)學(xué)概念、名詞追根溯源，導(dǎo)致很多數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)生雖知其然，卻不知其所以然。

（二）重新審視構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程的意義與價(jià)值

除了拓展學(xué)生的知識(shí)視野外，數(shù)學(xué)歷史和文化還有以下幾個(gè)方面更為重要的課程價(jià)值。

第一，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，明確數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部之間的聯(lián)系?！皵?shù)學(xué)源于生活，用于生活”，所以學(xué)生要了解其產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，必然需要了解每一階段引發(fā)數(shù)學(xué)變化的內(nèi)因和外因，這樣可使學(xué)生從中感悟知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，明晰數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及社會(huì)現(xiàn)象之間的聯(lián)系，進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。

第二，引導(dǎo)學(xué)生以發(fā)展、變化、辯證的眼光看數(shù)學(xué)。學(xué)生長(zhǎng)期進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歷史和文化的學(xué)習(xí)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中各個(gè)階段不同的形態(tài)，逐步形成以變化、生長(zhǎng)、思辨的眼光看待數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，甚至感悟到“現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識(shí)也很可能不是固定的”，促使學(xué)生不斷深入探究數(shù)學(xué)。

第三，預(yù)見(jiàn)、理解和悅納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的障礙。數(shù)學(xué)歷史和文化的學(xué)習(xí)，讓師生均能在知識(shí)逐漸進(jìn)階、升級(jí)、簡(jiǎn)化、優(yōu)化的過(guò)程中，預(yù)見(jiàn)、理解、悅納出現(xiàn)的障礙，客觀、辯證地認(rèn)識(shí)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并能從源頭找到自己出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙的原因和突破學(xué)習(xí)障礙的方法，認(rèn)識(shí)到這些障礙的突破是人類探索數(shù)學(xué)必然經(jīng)歷的過(guò)程。

第四，對(duì)數(shù)學(xué)歷史和文化的了解、學(xué)習(xí)與研究，是實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科整合的一個(gè)極其重要的路徑。

第五，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史和文化能開(kāi)闊學(xué)生的眼界與視野，豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)為完整發(fā)展的人。學(xué)生在數(shù)學(xué)歷史和文化的研究中無(wú)疑能得到更多的文化浸潤(rùn)，更有利于他們立體和完整地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)歷史、認(rèn)識(shí)萬(wàn)物、認(rèn)識(shí)自己所處的世界，繼而促進(jìn)學(xué)生完整地認(rèn)識(shí)自己，成長(zhǎng)為完整發(fā)展的人。

第六，找到更適合學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)水平的學(xué)習(xí)路徑和方式。人類研究數(shù)學(xué)的進(jìn)階程度與人腦的進(jìn)化、人類對(duì)自然和社會(huì)的整體認(rèn)識(shí)水平是相匹配的，在這個(gè)不斷進(jìn)階的數(shù)學(xué)研究歷史中，總會(huì)存在“這樣一個(gè)階段”：那個(gè)階段的人研究數(shù)學(xué)的心智水平，與當(dāng)下正在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的小學(xué)生的心智水平相匹配。那么，這個(gè)階段人類研究數(shù)學(xué)的路徑和方式，也就很可能是學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)下數(shù)學(xué)內(nèi)容最合適的路徑和方式。

第七，改變和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)更深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。數(shù)學(xué)歷史和文化中有很多內(nèi)容是直接記載表現(xiàn)數(shù)學(xué)與眾不同的形式美、簡(jiǎn)潔美、奇異美、理性美，很多內(nèi)容超出學(xué)生的生活常識(shí)，富有獨(dú)特的思維挑戰(zhàn)性，能滿足學(xué)生的好奇心。同時(shí)，很多數(shù)學(xué)歷史和文化的內(nèi)容浸入藝術(shù)、體育等學(xué)科之中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在這些學(xué)科上的價(jià)值，促使學(xué)生更喜歡上數(shù)學(xué)、熱愛(ài)上數(shù)學(xué)。另外，數(shù)學(xué)歷史和文化的內(nèi)容還涉及社會(huì)、生活、人物、歷史史實(shí)等領(lǐng)域的各個(gè)方面，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)生動(dòng)活潑的一面，使學(xué)生多維度地看待數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，豐富和完善自己的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。

第八，數(shù)學(xué)歷史和文化課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有極其重要的價(jià)值。完整、簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)文化史本身就是數(shù)學(xué)思考的過(guò)程、數(shù)學(xué)研究的過(guò)程、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新有著極其重要的促進(jìn)作用。

第九，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神。數(shù)學(xué)歷史和文化完整地呈現(xiàn)了人類認(rèn)識(shí)從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從煩瑣到簡(jiǎn)約、從模糊到精確、從感性到理性的發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)和感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣向與追求——客觀、精確、理性的精神內(nèi)核，并逐漸形成自己做人、做事的態(tài)度。

于是，我開(kāi)始陪著學(xué)生一起去研究和追溯數(shù)學(xué)符號(hào)的來(lái)源、相關(guān)文化的淵源，開(kāi)始對(duì)不知道的數(shù)學(xué)概念的歷史和文化進(jìn)行糾正、完善。在和學(xué)生一起不斷探究中，我的教育教學(xué)思想也逐漸明晰，產(chǎn)生了放大知識(shí)研究過(guò)程的構(gòu)想，開(kāi)始系統(tǒng)地梳理與編輯相應(yīng)的數(shù)學(xué)歷史和文化內(nèi)容，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，確立了“歷史文化課程的全景建設(shè)”的基本主張。它旨在讓學(xué)生經(jīng)歷更多數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程的同時(shí)，嘗試把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行還原，穿越古今，跨越領(lǐng)域，追根溯源，相對(duì)完整地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、衍化和發(fā)展的過(guò)程。同時(shí)，我嘗試構(gòu)建完整而又簡(jiǎn)約的全景式數(shù)學(xué)歷史和文化課程，讓學(xué)生全面、完整地了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的文化背景，多維度地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、刻畫(huà)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解更立體、更豐富、更深刻，從而獲得更為充分的情感體驗(yàn)，積淀更為厚重的文化底蘊(yùn)與人文精神。

四、課程檢索和編輯的三個(gè)維度

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)，首先研究的是課程內(nèi)容的搜索、確定和編輯，主要從縱、橫、越三個(gè)維度進(jìn)行建設(shè)。

（一）縱

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)中的縱，是指數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)和鼓勵(lì)師生對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)與每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都刨根問(wèn)底、追根溯源，嘗試從它的歷史源頭開(kāi)始研究，了解其產(chǎn)生、形成、發(fā)展的縱向變遷的全部過(guò)程。

案例：“全課程”數(shù)學(xué)讀本第一冊(cè)（數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)課程）

2013年，我主編“全課程”數(shù)學(xué)讀本第一冊(cè)（2014～2015年度第一學(xué)期使用），在編寫(xiě)“認(rèn)識(shí)1～5”的內(nèi)容時(shí)，設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)活動(dòng)：一是在新學(xué)習(xí)階段，先讓學(xué)生用數(shù)手指的方式對(duì)同樣數(shù)量的不同物體進(jìn)行計(jì)數(shù)，再擺棋子，然后過(guò)渡到自創(chuàng)符號(hào)表示數(shù)，最后抽象出數(shù)；二是進(jìn)行識(shí)數(shù)活動(dòng)“讓我來(lái)”（如下）。

學(xué)生完成上述兩個(gè)活動(dòng)，其實(shí)就相當(dāng)于簡(jiǎn)約地經(jīng)歷了人類計(jì)數(shù)衍化、發(fā)展的歷史過(guò)程，了解了數(shù)字基于使用、方便、簡(jiǎn)潔的需要?jiǎng)?chuàng)造的動(dòng)因、方法和過(guò)程：身體計(jì)數(shù)→以石計(jì)數(shù)→結(jié)繩計(jì)數(shù)→刻痕畫(huà)圈代替→各種符號(hào)計(jì)數(shù)。然后我出示下圖，讓學(xué)生觀察和思考：“每個(gè)國(guó)家（地區(qū)）都各自用不同的符號(hào)來(lái)表示數(shù)字1，為什么唯有阿拉伯?dāng)?shù)字的1成為全世界通用的數(shù)字？”通過(guò)問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解人類對(duì)符號(hào)的進(jìn)一步精簡(jiǎn)，并最終約定使用一種統(tǒng)一性的符號(hào)（阿拉伯?dāng)?shù)字）。接著，我讓學(xué)生觀看阿拉伯?dāng)?shù)字由來(lái)的視頻，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步了解阿拉伯?dāng)?shù)字的構(gòu)造邏輯，感悟其內(nèi)在本質(zhì)，體驗(yàn)人類的思維、創(chuàng)造之美。最后，在學(xué)習(xí)0～10后，我又安排了以下兩個(gè)活動(dòng)：一是閱讀課外繪本，了解完整的數(shù)數(shù)過(guò)程；二是和戲劇進(jìn)行整合，讓學(xué)生排演《數(shù)的產(chǎn)生》大型戲劇。這樣就使學(xué)生對(duì)人類抽象、創(chuàng)造、改進(jìn)10個(gè)數(shù)字的過(guò)程有了一個(gè)全景、完整的了解，激活和發(fā)展了學(xué)生的思維。

這樣的經(jīng)歷多了，學(xué)生自然會(huì)慢慢感悟到每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都能從不同的角度，用不同的方式進(jìn)行刻畫(huà)、建模和表達(dá)，使學(xué)生的理解更為充分、深刻。更重要的是，學(xué)生還能從中積累發(fā)現(xiàn)、思考和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的間接經(jīng)驗(yàn)及策略，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（二）橫

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)中的橫，指了解和研究某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)在同一時(shí)期、不同地域的情況。通過(guò)對(duì)不同地域數(shù)學(xué)的創(chuàng)造進(jìn)行對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，獲得不同地區(qū)數(shù)學(xué)歷史和文化的潤(rùn)澤。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是人類語(yǔ)言的重要組成部分。同理，數(shù)學(xué)中的名詞、符號(hào)（概念）和固定的語(yǔ)句（命題等）也是數(shù)學(xué)文化意識(shí)的結(jié)晶，是人類對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感知、抽象和概括。而且，數(shù)學(xué)名詞、符號(hào)和固定語(yǔ)句蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)本身，是研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它們的內(nèi)涵和外延又決定了這個(gè)概念（命題）構(gòu)造的方式、構(gòu)造的單位（字）和構(gòu)造的邏輯本身。另外，同樣的數(shù)學(xué)名詞、符號(hào)和固定語(yǔ)句，東西方使用了不同的字和詞，按照不同的邏輯去構(gòu)造，這其中也必然凝聚著東西方各自的不同文化。

不止于此，由于東西方字、詞的寫(xiě)法蘊(yùn)含著不同的構(gòu)造邏輯與文化背景，所以我在教學(xué)中有計(jì)劃、系統(tǒng)地針對(duì)不同的內(nèi)容呈現(xiàn)不同地域（國(guó)家）、不同民族（人種）創(chuàng)造的不同表達(dá)數(shù)量的方式——不同符號(hào)（數(shù)字、圖形等），先讓學(xué)生猜測(cè)這樣構(gòu)造的想法，再加深學(xué)生對(duì)概念理解、認(rèn)識(shí)和背后文化的感悟。因此，對(duì)東西方表達(dá)數(shù)學(xué)概念的詞匯的由來(lái)追根溯源和對(duì)比，是了解東西方不同數(shù)學(xué)文化不可或缺的方法和路徑。

1.圖形與幾何課程案例——概念構(gòu)造和界定的橫向?qū)Ρ?/p>

2015年12月，我的品牌周，第三節(jié)公開(kāi)課是教學(xué)“周長(zhǎng)”，第一個(gè)環(huán)節(jié)，我和學(xué)生從研究英文單詞perimeter的構(gòu)造邏輯開(kāi)始。我先讓學(xué)生猜測(cè)和搜索英文單詞meter的意思（測(cè)量、米數(shù)），再查找單詞前綴peri的意思（環(huán)繞、周?chē)?，然后把前綴peri-和單詞meter結(jié)合，構(gòu)成了一個(gè)新的單詞——perimeter，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)它表達(dá)的意思，全體學(xué)生看后脫口而出“環(huán)繞周?chē)鷾y(cè)量米數(shù)”。接著，我追問(wèn)英文單詞perimeter翻譯成中文應(yīng)該是哪個(gè)詞（概念），學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上能馬上說(shuō)出“周長(zhǎng)”。

第二個(gè)環(huán)節(jié)，我和學(xué)生一起猜測(cè)中國(guó)定義“周長(zhǎng)”的邏輯。先猜測(cè)“周”的含義，學(xué)生的回答為“周?chē)?、一周、四周”；再猜測(cè)“長(zhǎng)”的含義，學(xué)生立即猜到“長(zhǎng)度”，這樣組合起來(lái)的“周長(zhǎng)”就是指“周?chē)恢艿拈L(zhǎng)度”。這樣教學(xué)，通過(guò)對(duì)東西方兩個(gè)詞匯構(gòu)造邏輯的探尋和追溯，實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”這個(gè)概念的初步理解和認(rèn)識(shí)。

第三個(gè)環(huán)節(jié)，我引導(dǎo)學(xué)生把英文單詞perimeter表達(dá)的意思和中文“周長(zhǎng)”表達(dá)的意思進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生立刻認(rèn)識(shí)到環(huán)繞周?chē)鷾y(cè)量的米數(shù)就是周?chē)恢艿拈L(zhǎng)度，感悟到東西方雖然語(yǔ)言和地域不同，但是對(duì)事物的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)竟然是那么出奇的一致。我接著出示“數(shù)學(xué)是人類共同的語(yǔ)言”，學(xué)生馬上從心底認(rèn)同這一說(shuō)法。

這個(gè)課程的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從東西方不同的文化中全景地看待和理解“周長(zhǎng)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)。

2.數(shù)與代數(shù)課程案例

如“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，我與學(xué)生一起完成分?jǐn)?shù)寫(xiě)法和讀法的橫向?qū)Ρ扰c研究。

活動(dòng)（1）：學(xué)生通過(guò)上網(wǎng)、查資料、咨詢等途徑進(jìn)行自主研究。

活動(dòng)（2）：共同交流分?jǐn)?shù)寫(xiě)法之“橫”。

我把學(xué)生調(diào)查到的各國(guó)不同的分?jǐn)?shù)寫(xiě)法進(jìn)行甄別、篩選和匯總，并通過(guò)多媒體呈現(xiàn)出來(lái)，然后引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)古代各地使用這種方式表示分?jǐn)?shù)的想法。這樣教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行初步的猜測(cè)、理解和感悟，同時(shí)也是對(duì)不同地域文化認(rèn)識(shí)的點(diǎn)滴積累。

活動(dòng)（3）：交流和研究分?jǐn)?shù)讀法之“橫”。

以分?jǐn)?shù)3/4為例，中文讀“四分之三”，日本讀“四分の三”，英文讀“3 over 4 ”。通過(guò)對(duì)比，學(xué)生立刻就能意識(shí)到日本對(duì)分?jǐn)?shù)的讀法源自中國(guó)。接下來(lái)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、猜想、搜索中英文對(duì)分?jǐn)?shù)讀法的含義和內(nèi)在的邏輯。中文對(duì)分?jǐn)?shù)3/4的讀法為“四分之三”，其語(yǔ)句由“四分”“之”和“三”這三部分構(gòu)成，我讓學(xué)生感悟其構(gòu)造邏輯的過(guò)程如下：①先猜測(cè)“四分”的含義——分（平均）成4份。②再猜測(cè)“之”的含義，學(xué)生的理解為“其中”“的”“拿”等。在學(xué)生充分猜想的基礎(chǔ)，我現(xiàn)場(chǎng)上網(wǎng)用漢典查找“之”的含義，使學(xué)生了解到“之”是會(huì)意字：之，出也，象艸過(guò)屮，枝莖益大，有所之。因此，這里的“之”是從“四份”中衍生出來(lái)的，取“出來(lái)”之意。③猜測(cè)“三”的含義，就是其中的3份。④最后，讓學(xué)生綜合起來(lái)猜測(cè)“四分之三”的意思，幾乎所有的學(xué)生都能明白是“平均分成4份后取出其中3份”的意思。

學(xué)生課后和家長(zhǎng)一起調(diào)查，回到課上與同學(xué)交流和分享，又弄明白了英文對(duì)分?jǐn)?shù)讀法的構(gòu)造邏輯和含義。分?jǐn)?shù)3/4，英文讀法為“3 over 4 ”，也是由三部分構(gòu)成，其中over的含義有兩種：一是“在……上面”；二是數(shù)學(xué)中的“除以”。因此，分?jǐn)?shù)3/4，英文讀法的構(gòu)造邏輯是兩種會(huì)意的統(tǒng)一：一是3寫(xiě)在4的上面；二是表示3除以4。這是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的源頭和動(dòng)因，即在整數(shù)除法中，兩個(gè)數(shù)相除，有時(shí)不能得到整數(shù)商，為了使除法運(yùn)算可以進(jìn)行，需要引進(jìn)一種新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。

中英文對(duì)分?jǐn)?shù)的讀法分別從“實(shí)際度量與均分”和“計(jì)算封閉的需要”兩個(gè)角度解釋了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的根源，并互為補(bǔ)充，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，完善了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。如果長(zhǎng)期堅(jiān)持追溯數(shù)學(xué)詞匯、符號(hào)、固定語(yǔ)句由來(lái)的研究，學(xué)生不僅會(huì)從一個(gè)新的視角和渠道加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的理解，還會(huì)從東西方的概念構(gòu)造邏輯中感悟到構(gòu)造概念、創(chuàng)造概念的一般方式和方法，感受到東西方文化的不同和統(tǒng)一，豐富了學(xué)生的文化積淀。

（三）越

這里的越，是指發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越課本數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容（包括與課本數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的社會(huì)文化背景，以及與其有關(guān)的歷史故事和數(shù)學(xué)家的故事等），及人文精神、思想意識(shí)和思維方式等。

1.發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越課本數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容

在數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)中，我會(huì)適時(shí)、適量地引入一些超越課本的數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至超越數(shù)學(xué)本身的歷史和文化內(nèi)容。如教學(xué)圓錐的內(nèi)容時(shí)，我把學(xué)生帶到沙道上，研究自然形成的圓錐形沙堆的母線與地面的夾角，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有自然形成的圓錐形沙堆、土球的共同規(guī)律——母線與地面的夾角為51度左右。然后我讓學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)漫畫(huà)中關(guān)于埃及金字塔的介紹，感受古代埃及人的智慧和文明。

2.發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越數(shù)學(xué)知識(shí)本身的人文精神、思想意識(shí)和思維方式等

課程案例：長(zhǎng)方形和正方形

長(zhǎng)方形和正方形中“正與方”的屬性，以及作圖和測(cè)量的工具“矩”，關(guān)系著人成長(zhǎng)所必需的品格和傳統(tǒng)的道德文化。三年級(jí)學(xué)生是規(guī)則意識(shí)深度建立的重要階段，正是基于這種思考，思想品德和社會(huì)課專門(mén)設(shè)置了養(yǎng)成課程。如人教版思想品德和社會(huì)教材專門(mén)設(shè)計(jì)《我和規(guī)則交朋友》（含自己制定規(guī)則）這個(gè)學(xué)習(xí)單元，幫助三年級(jí)學(xué)生建立規(guī)則意識(shí)，這不僅僅是思想品德和社會(huì)課教學(xué)的任務(wù)，而且是所有學(xué)科教師都要自覺(jué)實(shí)現(xiàn)的重要的公共教育目標(biāo)。為此，我特意和身兼班主任、語(yǔ)文學(xué)科教學(xué)的教師設(shè)計(jì)了一節(jié)超越數(shù)學(xué)本身的“圖形中的文化課”。課也是從萬(wàn)物有形開(kāi)啟，從象形字開(kāi)始。課上我先讓學(xué)生展示自己搜索和研究的成果，如與矩、方形有關(guān)的成語(yǔ)、名言、典故等，然后出示奧巴馬最喜歡的、掛在白宮里的唯一的一幅名畫(huà)，與學(xué)生一起討論奧巴馬珍視這幅畫(huà)的原因，引導(dǎo)學(xué)生和日常行為規(guī)范進(jìn)行聯(lián)系，對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化滲透和品格培養(yǎng)。

又如，教學(xué)質(zhì)量單位時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生了解桿秤上蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)、天文知識(shí)和中國(guó)古代的人文精神；教學(xué)長(zhǎng)度單位時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生了解與長(zhǎng)度單位有關(guān)的國(guó)內(nèi)外文學(xué)、歷史、哲學(xué)等知識(shí)。

課程案例：用“2×5-9”編題

二年級(jí)上學(xué)期，學(xué)習(xí)乘減法之后，我讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際生活，用“2×5-9”編題。生1：“有2輛汽車(chē)，每輛車(chē)上坐5個(gè)人，撞死了9個(gè)人，還剩下幾個(gè)人？”我評(píng)價(jià)道：“符合要求，但是同學(xué)們對(duì)這樣的題有什么感覺(jué)？”學(xué)生都皺著眉頭說(shuō)：“太可怕了，太悲慘了?！薄皩?duì)！我們要想一些美好的事情?！鄙?馬上舉手說(shuō)：“2輛汽車(chē)，每輛車(chē)上坐5個(gè)新娘子，被新郎領(lǐng)走了9個(gè)，還剩下幾個(gè)新娘子？”學(xué)生聽(tīng)后哈哈大笑?！跋矐c的婚禮是挺美好的。大家能不能說(shuō)說(shuō)發(fā)生在我們自己身邊的事？”生3：“我爸爸昨天買(mǎi)了2盒桃子，每盒5個(gè)，我送給對(duì)門(mén)的老爺爺9個(gè)，我留下了幾個(gè)？”“你懂得尊敬老人、關(guān)愛(ài)老人，非常好！這件事是真的嗎，孩子？”他羞愧地回答道：“不是?！薄拔医ㄗh大家講一些真實(shí)的事情?！鄙?：“我畫(huà)了一幅畫(huà)，每行畫(huà)5個(gè)三角形，畫(huà)了2行，被我劃掉9個(gè)，還剩下幾個(gè)？”他的編題贏得了大家的掌聲。最后，我讓學(xué)生課后再到生活中去尋找用“2 ×5-9”來(lái)解決的真實(shí)問(wèn)題和事情。

學(xué)生的回答從知識(shí)訓(xùn)練的角度看是沒(méi)問(wèn)題的，但細(xì)心的數(shù)學(xué)教師會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在編題中存在說(shuō)謊和涉及暴力等不良現(xiàn)象。如果我們教師能在關(guān)注知識(shí)傳授的同時(shí)，使學(xué)生形成向善、尚美的品格，特別是求真的心，不是更好嗎？所以，我利用這樣一個(gè)小小的契機(jī)進(jìn)行引導(dǎo)，最終讓學(xué)生的思維和情感趨向真善，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了超越學(xué)科的人文精神和情懷的文化滋養(yǎng)。

這里需要特別注意的是，歷史和文化課程素材的收集需要長(zhǎng)期堅(jiān)持：第一，堅(jiān)持和學(xué)生一起探究，且以學(xué)生自己搜集、研究的素材為主。只有這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)和研究才會(huì)真正發(fā)生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究的能力才會(huì)逐步得到培養(yǎng)與提升。第二，堅(jiān)持和其他學(xué)科教師及家長(zhǎng)協(xié)同進(jìn)行。第三，堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生對(duì)搜集的資料進(jìn)行縱、橫的分類和整理，嘗試?yán)迩迤渲械倪壿嬯P(guān)系。第四，堅(jiān)持根據(jù)學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)和生活的實(shí)際情況合理安排，防止加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，耽誤正式課時(shí)的學(xué)習(xí)。（未完，待續(xù)）

（責(zé)編杜華）