高麗君 張宏偉

[摘 要]將集趣味性、廣泛性、神秘性于一體的斐波那契數(shù)列，以兒童化的方式置于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中讓學(xué)生進(jìn)行探究，是對全景式數(shù)學(xué)教育“跨領(lǐng)域建設(shè)融合性數(shù)學(xué)項(xiàng)目課程”理念和“全方位、全時(shí)空、全身心、全自主”學(xué)習(xí)主張的踐行與落實(shí)。它融合了數(shù)學(xué)、科學(xué)、生物等多門學(xué)科知識(shí)，通過課堂教學(xué)和游學(xué)實(shí)踐相結(jié)合的方式，最終以項(xiàng)目課程的模式呈現(xiàn)，達(dá)成復(fù)習(xí)知識(shí)、提升能力、啟迪智慧、激發(fā)興趣、拓展數(shù)學(xué)視野、豐富認(rèn)識(shí)、培養(yǎng)綜合素養(yǎng)的全景式數(shù)學(xué)教育目的。

[關(guān)鍵詞]全景式數(shù)學(xué)教育；學(xué)科整合；斐波那契數(shù)列；浪漫

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號] 1007-9068（2018）15-0001-003

2017年春，和朋友小聚茶室，邊品春芽，邊倚窗賞綠柳春花。不知怎的，幾個(gè)朋友忽地就聊到了斐波那契數(shù)列（又稱黃金分割數(shù)列，指的是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……這樣一個(gè)數(shù)列）。斐波那契數(shù)列聽起來高深莫測，實(shí)則為一組符合一定規(guī)律的數(shù)字。也許是師傅那句話“數(shù)學(xué)老師要時(shí)刻用數(shù)學(xué)的眼睛看待一切，時(shí)刻思量如何整合出更具孩子氣、更飽滿有趣的綜合課程”引發(fā)了我的思考：“這不正是學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律、認(rèn)識(shí)自然、復(fù)習(xí)100以內(nèi)加減法最好的課程資源嗎？”于是，“數(shù)學(xué)遇見春天”微項(xiàng)目課程如春花般綻放開來。在這個(gè)萬物復(fù)蘇的季節(jié)，我和學(xué)生走近自然，遇見了春天，遇見了科學(xué)，遇見了數(shù)學(xué)……給他們的童年留下了一份美麗、神奇、難忘的記憶。

游學(xué)前——浪漫感知斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列在人類發(fā)展史上有著舉足輕重的作用，它因與自然界有諸多的聯(lián)系而被稱作為神奇數(shù)列。這種具有遞推特征的數(shù)列在植物界中的體現(xiàn)最為明顯，如自然界中大部分花的花瓣數(shù)量就是斐波那契數(shù)。因此，“數(shù)學(xué)遇見春天”的微項(xiàng)目課程就從數(shù)花瓣開始，讓一年級學(xué)生發(fā)現(xiàn)大自然中很多事物都是按照一定的規(guī)律生長的，從中感受到大自然和數(shù)學(xué)的神奇，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的熱愛之情。

正值春暖花開，級部安排去世界花卉大觀園進(jìn)行游學(xué)活動(dòng)。根據(jù)一年級學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，游學(xué)前一天的晨誦時(shí)間，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生數(shù)不同花的花瓣。低學(xué)段學(xué)生看到美好的事物都很興奮，有很高的興致數(shù)數(shù)。教學(xué)過程如下：

師：現(xiàn)在各種花都開了，今天看看哪位“小蝌蚪”認(rèn)識(shí)花的種類多。（話音剛落，學(xué)生眼里充滿期待）誰見過一片花瓣的花？（學(xué)生一時(shí)想不起來，于是師出示馬蹄蓮的圖片，學(xué)生驚嘆世界上還有這么美麗的花）

師：你們猜，我下面會(huì)讓你們說一說幾片花瓣的花？

生：1片花瓣的花，2片花瓣的花，4片花瓣的花……（學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)爭論不休）

師：你們的思考都很棒！接下來，我的問題是你能再說出一種一片花瓣的花嗎？（在學(xué)生的期待中，師順勢出示花燭和2片花瓣的虎刺梅的圖片）

師：僅僅看數(shù)字1、1、2，能猜測這些花可能符合什么規(guī)律嗎？

生1：1+1=2，還不能確定。

（師繼續(xù)出示3片花瓣的鐵蘭）

生2：老師，我猜你下一步會(huì)出示5片花瓣的花。

師：為什么會(huì)這么認(rèn)為？

生2：因?yàn)檫@幾個(gè)數(shù)字是有規(guī)律的，如1+1=2、1+2=3，把相鄰的兩個(gè)數(shù)加起來就是下一個(gè)數(shù)字，所以我猜測你下一步會(huì)出示花瓣數(shù)量是2+3=5（片）的花。

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要進(jìn)行猜想，但猜想后必須要驗(yàn)證，驗(yàn)證之后才能見分曉。（師點(diǎn)擊PPT，畫面中出現(xiàn)三種5片花瓣的花，分別是洋紫荊、黃蟬、蝴蝶蘭，教室里頓時(shí)沸騰了！學(xué)生一方面驚嘆于花的美麗，另一方面猜想正確的喜悅大大鼓舞了他們）

生3：下面要出示8片花瓣的花，因?yàn)?+5=8。

（師出示8片花瓣的格桑花）

……

學(xué)生在這個(gè)過程中已經(jīng)找到了規(guī)律，盡管有些隱晦，不似間隔相同數(shù)字那樣清晰，但他們的思維已經(jīng)被激活。緊接著，我出示13片花瓣的雛菊和21片花瓣的紫菀給學(xué)生驗(yàn)證，學(xué)生熱情不減。然后我不再出示花的圖片，而是讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律計(jì)算出將要出現(xiàn)的數(shù)字，依次為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89。這樣，我在輕松愉悅的氛圍里帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)100以內(nèi)的加法，學(xué)生興致勃勃。

計(jì)算至此，我問：“算到89，還能繼續(xù)嗎？”一學(xué)生說：“后面還能不停地寫出很多個(gè)數(shù)，寫到我八十歲都寫不完！”這個(gè)學(xué)生的回答得到了大家的一致認(rèn)同，但大家也被他“寫到八十歲都寫不完”的話逗樂了。提出這個(gè)問題，我的目的是讓學(xué)生嘗試?yán)斫鈹?shù)列的無窮性。在這個(gè)過程中，我發(fā)現(xiàn)一年級學(xué)生雖然不能用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言描述數(shù)列的無窮性，但已經(jīng)能夠在找規(guī)律過程中體會(huì)并理解數(shù)列的無窮性。

為了讓學(xué)生知道具有一定規(guī)律的一組數(shù)字叫數(shù)列，我問學(xué)生：“如果很多數(shù)字按照規(guī)律排成一列，應(yīng)該叫什么呢？”學(xué)生猜測：“數(shù)字列?！蔽衣牶笙渤鐾?，引導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)名字：“如果去掉一個(gè)不太重要的字的話，你會(huì)去掉哪個(gè)字？”一生思考后回答：“我覺得‘字容易讓人想起漢字，跟數(shù)學(xué)關(guān)系不大，可以去掉?！薄m然一年級學(xué)生的認(rèn)知水平有限，但不影響他們從字面上進(jìn)行簡單、合理的判斷，而且學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造也遵循了人類最原始的思維路徑。我進(jìn)一步告訴學(xué)生：“這一列數(shù)字是由一個(gè)叫斐波那契的人發(fā)現(xiàn)的，所以它叫斐波那契數(shù)列。”……要知道，斐波那契數(shù)列的第一次正式出現(xiàn)是在人教版高中數(shù)學(xué)必修五學(xué)習(xí)數(shù)列概念后的課后閱讀部分。在這個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，學(xué)生理解“1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89”這一列數(shù)字不是隨便的數(shù)字，而是具有一定的規(guī)律，蘊(yùn)含了與數(shù)列相關(guān)的函數(shù)思想。這樣的認(rèn)知過程與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生“化學(xué)反應(yīng)”，激起學(xué)生的情感共鳴，引發(fā)他們對數(shù)學(xué)的熱愛以及對自然界的驚嘆，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

游學(xué)中——實(shí)踐探索斐波那契數(shù)列

1.戶外滲透數(shù)學(xué)思想

第二天去世界花卉大觀園進(jìn)行游學(xué)活動(dòng)，我專門設(shè)計(jì)了游學(xué)單（如下圖），以期培養(yǎng)學(xué)生記錄、發(fā)現(xiàn)、分析等方面的能力。同時(shí)，讓課堂上學(xué)習(xí)的內(nèi)容再回歸到大自然中，學(xué)以致用，使學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)自然的“密碼”（萬物皆數(shù)學(xué)），體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

學(xué)生需要記錄的內(nèi)容包括花的名稱、顏色、花香程度、花瓣數(shù)量、花蕊數(shù)量等，需要解決的問題包括比較問題、相差問題、分類問題等。這樣不著痕跡地把數(shù)數(shù)、統(tǒng)計(jì)、比較、加減法運(yùn)算等內(nèi)容融入游學(xué)活動(dòng)中，既鞏固了本階段學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2.延伸科學(xué)知識(shí)

斐波那契數(shù)列在自然界中的體現(xiàn)遠(yuǎn)不止花瓣數(shù)量，我抓住游學(xué)活動(dòng)這個(gè)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生通過親身體驗(yàn)繼續(xù)發(fā)現(xiàn)、探究，開拓知識(shí)視野，使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇和無處不在。

游學(xué)活動(dòng)時(shí)，我結(jié)合真實(shí)生長的樹進(jìn)行現(xiàn)場授課：“一個(gè)新發(fā)的樹枝在第一階段主要吸收養(yǎng)分，不分叉，樹枝數(shù)量為1；第二階段繼續(xù)汲取營養(yǎng)生長，為分叉做好準(zhǔn)備，但樹枝數(shù)量還是1；第三階段，生長時(shí)機(jī)成熟，分叉，樹枝數(shù)量是2；第四階段，老樹枝分叉，上一階段新發(fā)的樹枝繼續(xù)生長不分叉，樹枝數(shù)量為3；依次類推，樹枝數(shù)量依次為1、1、2、3、5、8、13……符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律。”

此外，我還讓學(xué)生找到松果種子，數(shù)它的螺旋排列，發(fā)現(xiàn)順時(shí)針數(shù)是8條，逆時(shí)針數(shù)是13條，為斐波那契數(shù)；菜花表面排列的螺旋線，順時(shí)針數(shù)是5條，逆時(shí)針數(shù)是8條，為斐波那契數(shù)；還有向日葵的螺旋線也是斐波那契數(shù)……

游學(xué)歸來，我又在課間補(bǔ)充了經(jīng)典的“兔子問題”：“1對小兔子→1對大兔子→1對大兔子+1對小兔子（共2對兔子）→2對大兔子+1對小兔子（共3對兔子）……”這個(gè)過程以動(dòng)態(tài)PPT的形式展示，學(xué)生在“數(shù)數(shù)→猜測→數(shù)數(shù)”的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的有趣。令我欣喜的是，故事還沒講完，就有學(xué)生聯(lián)想到樹枝分叉的情境，解釋說“小兔子需要生長一個(gè)階段之后再生小兔子”。學(xué)生把“樹枝分叉”和“兔生兔”兩個(gè)不同的例子聯(lián)系起來，說明他們既理解了兩者之間的共性，又體會(huì)到萬物生長的相似性以及數(shù)學(xué)解題模型之間的互通互聯(lián)。

游學(xué)后——初步精致化斐波那契數(shù)列

1.課堂的數(shù)學(xué)化

游學(xué)歸來，學(xué)生依舊沉浸在數(shù)花瓣的氛圍之中，我計(jì)劃用花瓣數(shù)量繼續(xù)進(jìn)行單元復(fù)習(xí)。課堂上，我新建了一個(gè)空白的Excel表格，首先做了表頭，有“花名”“花瓣數(shù)量”兩項(xiàng)，然后在“花名”下面依次填入上一階段認(rèn)識(shí)的花。沒等我輸入完，大部分學(xué)生都猜到要填入的花瓣數(shù)量。接著，我故弄玄虛，說要做一件大事，學(xué)生都靜靜地望著我。我熟練地“插入”柱狀圖，通過剛剛完成的數(shù)據(jù)表格，形成如下的柱狀圖。

師：這叫柱狀圖（全景式數(shù)學(xué)教育之“浪漫”認(rèn)識(shí)），即用小柱子的長度表示數(shù)量?，F(xiàn)在大家猜一猜，為什么有高矮不同的柱子呢？

[為什么要引入柱狀圖？在進(jìn)行比較的時(shí)候，柱狀圖具有較強(qiáng)的直觀性，能幫助學(xué)生建立更具體、更形象的認(rèn)知系統(tǒng)。]

生1：高矮不同的柱子跟花瓣的數(shù)量有關(guān)系，也就是說花瓣的數(shù)量越多，柱子越高，如馬蹄蓮和紫菀的柱子高度就相差很多。

生2：每個(gè)柱子的頭上都頂著花瓣數(shù)量呢！

師：從這幅圖中，你可以提出什么數(shù)學(xué)問題？（一共有八種花瓣的數(shù)據(jù)，給學(xué)生提供了充足的素材去提出數(shù)學(xué)問題）

生3：格?；ê碗r菊的花瓣一共有多少片？這是一個(gè)用加法解決的問題。

（其他學(xué)生的思維被激活了，連續(xù)提出幾個(gè)用加法解決的問題，包括三個(gè)數(shù)相加、四個(gè)數(shù)相加、五個(gè)數(shù)相加等一系列的連加問題）

師：剛才提出來的問題都是用加法解決的問題，根據(jù)這幅柱狀圖，還能不能提出別的類型的問題呢？

生4：紫菀比蝴蝶蘭多多少片花瓣？這是一個(gè)用減法解決的問題。

師：請大家思考，這個(gè)問題除了可以這樣問外，還可以怎樣問呢？

生5：還可以問“蝴蝶蘭比紫菀少多少片花瓣”“紫菀和蝴蝶蘭相差多少片花瓣”，這三種問法都可以用同一個(gè)算式21-5=16解答。

……

復(fù)習(xí)課上，學(xué)生這樣的聯(lián)想能力讓我很興奮。緊接著，我又讓學(xué)生分別用這三種問法提問，以鞏固學(xué)生對這一知識(shí)點(diǎn)的掌握。就這樣，在輕松、愉悅的氛圍中，學(xué)生以同一個(gè)數(shù)學(xué)算式用三種方法提數(shù)學(xué)問題的方式“攻克”了本課的教學(xué)難點(diǎn)，且“提出數(shù)學(xué)問題并解答”本身已經(jīng)高于“會(huì)做題”的認(rèn)知水平。

師：由“……比……多多少”和“……比……少多少”這兩類問題，你還可以想到其他的問題嗎？

生6：看著這幅圖中高高低低的柱子，我想起第一單元“學(xué)說話”時(shí)“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”等問題。如紫菀的花瓣數(shù)量比馬蹄蓮多得多，蝴蝶蘭的花瓣數(shù)量比鐵蘭多一些，花燭的花瓣數(shù)量比紫菀少得多，刺虎梅的花瓣數(shù)量比鐵蘭少一些。

……

然后我讓學(xué)生以小組合作的方式，用“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”四個(gè)詞給同桌說四句話，以鞏固學(xué)生對這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)。至此，提問環(huán)節(jié)結(jié)束，整個(gè)過程，我以思維導(dǎo)圖（如下）的形式記錄下學(xué)生的所有回答并分類。這樣教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)、全面地復(fù)習(xí)并鞏固了100以內(nèi)各種類型加法、減法解決問題的題目，以及相應(yīng)進(jìn)位加法、退位減法的計(jì)算問題，這些問題包含甚至超越了一年級解決問題的所有類型。同時(shí)，我在教學(xué)中滲透了找規(guī)律、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從整體的角度溝通了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2.課后的拓展與延伸

基于課上整體的教學(xué)內(nèi)容，我布置了兩項(xiàng)趣味性課后作業(yè)，以鞏固學(xué)生課堂所學(xué)的知識(shí)。

家庭作業(yè)（1）：運(yùn)用斐波那契數(shù)列，破解老師家的14位wifi密碼。

第二天課堂上，學(xué)生都興奮地表示已經(jīng)破解我家wifi的密碼——11235813213455，還有的學(xué)生表示自己家的wifi密碼已經(jīng)改為斐波那契數(shù)列，原因是家長覺得這一列數(shù)字很有意思，而且可以作為孩子學(xué)習(xí)的一個(gè)紀(jì)念。

同樣是加法練習(xí)，變換形式會(huì)給學(xué)生帶來不一樣的情感體驗(yàn)，使他們體會(huì)到加法并不僅僅可以用來解決“一共有多少”的問題，還有很多有意思的應(yīng)用。這個(gè)做作業(yè)的過程，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知范疇，并在學(xué)生的腦海中埋下數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)好玩的種子。

家庭作業(yè)（2）：用“畫正法”統(tǒng)計(jì)家里桌子、碗、筷子的數(shù)量，并比較誰的數(shù)量多、誰的數(shù)量少，最后列式計(jì)算相差多少。

這一作業(yè)與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，看似簡單，只是數(shù)數(shù)桌子、碗、筷子的數(shù)量，實(shí)則融合了統(tǒng)計(jì)、比較、減法等知識(shí)，旨在提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

這個(gè)春天，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里“花式數(shù)數(shù)”——數(shù)花瓣、數(shù)樹枝、數(shù)螺旋線、數(shù)餐具……實(shí)現(xiàn)了由“實(shí)物→圖形→數(shù)字”的逐步抽象過程，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)了100以內(nèi)的加減法，使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出數(shù)學(xué)問題，還認(rèn)識(shí)了奇妙的自然界。這種趣味性的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)和情趣培養(yǎng)方面都有很大的發(fā)展，可謂“居室內(nèi)，文理兼容，內(nèi)外兼修，閱大千世界”。在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)那么有用、那么神奇、那么好玩、那么有意思！

我和我的“小蝌蚪們”永遠(yuǎn)不會(huì)忘記，一年級我們循著季節(jié)時(shí)令，一起在美麗的大自然里吻醒了爛漫的春花，吻醒了冰冷的數(shù)學(xué)，吻醒了我們內(nèi)心深處等待開啟的自己……

（責(zé)編 杜 華）