張敏華

(陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部， 福建 福州 350015)

0 引 言

文中主要工作是考慮下列Neumann邊界條件下非局部擴(kuò)散方程：

(1)

其中,Ω是一個(gè)光滑有界的區(qū)域，J:RN→RN,G:RN→RN是連續(xù)非負(fù)并且徑向?qū)ΨQ的函數(shù)，在單位球內(nèi)是緊支集的,使得

式(1)右邊第一個(gè)積分項(xiàng)考慮的是個(gè)體從其他方向到達(dá)或者離開點(diǎn)x；式(1)右端的第二個(gè)積分項(xiàng)描述的是個(gè)體進(jìn)入或者離開區(qū)域的流量，根據(jù)函數(shù)g的符號(hào)。這就是所說的Neumann邊界條件[1]。而且，文中在方程中增加了一個(gè)反應(yīng)項(xiàng)up(x,t)，探求問題的爆破解的情況。

在先前的文獻(xiàn)中關(guān)于非局部擴(kuò)散過程已經(jīng)得到了相關(guān)的關(guān)注。與文獻(xiàn)[2]提及的一樣，u(x,t)可以表示為單個(gè)群種在(x,t)點(diǎn)的密度，J(x-y)表示為從點(diǎn)y到x的概率分布；那么

從別的方向到達(dá)點(diǎn)x的到達(dá)率。

對(duì)于Neumann邊界條件下的非局部擴(kuò)散，Cortazar等[3-4]研究了相類似的問題，形式如下：

1 局部存在唯一性

其中,t0是一個(gè)固定的點(diǎn)。

式(1)中的u,t分別用w,s來代替,可得:

因此考慮相關(guān)的積分系統(tǒng)：

根據(jù)此方程，建立下列算子。

定義1令Φ:Bt0→Bt0定義如下：

(2)

證明 考慮0

|Φw0,g[w(x,t1)]-Φw0,g[w(x,t2)]|=

其中，|Ω|代表區(qū)域Ω的測度。因此，當(dāng)t∈(0,t0]，算子Φw0,g是連續(xù)的。

當(dāng)t=0時(shí)：

|Φw0,g[w(x,t)]-w0(x)|=

由上述兩個(gè)估計(jì)可得，對(duì)于每一個(gè)t∈[0,t0]，算子Φw0,g是連續(xù)的。

證畢。

C=C(Ω,J,G,p,‖w‖Bt0,‖z‖Bt0)

使得：

|‖Φw0,g[w(x,t)]-Φz(mì)0,h[z(x,t)]‖|≤‖w0-z0‖L

(3)

證明

|Φw0,g[w(x,t)]-Φz(mì)0,h[z(x,t)]|≤

‖w0-z0‖L

C=max{2K1|Ω|+pηp-1,K2}

證畢。

作為上面兩個(gè)引理的結(jié)果，有下面的解的存在性和唯一性定理。

|‖Φw0,g[w(x,t)]-Φz(mì)0,h[z(x,t)]‖|≤Ct0‖w-z‖Bt0

最后，式(1)兩邊關(guān)于時(shí)間t積分可得：

再關(guān)于x積分

考慮到J的對(duì)稱性和Fubini定理有：

推論1假設(shè)u,v是式(1)的解，其中初始值和邊界值分別為u0,v0，g,h。那么對(duì)于每一個(gè)t0>0，存在一個(gè)只依賴于t0的常數(shù)C1滿足：

證明 由u,v的定義可知

根據(jù)引理2可知：

如果Ct0<1可得：

推論2令u∈Bt0，那么u是式(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)：

證明 式(1)可以表示為：

兩邊分別乘上eA(x)s，有：

兩邊從0到t積分得：

證畢。

2 比較原理

給出式(1)的比較原理。下面首先給出上下解的定義。

改變不等號(hào)的方向可以定義下解。

x∈Ω,t>0

證明 假設(shè)在某些點(diǎn)w(x,t)是負(fù)的。令

θt(x,t)=e-λtw(x,t)(λ>0,λ≥2sup|c|)

如果假設(shè)在(x0,t0)處θ達(dá)到負(fù)的最小值，其中t0>0，那么

θt(x0,t0) =-λe-λt0w(x0,t0)+e-λt0wt(x0,t0)≥

(c-λ)θ(x0,t0)>0

這個(gè)與θ(x,t)在(x0,t0)處θ達(dá)到負(fù)的最小值矛盾。證畢。

3 全局存在和爆破

證明 假設(shè)p>1。在式(1)的第一個(gè)方程兩邊關(guān)于x∈Ω積分，再應(yīng)用Fubini定理有：

因?yàn)間≥0，G是非負(fù)函數(shù)，那么有：

反之，假設(shè)p≥1。考慮下列的ODE問題：

因?yàn)閷?duì)于t>0,p≤1，z(t)>1，那么z(t)>zp(t)。因此z(t)是式(1)的全局上解。因此根據(jù)比較原理可知u是全局的。

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