我國數(shù)學課程一直將數(shù)的運算作為小學數(shù)學的主要內容，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出應當注重發(fā)展學生的“運算能力”，說明運算能力是義務教育階段數(shù)學課程背景下重要的數(shù)學核心素養(yǎng)，是數(shù)學課程目標實現(xiàn)的重要保證?；诖耍處熀蛯W生都非常重視計算能力的培養(yǎng)和提高。但實踐中，教師與學生理解及達成的情況如何呢？我們對學生的計算水平、計算習慣等進行調查分析，并深入課堂對教師的計算教學做了進一步觀察剖析，發(fā)現(xiàn)當前教師和學生對于計算教與學存在理解上的誤區(qū)和不足，主要表現(xiàn)在以下三個問題。

問題一：教師和學生對計算意義的認識過于狹隘。學生眼中的運算，大多是枯燥的計算，容易忽視計算學習中推理、比較、轉化、遷移思想的滲透，以及各個年段計算教學內容方法的銜接。

問題二：教師不知如何把握算理理解的方式和時機。教師認識到理解算理對于學生掌握計算方法有著重要作用，但實踐教學中卻不知如何把握算理理解的方式和時機，想面面俱到卻顧此失彼。

問題三：教師在課堂上缺少學生內化計算法則的時間。在學生呈現(xiàn)多樣化的算法時，教師往往急于優(yōu)化（哪種方法好？你最喜歡哪種方法？）但為什么這種方法好？其它方法不好在哪里？它們之間有什么聯(lián)系？往往缺乏聯(lián)系溝通。

近幾年，針對以上教與學的問題，筆者帶領江岸區(qū)一線教師著力開展計算教學實踐研究，取得了一定成效?！胺謹?shù)除以整數(shù)”是人教版義務教育教科書六年級上冊第3單元第30頁例1的教學內容，它屬于數(shù)的運算教學，也是小學階段學習整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算的最后一個單元。因此，本單元的教學在計算教學中具有舉足輕重的地位。筆者就以這節(jié)課為例，談談我們在計算教學中的幾點做法。

一、以知識包為載體，注重知識的遷移類推，凸顯運算意義

學生在計算中的困難和錯誤往往與其對數(shù)和運算的意義理解不深有關系，而他們對運算意義及方法的理解也不是一蹴而就的。數(shù)學是一門系統(tǒng)性、邏輯性很強的學科，各部分知識組成了一個縱橫交錯、緊密聯(lián)系的網(wǎng)。美國獨立學者馬立平博士的《小學數(shù)學的掌握和教學》中這樣描述：“在數(shù)學教學中，教師的知識包揭示了教師對開啟和培養(yǎng)學生頭腦中這樣一個領域的縱向過程的理解?！比私躺缤跤来褐魅卧凇缎W數(shù)學計算教學改革的有效探索》一文中指出：“每一個新知識都是在已有知識的基礎上發(fā)展的，要善于運用類比推理和比較差異的思想方法進行新舊知識的轉化，達到觸類旁通、方法遷移的目的?！币虼?，建立在對知識及知識間的關系深刻理解的基礎上的數(shù)學知識結構和認知結構才是穩(wěn)固豐富的。有思想深度的課，能使學生數(shù)學地思考問題的方法長存，有助于學生的可持續(xù)發(fā)展，真正提高學生的數(shù)學素質。

基于此，在這節(jié)課上，我們呈現(xiàn)了“數(shù)的運算知識樹”，提供“整數(shù)除法的意義、計算方法及學習方法”“小數(shù)除法的意義、計算方法及學習方法”等知識包，喚起學生對已有知識的回憶，從而運用同樣的思路和方法開展“分數(shù)除法”的學習。同時，引導學生回憶第一單元“分數(shù)乘法”的學習方法，例如舉例子、利用長方形折涂等方法來學習“分數(shù)除法”，讓學生在學習活動中，體會到數(shù)學知識不是孤立的，小學數(shù)學的學習是螺旋上升的，我們可以借助已有的學習經驗來學習同類別的新知。這樣的教學，不是就計算講計算，而是將計算學習的橫縱聯(lián)系、思維脈絡清晰地展現(xiàn)，這對學生來說，既是數(shù)學活動經驗的積累，又是學習能力、方法的滲透，更是不可小覷的數(shù)學素養(yǎng)的提升。

二、數(shù)形結合，架設算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計算方法

張景中院士認為：“計算和推理是相通的，計算要有方法，這方法里就體現(xiàn)了推理，即寓理于算的思想；計算是具體的推理，推理是抽象的計算?！庇嬎愕倪@個具體推理，顯然就是算理的理解了。這也是計算教學中教師感到棘手的問題，不知如何把握算理理解的方式和時機，想面面俱到卻經常顧此失彼。針對這些問題，我們在本節(jié)課中進行了嘗試，力求基于學生的需求解決問題，具體表現(xiàn)在：

1.從體會“分數(shù)除法”的意義開始理解算理

2.采用多種方式理解算理

在初步理解算理之后，應該給予學生“再次理解”的機會。因此，教師要善于選擇多種方式來幫助學生更好地理解算理。在這節(jié)課中，我們采取了以下兩種方式。

（1）舉例說明

（2）直觀模型

直觀模型是指具有一定結構的操作材料和直觀材料。這節(jié)課，我們按照教材例1的編排也選擇了長方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，再將“除以幾”用圖表示，接下來將折、涂的過程用算式來描述，在操作活動中充分發(fā)揮數(shù)與形、形與式的結合，讓學生在后面的嘗試計算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗中完成“動作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過程，進一步理解算理。

（3）已有知識

在理解“分數(shù)除以整數(shù)”的計算原理時，要以學生的已有知識經驗，即分數(shù)的意義、除法的運算意義、除法是乘法的逆運算、分數(shù)乘法的計算方法及倒數(shù)的意義為基礎，讓學生理解“為什么要把除法轉化為乘法來計算”“怎樣把除法轉化為乘法來計算”，從而將所學知識融會貫通。同時，這節(jié)課的算理也將為后面進一步學習“分數(shù)除以分數(shù)”奠定基礎。

三、對比優(yōu)化，體會除法轉化為乘法的價值，內化計算法則

針對問題三：有的教師重視讓學生去探索如何計算，并在此基礎上幫助學生理解算理，但是往往忽視了另一個重要的過程——計算法則（或個體使用方法）的內化與形成的教學現(xiàn)象，我認為，當學生經歷了算法多樣化，對比優(yōu)化，并且對于運算的道理有所理解后，還需要學生對常規(guī)的計算法則進行再熟悉，以達到內化。

本節(jié)課，當學生在計算分數(shù)除以整數(shù)時，通常會出現(xiàn)以下三種計算方法：

算法的優(yōu)化建立在算法多樣化的基礎上，如果不及時溝通幾種算法之間的聯(lián)系，草率地牽引到通法上來，是不符合學生認知規(guī)律的。因此，在教學時，我先讓學生充分闡述各種方法的道理，找到它們之間的聯(lián)系；然后通過舉例，比較每種算法的優(yōu)勢和局限性，例如將分數(shù)轉化為小數(shù)再計算的方法，當分數(shù)不能化成有限小數(shù)時計算就不方便了；用分數(shù)單位的個數(shù)去平均分的方法，當分數(shù)單位的個數(shù)不是除數(shù)的整倍數(shù)時，也不好計算。最后，學生通過比較、分析，進而運用第三種方法再次計算自己的算式，發(fā)現(xiàn)將分數(shù)除以整數(shù)，轉化為去乘除數(shù)的倒數(shù)這個計算方法適用于所有情況，它是計算的一般方法，由此達到內化。

同時，在對比優(yōu)化的過程中，學生體會“轉化”產生的價值。即為什么要把除法轉化為乘法？定義倒數(shù)的意義究竟是什么？定義倒數(shù)實際上是定義了兩個數(shù)之間的關系，利用這個關系可以方便地把除法轉化為乘法計算，而轉化的目的就是為了提高運算效率。除法轉化為乘法計算，之所以效率會提高，主要有兩個原因：一是分數(shù)乘法的計算法則比較簡單，而是轉化之后乘法的運算律可以派上用場。因此，在鞏固提高環(huán)節(jié)，設計這樣的練習讓學生進一步體會轉化的價值。

四、教學感悟及反思

數(shù)學是一個整體，不同領域、不同階段的數(shù)學知識在發(fā)展過程中都形成了獨特的方法和技巧，我們要以整體的眼光看待數(shù)學的各個分支，讓學生探索數(shù)學知識深處的聯(lián)系，綜合運用知識和方法提高分析能力和解決問題的能力?；诖?，在“分數(shù)除法：分數(shù)除以整數(shù)”的教學中，我們用“整體、聯(lián)系”的思想指導教學，設計了“以知識包為載體，注重知識的遷移類推，凸顯運算意義→數(shù)形結合，架設算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計算方法→對比優(yōu)化，體會除法轉化為乘法的價值，內化計算法則”的教學主線，學生學習的整體效果還是很不錯的。反思我們教的方式和學生學的方式，筆者認為還有進一步優(yōu)化的空間。

1.理解算理的直觀模型還可更豐富

這節(jié)課，我們按照教材例1的編排也選擇了長方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，再將“除以幾”用圖表示，接下來將折、涂的過程用算式來描述，在操作活動中充分發(fā)揮數(shù)與形、形與式的結合，讓學生在后面的嘗試計算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗中完成“動作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過程，進一步理解算理。

實際教學中，學生能在長方形上通過折、涂、比等活動理解分數(shù)除以整數(shù)的計算原理。但是，是不是只有長方形這一種直觀模型能起到“以形反映數(shù)”的作用呢？顯然不是。正方形、圓形、線段圖……都具可操作性。因此，上完課后，我琢磨著，直觀模型可否由學生自己選擇？當他們面對分數(shù)除以整數(shù)的抽象算式時，對于理解分數(shù)除法的意義產生困難，根據(jù)以前的學習經驗，自己選擇長方形、正方形、圓形或線段圖，通過折一折、畫一畫、涂一涂的方式來表示算式的意義，從而體會分數(shù)除法的意義。這樣的做法是否更以學生為本。

2.鞏固練習中還可增加題組訓練

這節(jié)課，在學生體會分數(shù)除以整數(shù)的意義、理解分數(shù)除以整數(shù)的算理，并內化計算法則后，我設計組織了以下鞏固練習。

第一層次：分數(shù)除以整數(shù)的基本練習。其素材是教材第30頁“做一做”。

第二層次：鞏固計算方法的變式練習。既有計算法則的運用，又有根據(jù)數(shù)據(jù)特點靈活選擇計算方法的訓練。

第三層次：對所學知識的融會貫通，也是拓展延伸。讓學生進一步體會轉化的價值。

這幾個層次的練習，學生對于知識技能的掌握、學習經驗的積累都起到了補充作用。但教學起來感覺第一層次的基本練習題量略顯單薄，可以增加一些題組練習，以此鞏固分數(shù)除以整數(shù)的計算方法；同時，還能訓練學生根據(jù)算式中數(shù)據(jù)的特點靈活地選擇計算方法。