張浩 許貝貝 陳帝伊

摘要： 為了研究變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)瞬態(tài)能量變化特征、揭示變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定機(jī)理，對引水系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行改進(jìn)，使其更準(zhǔn)確描述變頂高尾水洞明滿流運(yùn)動(dòng)特性。利用廣義哈密頓系統(tǒng)在描述能量流變化的優(yōu)勢，構(gòu)造了變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)哈密頓函數(shù)，將傳統(tǒng)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿射非線性方程轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)形式。首先，從理論上驗(yàn)證了在廣義哈密頓理論框架下，變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)能量流的變化與實(shí)際物理系統(tǒng)的一致性；其次，通過數(shù)值模擬表明，所選擇的哈密頓函數(shù)可以有效地描述變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中能量變化特征；最后，探究了在無負(fù)荷擾動(dòng)、階躍負(fù)荷擾動(dòng)和隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)情況下，變頂高水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的能量變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞： 水動(dòng)力學(xué)； 水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)； 變頂高尾水洞； 哈密頓模型； 負(fù)荷擾動(dòng)

中圖分類號(hào)： TV136+.1； TK730.1； TV737文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）02-0323-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.016

引言

尾水系統(tǒng)是水電站系統(tǒng)的重要組成部分，主要有三種形式，分別是無壓隧洞、有壓隧洞和變頂高尾水洞[1-3]。變頂高尾水洞是水電站尾水系統(tǒng)的一種新形式，在一定條件下可以替代尾水調(diào)壓室[4-6]。變頂高尾水隧洞的特點(diǎn)是下游水位與洞頂?shù)哪骋惶幭嚆暯?，將尾水洞分為有壓滿流段和無壓明流段。當(dāng)下游處于低水位時(shí)，下游水位與洞頂較低處相銜接，此時(shí)有壓滿流段短，而無壓明流段長，可以控制尾水管進(jìn)口的真空度不超過規(guī)范的要求。變頂高尾水洞的工作原理是利用下游水位的變化，確定尾水洞有壓滿流段的長度不超過極限長度，使整個(gè)尾水系統(tǒng)始終滿足對尾水管進(jìn)口處真空度的要求。但變頂高尾水洞中存在明滿混合流現(xiàn)象，嚴(yán)重影響水電站系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行[7-9]，因此需要深入地探究變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的能量流變化規(guī)律。

與傳統(tǒng)拉格朗日體系下的仿射微分方程組不同，廣義哈密頓系統(tǒng)善于描述系統(tǒng)內(nèi)部能量供給、耗散及與外部能量交換[10-11]。隨著廣義哈密頓系統(tǒng)理論的發(fā)展，其結(jié)構(gòu)矩陣和阻尼矩陣能夠提供更多系統(tǒng)參數(shù)信息[12]。

目前對變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)哈密頓模型的研究已取得一定進(jìn)展，如：文獻(xiàn)[13]運(yùn)用Hopf分岔理論研究了變頂高尾水洞水電站水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出了Hopf分岔的代數(shù)判據(jù)，繪制了系統(tǒng)穩(wěn)定域；文獻(xiàn)[14]通過將水輪機(jī)及其水力系統(tǒng)納入廣義哈密頓框架分析了其控制的動(dòng)力學(xué)機(jī)制并對非線性水輪機(jī)的哈密頓建模問題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[15]通過正交分解實(shí)現(xiàn)方法將非線性水輪機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)并進(jìn)行能量流分析，仿真表明哈密頓函數(shù)可以較好地反映系統(tǒng)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)和外部聯(lián)系；文獻(xiàn)[16]從非恒定漸變流動(dòng)的Bernoulli方程出發(fā)，研究了甩負(fù)荷工況下變頂高尾水管進(jìn)口真空度近似計(jì)算公式，通過物理實(shí)驗(yàn)證明該近似公式可應(yīng)用于工程初步設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[17]通過引入變頂高尾水洞明滿分界面處水體交替運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，分析了變頂高尾水洞機(jī)組運(yùn)行的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[18]針對一管多機(jī)水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)建立了哈密頓模型并分析了該模型在隨機(jī)負(fù)荷下的動(dòng)力學(xué)特性。然而，系統(tǒng)研究變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)哈密頓模型的成果相對較少，本文利用廣義哈密頓理論將變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)形式。分別在無負(fù)荷擾動(dòng)、階躍負(fù)荷擾動(dòng)和隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)情況下，研究變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)瞬態(tài)能量變化規(guī)律。

第2期張浩，等：變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)哈密頓模型振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第31卷1變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型

變頂高尾水洞水電站引水發(fā)電系統(tǒng)如圖1所示。

圖1變頂高尾水洞水電站示意圖

Fig.1Sketch of a hydropower station tailrace tunnel with

inclined ceiling

在負(fù)荷波動(dòng)過程中，尾水洞中明滿流的交替運(yùn)動(dòng)會(huì)引起尾水洞中水流慣性變化；另一方面明流段水位波動(dòng)也會(huì)影響機(jī)組工作水頭。文中，h=（H-H0）/H0，q=（Q-Q0）/Q0，x=（n-n0）/n0，y=（Y-Y0）/Y0，mt=（Mt-Mt0）/Mt0，mg=（Mg-Mg0）/Mg0為各變量的相對偏差值，下標(biāo)“0”表示初始時(shí)刻值。B為變頂高尾水洞寬度，n為機(jī)組轉(zhuǎn)速，Y為導(dǎo)葉開度，α為變頂高尾水洞頂坡角，Hx為明滿流分界面處水深，c為明流段明渠波速，Mt為水輪機(jī)動(dòng)力矩，Mg為水輪機(jī)阻力矩，Ta為機(jī)組慣性時(shí)間常數(shù)，λ為尾水洞斷面系數(shù)，Kp為比例增益，Ki為積分增益，mg為負(fù)荷擾動(dòng)。

由文獻(xiàn)[13]可知，變頂高尾水洞水電站的壓力管道動(dòng)力方程為h=-Tws+Twxdqdt-2hfH0q-zy （1）其中，Tws=LVgH0，Twx=LxVxgH0且zy=ZyH0。L為壓力管道長度，f為壓力管道斷面面積，Q為機(jī)組流量，V為管道水流流速，hf為壓力管道水頭損失，Lx為明滿流分界面任意瞬態(tài)時(shí)刻相對初始位置的運(yùn)動(dòng)距離，Vx為明滿流分界面處水流流速，Tws為穩(wěn)態(tài)水流慣性時(shí)間常數(shù)，Twx為暫態(tài)水流慣性時(shí)間常數(shù)，H為機(jī)組工作水頭，Zy為任意瞬態(tài)時(shí)刻相對初始水位的明流段水位變化值。

依據(jù)文獻(xiàn)[17]假定，對于一般的變頂高尾水洞（洞頂坡度不超過5%），明滿流分界面處水流連續(xù)性方程可以表示為Q-Q0Δt=LxZyB/λ （2）進(jìn)而可知，Lx=λQ0cBtanαq，故Twx=λQ0gH0cBtanαq。由Zy=Lxtanα得zy=λQ0H0cBq。采用Twx和zy的表達(dá)式可將式（1）轉(zhuǎn)化為h=-λQ0VxgH0cBtanαqdqdt-Twsdqdt-2hfH0+λQ0H0cBq （3）水輪機(jī)動(dòng)態(tài)特性表達(dá)式為mt=ehh+exx+eyy，q=eqhh+eqxx+eqyy （4）式中eh，ex，ey為水輪機(jī)力矩傳遞系數(shù)；eqh，eqx，eqy為水輪機(jī)流量傳遞系數(shù)。

發(fā)電機(jī)和負(fù)載動(dòng)態(tài)特性為Tadxdt=mt-mg+egx （5）液壓隨動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性為dydt=-Kpdxdt-Kix （6）綜合式（3）～（6），獲得變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性模型為=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws

=1Taeheqhq+ex-eheqheqx-egx+

ey-eheqheqyy-mg

=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix-

KpTaey-eheqheqyy+KpTamg （7）2系統(tǒng)哈密頓模型

由式（7）可得，變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的仿射非線性方程為=f（x）+g（x）u （8）式中=[，，]T，g（x）=[0，0，1Ty]T，f（x）=[X1，X2，X3]T，X1=-2hfH0+λQ0H0cB+1eqhq+eqxeqhx+eqyeqhyλQ0VxgH0cBtanαq+Tws，X2=1Ta·eheqhq+ex-eheqheqx-egx+ey-eheqheqyy-mg，X3=-KpTaeheqhq-KpTaex-eheqheqx-eg+Kix+KpTamgKpTaey-eheqheqy，Ty為接力器時(shí)間常數(shù)，u為輸入控制信號(hào)。

依據(jù)文獻(xiàn)[14-15]，哈密頓系統(tǒng)的自然輸出為yH=g（x）THX=-Pm （9）式中Pm為水輪機(jī)出力相對偏差值。

由水輪機(jī)動(dòng)態(tài)特性和Pm=mtw可知，水輪機(jī)出力相對偏差值為Pm=π30xeheqhq-eqxx-eqyy+exx+eyy （10）進(jìn)一步地，由式（9）和（10）可得哈密頓函數(shù)為H=πTyy（2eheqxx+eheqyy-2ehq-

2eqhexx-eqheyy）/（60eqh） （11）采用正交分解實(shí)現(xiàn)方法，將仿射非線性方程（8）轉(zhuǎn)化為哈密頓模型=[J（x）+P（x）]Hx+g（x）u （12）式中Jx為反對稱矩陣，Px為對稱矩陣，且有ftdx=fx-〈fx，Hx〉Hx2Hxx （13）

Px=〈fx，Hx〉Hx2I3=N00

0N0

00N （14）式中N=〈fx，Hx〉Hx2。Jx=1Hx2[ftdxHTx-

HxfTtdx]=1Hx2·

0J12J13

J120J23

J13J230 （15）式中J12=Hx2f1-Hx1f2，J13=Hx3f1-Hx1f2，J23=Hx3f2-Hx2f3。

3能量流分析

系統(tǒng)矩陣Px可進(jìn)一步分解為Px=1Hx2〈fx，H〉=

Sx-Rx （16）其中，Sx=sx00

0sx0

00sx，N=1Hx2〈fx，H〉=1Hx2·f1Hx1+f2Hx2+f3Hx3=1Hx2·

Mdqdt+KpDTaeqhxey-CTaeqhmt-KpDTaeqhpm-DeqhKix2，Rx=rx00

0rx0

00rx，M=-2πTyehxyeqh，C=πTyy4eqhexx-4eheqhx+2ehq-eheqyy+eqheyy，D=πTy（eheqxy-eqhexy-2ehq+2eheqxx+eheqyy-2eqhexx-eqheyy）。當(dāng)取理想水輪機(jī)傳遞系數(shù)時(shí)，M>0，C>0，D>0。故rx=1Hx2·CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2，sx=1Hx2·Mdqdt+KpDTaeqhxey。

據(jù)文獻(xiàn)[12]，系統(tǒng)能量流定義如下。系統(tǒng)能量耗散為HxTRxHx=CTaeqhmt+KpDTaeqhpm+DeqhKix2 （17）式（17）說明系統(tǒng)能量耗散包括機(jī)組克服阻力所需的空載功耗和水輪機(jī)輸出功率以及由于轉(zhuǎn)速變化產(chǎn)生的阻尼功率。

系統(tǒng)內(nèi)部能量供給為HxTSxH〖〗x=Mdqdt+KpDeyTaeqhx （18）式（18）第一項(xiàng)表示流量變化產(chǎn)生的慣性能量，第二項(xiàng)反映在水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，能量的產(chǎn)生與機(jī)組轉(zhuǎn)速直接相關(guān)。

式（17），（18）中各項(xiàng)能量均為廣義能量，在廣義能量描述下，能量流的變化和實(shí)際系統(tǒng)一致且物理意義清晰。

不同哈密頓函數(shù)反映的系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)聯(lián)機(jī)制不同，將變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)納入廣義哈密頓理論框架下的核心問題是恰當(dāng)哈密頓函數(shù)的確定[15]。為驗(yàn)證本文所選擇哈密頓函數(shù)的有效性，分別在無負(fù)荷擾動(dòng)、階躍負(fù)荷擾動(dòng)和隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)情況下，利用數(shù)值模擬對比分析瞬態(tài)過程中水輪機(jī)出力和水輪機(jī)能量的變化規(guī)律。

4變頂高尾水洞水電站系統(tǒng)哈密頓仿真分析變頂高尾水洞水電站系統(tǒng)基本資料如下：額定水頭H0=70.7 m，額定流量Q0=466.7 m3/s，Ta=6 s，B=10.0 m，Tws=3.20 s，hf=0.1 m，Hx=23 m，tanα=0.03，λ=3。水輪機(jī)傳遞系數(shù)為：eh=1.9，ex=-0.8，ey=1，eqh=0.5，eqx=0.5，eqy=0.6，eg=0。仿真初值條件為（q，x，y）=（0，0，0），mg表示負(fù)荷擾動(dòng)。

分析圖2可知，在無負(fù)荷擾動(dòng)情況下（mg=0），水輪機(jī)出力無變化，且哈密頓函數(shù)在該過程也無變動(dòng)，說明本文所選擇的哈密頓函數(shù)在無負(fù)荷擾動(dòng)情況下的變化與變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程中的能量變化較為一致。

圖2無負(fù)荷擾動(dòng)下水輪機(jī)出力和哈密頓函數(shù)的變化

Fig.2Changes of the turbine output and Hamiltonian

function without load disturbance

由圖3可知，在t=1 s時(shí)加入階躍負(fù)荷擾動(dòng)（mg=1），哈密頓函數(shù)和水輪機(jī)出力在t=1 s時(shí)都發(fā)生突變，哈密頓函數(shù)迅速增加，在t=5 s時(shí)達(dá)到4.8；水輪機(jī)出力在1～1.5 s經(jīng)歷短暫反調(diào)效應(yīng)后與哈密頓函數(shù)變化趨勢基本一致，說明所確定的哈密頓函數(shù)可以近似反映出水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)瞬態(tài)過程中的能量變化。另一方面，觀察水輪機(jī)出力可知，在階躍負(fù)荷加入后系統(tǒng)出現(xiàn)一定程度的反調(diào)效應(yīng)，而哈密頓函數(shù)未能反映這種變化。

分析圖4可知，在隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)下（mg=rand），水輪機(jī)出力和哈密頓函數(shù)都呈現(xiàn)較為劇烈的隨機(jī)變化。哈密頓函數(shù)和水輪機(jī)出力變化趨勢在整個(gè)瞬態(tài)過程中存在一定的相關(guān)性。說明所選擇的哈密頓函數(shù)可以在一定程度上描述變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)瞬態(tài)過程的能量變化。由圖4（c）可知，明流段水位變化趨勢與水輪機(jī)出力和哈密頓函數(shù)較為一致。仿真結(jié)果表明該過程圖3階躍負(fù)荷擾動(dòng)下水輪機(jī)出力和哈密頓函數(shù)的變化

Fig.3Changes of the turbine output and Hamiltonian

function with step load disturbance圖4隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)下水輪機(jī)出力，哈密頓函數(shù)和

明流尾水位的變化

Fig.4Changes of the turbine output， Hamiltonian function and tail water level in open flow with random load disturbance中，由于負(fù)荷減小，水輪機(jī)出力隨之減小，則進(jìn)入系統(tǒng)水流流量減少導(dǎo)致明流段水位降低。此外，對比水輪機(jī)出力變化和哈密頓函數(shù)變化可知，在存在一定相關(guān)性的基礎(chǔ)上，哈密頓函數(shù)變化幅度大于水輪機(jī)出力變化幅度，說明在該隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)瞬態(tài)過程中，該哈密頓函數(shù)具有較好的靈敏性。

5結(jié)論

在變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿射非線性模型基礎(chǔ)上，通過哈密頓正交分解獲得變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)哈密頓函數(shù)。理論分析表明，在廣義能量描述下，系統(tǒng)能量流的變化較為合理。利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了所選擇的哈密頓函數(shù)能在一定程度上反映水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)過程中能量的變化信息。深入分析了變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)在無負(fù)荷擾動(dòng)、階躍負(fù)荷擾動(dòng)和隨機(jī)負(fù)荷擾動(dòng)下，系統(tǒng)能量變化規(guī)律。

將變頂高尾水洞水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)納入廣義哈密頓理論框架下，分析廣義哈密頓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)矩陣獲得系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)信息，本文的建模方法和仿真研究為分析水輪發(fā)電機(jī)組瞬態(tài)能量流特性提供了一種新視角。

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Hamiltonian model of a hydro-turbine governing system

with inclined ceiling tailrace

ZHANG Hao， XU Bei-bei， CHEN Di-yi

（College of Water Resources and Architectural Engineering （Institute of Water Resources and Hydropower Research），

Northwest A & F University， Yangling 712100， China）

Abstract： To better study the transient energy change and stabilization mechanism of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， considering the nonlinear model of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace， the momentum equation of pipeline system is developed in order to accurately describe the dynamic characteristic of the interface of free surface pressurized flow in tailrace. To make full use of strengths of generalized Hamiltonian system in describing energy flow， the Hamilton function of the hydro-turbine with inclined ceiling tailrace is constructed and the traditional affine nonlinear equations for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace are converted into Hamiltonian system. Firstly， the energy flow of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in the framework of generalized Hamiltonian theory is proved theoretically to be consistent with the real system. Moreover， the simulation results indicate that the constructed Hamiltonian function can effectively describe the energy change of the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace in transient process. The regularity of the energy change for the hydro-turbine governing system with inclined ceiling tailrace is deeply studied under no-load， step load and random load， respectively.

Key words： hydrodynamics； hydro-turbine governing system； inclined ceiling tailrace； Hamiltonian model； load disturbance