宋松柏，程 亮，王宗志

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2.南京水利科學(xué)研究院 水文水資源研究所，江蘇 南京 210029）

1 研究背景

分期設(shè)計(jì)洪水是指一年內(nèi)不同季節(jié)或時(shí)期所計(jì)算的設(shè)計(jì)洪水。分期內(nèi)洪水可以是暴雨、凌汛、融雪、颶風(fēng)、梅雨和臺(tái)風(fēng)等不同物理機(jī)制形成的，具有明顯的季節(jié)性規(guī)律。因此，分期設(shè)計(jì)洪水廣泛地應(yīng)用于水庫(kù)分期調(diào)度、工程施工期防洪等方面［1-2］。水利工程防洪設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)一般以年最大值選樣洪水的重現(xiàn)期為度量單位，反映年最大值超過(guò)事件在很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)平均T年發(fā)生一次。顯然，分期洪水選樣與年最大值選樣不同，其參數(shù)估計(jì)、重現(xiàn)期及設(shè)計(jì)值計(jì)算與傳統(tǒng)的年最大值或年值洪水頻率計(jì)算也有所不同［3］。

自1960年代以來(lái)，分期設(shè)計(jì)洪水受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注［4］。根據(jù)分期洪水的物理特性以及與年最大洪水的關(guān)系，主要有全概率模型［5-7］、極值分布模型［1，5］和混合分布模型［1-2，8-9］3種分布模型，并圍繞3種模型研究了分期洪水序列與年最大洪水序列的頻率計(jì)算、參數(shù)估計(jì)等［10-14］。這些模型為分期設(shè)計(jì)洪水計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)，被廣泛地應(yīng)用于分期設(shè)計(jì)洪水的頻率計(jì)算，但目前尚缺乏分期洪水與年最大洪水重現(xiàn)期的定量關(guān)系研究。丁晶等［15-16］、王善序［17-20］、鄒鷹［21］、張濤等［22］和郭生練等［23-28］分別在汛期分期和取樣方法、分期設(shè)計(jì)洪水概率分布、隨機(jī)模型估算分期設(shè)計(jì)洪水、分期設(shè)計(jì)洪水與防洪設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系等方面進(jìn)行了研究。其計(jì)算方法有超定量法、事件發(fā)生次數(shù)期望值法、傳統(tǒng)的多變量聯(lián)合概率分布法和copulas函數(shù)法等。這些方法為揭示分期設(shè)計(jì)洪水與年最大設(shè)計(jì)洪水關(guān)系、分期設(shè)計(jì)洪水頻率與防洪標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系等提供了理論基礎(chǔ)。一些學(xué)者認(rèn)為根據(jù)分期洪水系列計(jì)算出的洪水頻率本質(zhì)上不同于全年最大洪水系列推求的洪水頻率，分期洪水的重現(xiàn)期一般較年洪水重現(xiàn)期長(zhǎng)［1，28］。采用分期洪水頻率等于重現(xiàn)期T倒數(shù)的假定是錯(cuò)誤的，由此計(jì)算得出的T年一遇分期設(shè)計(jì)洪水一般系統(tǒng)偏小［17-20］。由于出發(fā)點(diǎn)的差異，分期設(shè)計(jì)洪水重現(xiàn)期大多按照超過(guò)事件首次發(fā)生的等待試驗(yàn)次數(shù)期望值來(lái)建立模型，隨著分期數(shù)目的增加，模型計(jì)算難度加大。另外，分期設(shè)計(jì)洪水計(jì)算方法尚未統(tǒng)一，缺乏分期洪水重現(xiàn)期計(jì)算公式嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，也缺乏表征分期洪水與年最大洪水重現(xiàn)期的定量關(guān)系。

本文應(yīng)用概率原理，結(jié)合分期洪水事件的特性，從連續(xù)兩次超過(guò)事件發(fā)生間的期望間隔試驗(yàn)次數(shù)（間隔時(shí)間）的重現(xiàn)期定義出發(fā)，推導(dǎo)分期洪水事件重現(xiàn)期計(jì)算公式，力求簡(jiǎn)化現(xiàn)有計(jì)算模型。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)分期洪水計(jì)算中幾種常見(jiàn)事件的重現(xiàn)期計(jì)算公式，以期為分期設(shè)計(jì)洪水計(jì)算提供理論支撐。

2 重現(xiàn)期計(jì)算模型

在工程設(shè)計(jì)中，重現(xiàn)期有兩種定義［29］：（1）重現(xiàn)期是指超過(guò)事件首次發(fā)生的期望等待試驗(yàn)次數(shù)，如大于等于某一設(shè)計(jì)洪水值第一次發(fā)生的期望等待年數(shù)。（2）重現(xiàn)期表示連續(xù)兩次超過(guò)事件發(fā)生之間的期望間隔試驗(yàn)次數(shù)（間隔時(shí)間）。對(duì)于獨(dú)立同分布年值選樣事件，兩種定義的重現(xiàn)期是等價(jià)的。本文在推導(dǎo)分期最大洪水重現(xiàn)期計(jì)算公式之前，從第2種重現(xiàn)期定義出發(fā)，首先推導(dǎo)單變量、多變量獨(dú)立同分布事件的重現(xiàn)期計(jì)算公式。

假定事件設(shè)計(jì)值的重現(xiàn)期為T(mén)A（年），在n年中，有d維變量事件Q=[Q1Q2…Qd]大于某一門(mén)限值q0=[q01q02…q0d]發(fā)生了m次，m≥n，平均每年發(fā)生m n次。設(shè)事件e={Q∈q}發(fā)生的聯(lián)合概率為P=P(Q∈q)，其中，“∈q”為d維變量事件發(fā)生條件，它可以是超過(guò)“＞”和不超過(guò)“≤”條件的各種組合。

設(shè)事件e在TA年中發(fā)生數(shù)目的期望值為E(Ne)。在TA年內(nèi)，有N=TAm n個(gè)洪水事件。根據(jù)概率原理，有E(Ne)=TAm n P(Q∈q)。同樣，根據(jù)重現(xiàn)期的定義，對(duì)于超定量序列來(lái)說(shuō)，事件e平均發(fā)生的時(shí)間間隔（年）即為重現(xiàn)期TA，即

式中，μ=n m為d維變量相鄰超定量序列點(diǎn)的間隔（年）。

對(duì)于年值序列來(lái)說(shuō)，事件選樣數(shù)目等于年數(shù)，即，m=n，有

顯然，式（1）、式（2）中，當(dāng)d=1時(shí)，分別轉(zhuǎn)換為單變量超定量和年值事件的重現(xiàn)期計(jì)算公式。上述過(guò)程避免了重現(xiàn)期數(shù)學(xué)期望復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，也便于理解重現(xiàn)期原理。

3 分期洪水概率計(jì)算模型

為了便于敘述和理解，本文采用2個(gè)分期洪水和年最大洪水為例，說(shuō)明分期洪水概率計(jì)算模型原理。

設(shè)年最大洪水為Q，一年內(nèi)假定劃分為2個(gè)洪水分期A1和A2，其最大洪水值分別為X和Y，且滿足Q=max(X，Y)，即年最大洪水發(fā)生在分期A1或A2。假定有樣本容量n，年最大洪水序列Q的觀測(cè)值為qi，分期A1和A2內(nèi)最大洪水序列的觀測(cè)值為xi和yi，qi=max(xi，yi)，i=1，2，…，n。在年最大洪水序列qi中，i=1，2，…，n，有n1個(gè)洪水發(fā)生在分期A1內(nèi)，其值為有n2個(gè)洪水發(fā)生在分期A2內(nèi)，其值為按照現(xiàn)有文獻(xiàn)，分期洪水概率計(jì)算模型主要有以下3種模型［5-9］。

3.1 全概率模型 全概率模型認(rèn)為年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}，可以發(fā)生在分期A1內(nèi)，也可以發(fā)生在分期A2內(nèi)。最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}概率可以表示為分期A1最大洪水X和A2內(nèi)季節(jié)最大洪水Y的全概率形式。

式中：P(Q＞q)為年最大洪水超過(guò)q的概率；P(A1)、P(A2)分別為發(fā)生在分期A1和A2內(nèi)的年最大洪水概率，P(A1)+P(A2)=1；P(X＞q|A1)、P(Y＞q|A2)分別為分期A1和A2內(nèi)年最大洪水超過(guò)q的概率，可分別用序列估算分布參數(shù)。

式（3）也可以表示為不超過(guò)事件的概率形式

或

式中：

式中：F(q)、f(q)分別為年最大洪水的累計(jì)分布和密度函數(shù)；分別為分期A1內(nèi)年最大洪水的累積分布和密度函數(shù)，θ1為參數(shù)集；分別為分期A2內(nèi)年最大洪水的累積分布和密度函數(shù)，θ2為參數(shù)集。

根據(jù)式（6），有年最大洪水分布的似然函數(shù)

式（7）兩邊取對(duì)數(shù)，有對(duì)數(shù)似然函數(shù)

式（8）兩邊分別對(duì)P(A1)和P(A2)求偏導(dǎo)數(shù)，有

令上述偏導(dǎo)數(shù)分別等于零組成方程組，求解此方程組有

式（10）就是P(A1)和P(A2)的極大似然法估計(jì)值。

3.2 極值分布模型 年最大洪水不超過(guò)q的事件{Q≤q}等價(jià)與事件{m ax(x ，y)≤q}，因此，根據(jù)極值分布模型，有

當(dāng)兩個(gè)分期洪水序列獨(dú)立時(shí)，有

顯然，式中P(X≤q)和P(Y≤q)分別為分期A1和A2不超過(guò)q的概率，可用分期最大洪水序列x1，x2，…，xn、y1，y2，…，yn估算分布參數(shù)，分期最大洪水可以具有不同的概率分布。

令式（12）可寫(xiě)為GA2(q，θ4)，兩邊對(duì)q求偏導(dǎo)數(shù)，有密度函數(shù)

式中：分別為分期A1最大洪水的累積分布和密度函數(shù)，θ3為參數(shù)集；分別為分期A2最大洪水的累積分布和密度函數(shù)，θ4為參數(shù)集。

式（12）也可以寫(xiě)為超過(guò)事件的概率形式

3.3 混合分布模型 分期A1和A2季節(jié)可能發(fā)生暴雨洪水、融雪洪水和颶風(fēng)洪水等，則最大洪水服從不同的概率分布，出現(xiàn)分布非一致性，年最大洪水分布服從混合分布。年最大洪水超過(guò)q事件{Q＞q}等價(jià)于分期A1內(nèi)最大洪水超過(guò)q事件{X＞q}、分期A2最大洪水超過(guò)q事件{Y＞q}至少有一個(gè)事件發(fā)生。根據(jù)概率加法原理，有

當(dāng)兩個(gè)分期洪水序列獨(dú)立時(shí)，有

式中，P(X＞q)、P(Y＞q)分別為分期A1和A2內(nèi)最大洪水超過(guò)概率，與極值分布相同，可采用分期最大洪水序列x1，x2，…，xn、y1，y2，…，yn估計(jì)參數(shù)。

式（16）也可以寫(xiě)為不超過(guò)事件的概率形式

從以上推導(dǎo)可以看出，極值分布模型與混合分布模型實(shí)際上是等價(jià)的。

4 分期洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型

式（3）進(jìn)一步可寫(xiě)為

式中：P(X＞q，A1)=P(A1)P(X＞q|A1)；P(Y＞q，A2)=P(A2)P(Y＞q|A2)。

式（18）說(shuō)明了式（3）—式（17）分期洪水概率計(jì)算模型中，極值分布模型和混合分布模型分項(xiàng)概率計(jì)算是相同的，但是，他們與全概率模型中分項(xiàng)概率計(jì)算是不同的。以下將推導(dǎo)分期最大洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型。

4.1 年最大洪水超過(guò)事件發(fā)生的重現(xiàn)期 年最大洪水序列即為常用的年值選樣序列，每年選取一個(gè)最大值，如果滿足獨(dú)立同分布條件，年最大洪水事件超過(guò)概率GA(q)=P(Q＞q)給定下，按照式（2），有年最大洪水超過(guò){Q＞q}事件的重現(xiàn)期TA

式中，GA(q)=P(Q＞q)為年最大洪水超過(guò)q的概率，年最大洪水序列q1，q2，…，qn滿足獨(dú)立同分布條件下，可由此序列估計(jì)分布參數(shù)，計(jì)算超過(guò)q的概率。

一般來(lái)說(shuō)，若年最大洪水序列可以是暴雨、融雪和颶風(fēng)等不同物理機(jī)制形成的，則年最大洪水序列具有概率分布的非一致性，因此，GA()q需采用上述3種分期洪水概率模型來(lái)計(jì)算。

4.2 分期發(fā)生年最大洪水超過(guò)事件的重現(xiàn)期 年最大洪水是由哪一個(gè)分期最大洪水形成的，也就是某一分期最大洪水形成年最大洪水超過(guò){Q＞q}事件發(fā)生的重現(xiàn)期，這個(gè)分期的設(shè)計(jì)洪水對(duì)于工程防洪至關(guān)重要。

假定分期A1最大洪水形成年最大洪水超過(guò){Q＞q}事件，其重現(xiàn)期為如前所述，n年內(nèi)分期A1最大洪水形成年最大洪水n1次，平均每年發(fā)生 n1n次。在年內(nèi)，有個(gè)分期A1年最大洪水事件，設(shè)事件{X＞q|A1}發(fā)生數(shù)目的期望值為E(N1*)，根據(jù)概率原理，有則分期A1發(fā)生年最大洪水超過(guò)事件{X＞q|A1}的重現(xiàn)期為

即

同理，對(duì)于分期A2，分期A2發(fā)生年最大洪水超過(guò)事件{Y＞q|A2}的重現(xiàn)期為

由式（20）—式（21），可以得到年最大洪水事件{Q＞q}發(fā)生在分期A1或A2內(nèi)的重現(xiàn)期關(guān)系式

式中：

反過(guò)來(lái)，對(duì)于年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}，它可以發(fā)生在分期A1，成為事件{X＞q|A1}，也可以發(fā)生在分期A2，成為事件{Y＞q|A1}。在分期A1，{X＞q|A1}發(fā)生數(shù)目的期望值為在分期A2，{Y＞q|A2}發(fā)生數(shù)目的期望值為

年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}發(fā)生數(shù)目的期望值為

年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}重現(xiàn)期為

式（24）是從分期洪水角度出發(fā)，推導(dǎo)年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}的重現(xiàn)期，與式（19）完全相同，也說(shuō)明了年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}的重現(xiàn)期計(jì)算公式是正確的。不難看出，由式（20）—式（24）也可以得到年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}的重現(xiàn)期與分期A1或A2形成年最大洪水超過(guò)事件重現(xiàn)期的關(guān)系式

以上推導(dǎo)了年最大洪水與分期最大洪水重現(xiàn)期間的關(guān)系，以下將推導(dǎo)幾種分期最大洪水事件的重現(xiàn)期。如果工程破壞可視為超過(guò)某一門(mén)限洪水值，則以下幾種事件的重現(xiàn)期可作為工程發(fā)生破壞的重現(xiàn)期，可為年防洪標(biāo)準(zhǔn)與工程發(fā)生破壞關(guān)系分析提供依據(jù)。

4.3 給定分期內(nèi)最大洪水超過(guò)某一洪水事件發(fā)生的重現(xiàn)期 對(duì)于每一個(gè)分期最大洪水序列，它是每年按照給定分期劃分選取一個(gè)最大值，因此，對(duì)于分期最大洪水事件超過(guò)概率x和y是分期最大洪水，不是年最大洪水。按照式（2），有重現(xiàn)期

分別是發(fā)生在分期A1和A2內(nèi)超過(guò)事件的重現(xiàn)期，但是，他們并不是年最大洪水的重現(xiàn)期，如果去掉分期A1和A2的條件，式（26）是不成立的。分別按分期A1和A2內(nèi)最大洪水序列x1，x2，…，xn、y1，y2，…，yn估計(jì)分布參數(shù)。

式（19）、式（26）表明年最大洪水事件發(fā)生的重現(xiàn)期與給定分期最大洪水事件的重現(xiàn)期計(jì)算公式形式相同。但是，二者反映的洪水事件不同。式（26）中，當(dāng)分期A1和A2最大洪水為年最大洪水時(shí)，其重現(xiàn)期分別為但是，分別為分期A1和A2內(nèi)最大洪水序列超過(guò)概率，式（19）中GA(q)=P(Q＞q)為年最大洪水超過(guò)概率，三者分布函數(shù)值不同。式（19）、式（26）也可以進(jìn)一步表示年最大洪水事件{Q＞q}發(fā)生的重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)于分期A1或A2內(nèi)最大洪水事件{X＞q}、{Y＞q}發(fā)生的重現(xiàn)期，其關(guān)系式為

因?yàn)樗杂幸沧C明了丁晶等［16“］現(xiàn)行分期設(shè)計(jì)洪水方法采用分期最大洪水選樣，根據(jù)這種洪水系列計(jì)算出的洪水頻率本質(zhì)上不同于全年最大洪水系列推求出的洪水頻率?！?，分期洪水的重現(xiàn)期一般較年洪水重現(xiàn)期長(zhǎng)［1，28］”的結(jié)論。

4.4 一年中分期最大洪水至少發(fā)生一次超過(guò)某一洪水的重現(xiàn)期 這類(lèi)問(wèn)題通常假定洪水超過(guò)w時(shí)，w為分期季節(jié)最大洪水。如果洪水超過(guò)w視為破壞事件，則這類(lèi)問(wèn)題等價(jià)于一年內(nèi)至少發(fā)生一次破壞。一年中分期A1和A2內(nèi)至少發(fā)生一次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為T(mén)′A，其可能發(fā)生的事件組合有{X≤w，Y＞w}，{X＞w，Y≤w}，{X＞w，Y＞w}。設(shè)E1表示分期A1和A2內(nèi)最大洪水至少發(fā)生一次超過(guò)洪水w，則E1={X≤w，Y＞w}?{X＞w，Y≤w}?{X＞w，Y＞w}。根據(jù)概率原理，假定分期洪水分布獨(dú)立，有P(E1)=1-P(X≤w，Y≤w)=1-P(X≤w)P(Y≤w)，或P(E1)=P(X≤w)P(Y＞w)+P(X＞w)P(Y≤w)+P(X＞w)P(Y＞w)=P(X＞w)+P(Y＞w)-P(X＞w)P(Y＞w)。

在T′A年內(nèi)，設(shè)事件E1發(fā)生數(shù)目的期望值為E(N′)，根據(jù)概率原理，E(N′)=T′AP(E1)，則分期最大洪水至少發(fā)生一次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為即

4.5 一年中分期最大洪水發(fā)生一次超過(guò)某一洪水的重現(xiàn)期 設(shè)一年中，分期最大洪水發(fā)生一次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為T(mén)″A，同樣，如果洪水超過(guò)w視為破壞事件，則這類(lèi)問(wèn)題等價(jià)于一年內(nèi)發(fā)生一次破壞。分期A1和A2內(nèi)，分期最大洪水發(fā)生一次超過(guò)某一洪水w可能發(fā)生的事件組合有{X≤w，Y＞w}，{X＞w，Y≤w}。設(shè)E2表示分期A1和A2內(nèi)最大洪水發(fā)生一次超過(guò)洪水w，則E2={X≤w,Y＞w}?{X＞w，Y≤w}。

根據(jù)概率原理，假定分期洪水分布獨(dú)立，有P(E2)=1-P(X≤w，Y≤w)-P(X＞w，Y＞w)。在T″A年內(nèi)，設(shè)事件E2發(fā)生數(shù)目的期望值為E(N″)，根據(jù)概率原理，有E(N″)=T″AP(E2)，分期最大洪水發(fā)生一次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為即

4.6 一年中分期最大洪水發(fā)生兩次超過(guò)某一洪水的重現(xiàn)期 設(shè)一年中，分期最大洪水發(fā)生兩次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為T(mén)′A。與上述類(lèi)似，這類(lèi)問(wèn)題等價(jià)于一年內(nèi)至少發(fā)生兩次破壞。分期A1和A2內(nèi)，分期最大洪水發(fā)生兩次超過(guò)某一洪水w可能發(fā)生的事件組合有{X＞w，Y＞w}。設(shè)E3表示分期A1和A2內(nèi)最大洪水發(fā)生兩次某一洪水w，則E3={X＞w，Y＞w}。

根據(jù)概率原理，假定分期洪水分布獨(dú)立，有：P(E3)=1-P(X≤w，Y≤w)-P(X≤w，Y＞w)-P(X＞w，Y≤w)=1-P(X≤w)P(Y≤w)-P(X≤w)P(Y＞w)-P(X＞w)P(Y≤w)。

在T′A年內(nèi)，設(shè)事件E3發(fā)生數(shù)目的期望值為E(N′)，根據(jù)概率原理，有分期最大洪水發(fā)生兩次超過(guò)某一洪水w的重現(xiàn)期為即

5 應(yīng)用實(shí)例

本文采用南四湖流域1963—2008年分期7日最大入湖洪量資料，說(shuō)明文中分期洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型的應(yīng)用。南四湖位于山東省西南部，屬淮河流域沂沭泗水系［30-31］，由微山湖、昭陽(yáng)湖、獨(dú)山湖和南陽(yáng)湖等4個(gè)湖組成（見(jiàn)圖1［32］），是我國(guó)典型的暖溫帶季風(fēng)氣候區(qū)，也是我國(guó)北方最大和全國(guó)第六大淡水湖。流域降水具有明顯的季節(jié)性規(guī)律，年內(nèi)分配極不均勻，汛期6—9月降水占全年的75%以上，其中7、8兩月約占全年的57%。南四湖流域面積31 700 km2，湖面面積約1266 km2，東西寬5～22.8 km，南北長(zhǎng)122.6 km，湖面中部最窄，具有防洪、排澇、灌溉、供水、養(yǎng)殖、航運(yùn)及旅游等多種功能，是南水北調(diào)東線工程必經(jīng)之路和重要調(diào)蓄場(chǎng)所。

圖1 南四湖流域水系示意[32]

經(jīng)流域洪水計(jì)算，整個(gè)汛期劃分為主汛期（6月1日—8月20日）和后汛期（8月21日—9月30日），年最大洪水發(fā)生在主汛期和后汛期。按照文獻(xiàn)［30-31］分析，年最大洪水、主汛期和后汛期序列均滿足洪水頻率計(jì)算要求。本文由于無(wú)法確定分期歷史特大洪水，暫不考慮歷史特大洪水。分析結(jié)果表明，Gamma分布相對(duì)擬合較好，因此，本文選用Gamma分布。設(shè)主汛期最大7日洪量事件集為A1，后汛期最大7日洪量事件集為A2；年最大洪水為Q，主汛期最大7日洪量為X，后汛期最大7日洪量為Y。經(jīng)計(jì)算，年最大7日洪量、主汛期和后汛期最大7日洪量序列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)和分布參數(shù)見(jiàn)表1。

式中，a、b分別為形狀和尺度參數(shù)。

表1 年最大7日洪量、主汛期和后汛期最大7日洪量序列統(tǒng)計(jì)參數(shù)和分布參數(shù)

5.1 年最大洪水{Q}分布計(jì)算 年最大洪水{Q}分布由分期洪水分布來(lái)計(jì)算。首先采用常規(guī)水文頻率參數(shù)估計(jì)方法（矩法、極大似然法、概率權(quán)重法、線性矩法和熵值法等）估計(jì)分期洪水序列參數(shù)，其次，對(duì)于給定的年最大洪水超過(guò)值q，代入上述3種分期洪水概率計(jì)算模型，即可獲得年最大洪水分布超過(guò)事件概率值P(Q＞q)。對(duì)于式（3）全概率模型，采用主汛期的年最大洪水序列{Q|A1}和發(fā)生在后汛期的年最大洪水序列{Q|A2}序列分布參數(shù)，本例經(jīng)計(jì)算P(A1)=0.8043，P(A2)=0.1957。對(duì)于式（13）極值分布模型、式（15）混合分布模型，采用主汛期最大洪水{X}和后汛期最大洪水{Y}序列分布參數(shù)。極大似然法也可以通過(guò)構(gòu)建發(fā)生在主汛期的年最大洪水序列{Q|A1}和發(fā)生在后汛期的年最大洪水序列{Q|A2}聯(lián)合似然函數(shù)，主汛期最大洪水序列{X}和后汛期最大洪水序列{Y}聯(lián)合似然函數(shù)進(jìn)行分期洪水序列分布參數(shù)估計(jì)。

全概率模型的極大似然函數(shù)為

式中：

極值分布模型和混合分布模型的極大似然函數(shù)為

式中：

5.2 年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}設(shè)計(jì)值計(jì)算 如果年最大洪水{Q}分布概率函數(shù)確定下，也可直接利用式（19）的逆函數(shù)求得設(shè)計(jì)值qT，即

給定年最大值超過(guò)事件{Q＞q}重現(xiàn)期TA下，由于式（14）—式（15）和式（18）為設(shè)計(jì)值qT的隱函數(shù)，不能直接計(jì)算qT。因此，設(shè)計(jì)值qT可按式（14）—式（15）和式（18）利用迭代法求得對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)值。

經(jīng)計(jì)算，主汛期和后汛期最大7日洪量序列分布參數(shù)如表1所示，經(jīng)迭代法計(jì)算，年最大洪水分布擬合圖見(jiàn)圖2。從圖2可以看出，年最大洪水分布取得較好的擬合效果。

圖2 年最大洪水序列頻率擬合

5.3 年最大洪水超過(guò)事件{Q＞q}重現(xiàn)期與分期發(fā)生最大洪水超過(guò)事件重現(xiàn)期的關(guān)系 在上述年最大洪水分布擬合的基礎(chǔ)上，圖3給出了年最大洪水重現(xiàn)期與等值的分期最大洪水重現(xiàn)期間的關(guān)系圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示）。圖3（a）為給定年最大洪水重現(xiàn)期下TA，與年最大洪水設(shè)計(jì)值qTA等值的洪水分別按主汛期和后汛期洪水分布重現(xiàn)期模型計(jì)算的重現(xiàn)期。從圖3（a）可以看出，主汛期、后汛期重現(xiàn)期大于年洪水重現(xiàn)期，這與丁晶等［16］的結(jié)論是相同的。給定年最大洪水重現(xiàn)期下TA，其相應(yīng)的年最大洪水設(shè)計(jì)值qTA按發(fā)生在主汛期、后汛期的年最大洪水重現(xiàn)期模型計(jì)算重現(xiàn)期見(jiàn)圖3（b）。圖3（b）也表明主汛期、后汛期重現(xiàn)期大于年洪水重現(xiàn)期。

圖3 年最大洪水重現(xiàn)期與等值的分期最大洪水重現(xiàn)期關(guān)系

5.4 蒙特卡洛試驗(yàn) 應(yīng)用蒙特卡洛試驗(yàn)驗(yàn)證文中分期洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型。取模擬樣本組數(shù)N=1000，樣本長(zhǎng)度n=10 000，按照上述模型，經(jīng)模擬計(jì)算，樣本經(jīng)驗(yàn)重現(xiàn)期與文中模型理論重現(xiàn)期見(jiàn)圖4—圖7（對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示）。從圖中可以看出，樣本經(jīng)驗(yàn)重現(xiàn)期與文中模型理論重現(xiàn)期一致，說(shuō)明文中推導(dǎo)有關(guān)分期洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型是正確的。

圖4 年最大洪水重現(xiàn)期模擬

圖5 分期最大洪水發(fā)生年最大洪水的重現(xiàn)期模擬

圖6 分期最大洪水重現(xiàn)期模擬

圖7 一年中分期最大洪水超越某一值的重現(xiàn)期模擬

6 結(jié)論

分期設(shè)計(jì)洪水是水庫(kù)安全防洪、提高興利效益和洪水資源安全利用的重要依據(jù)。分期設(shè)計(jì)洪水的數(shù)學(xué)期望推導(dǎo)是非常復(fù)雜的，難以獲得解析計(jì)算公式。本文應(yīng)用概率原理，結(jié)合分期洪水事件的特性，從重現(xiàn)期的定義出發(fā)，推導(dǎo)了水文事件重現(xiàn)期計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了分期洪水計(jì)算中幾種常見(jiàn)事件的重現(xiàn)期計(jì)算公式，以期為分期設(shè)計(jì)洪水計(jì)算提供支撐。取得以下主要研究結(jié)論。

（1）年最大洪水與分期最大洪水由于其選樣不同，雖然重現(xiàn)期計(jì)算公式形式相同，但是，其表達(dá)的物理意義不同，年最大洪水超過(guò)事件概率倒數(shù)與分期最大洪水超過(guò)事件概率倒數(shù)表示的重現(xiàn)期大小不同。分期發(fā)生年最大洪水值的重現(xiàn)期大于該年最大洪水值的重現(xiàn)期。

（2）一些流域年最大洪水可能是由暴雨、融雪和颶風(fēng)形成的，因而，洪水分布通常為混合分布，即非一致性序列，不能按照常規(guī)的水文頻率分析方法直接按年最大洪水序列計(jì)算分布參數(shù)，必須按照年最大洪水概率與分期最大洪水概率的關(guān)系模型來(lái)計(jì)算確定。

（3）蒙特卡洛試驗(yàn)結(jié)果表明，文中推導(dǎo)的有關(guān)分期最大洪水重現(xiàn)期與經(jīng)驗(yàn)重現(xiàn)期一致，表明文中有關(guān)分期最大洪水重現(xiàn)期計(jì)算模型是正確的。

（4）對(duì)于具有歷史特大分期洪水值的地區(qū)，為了提高洪水計(jì)算精度，分期洪水分布參數(shù)估計(jì)應(yīng)考慮歷史特大洪水值。文中模型是假定分期最大洪水獨(dú)立同分布，各分期最大洪水也相互獨(dú)立，對(duì)于相依性分期最大洪水的重現(xiàn)期計(jì)算有待于進(jìn)一步研究。

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