（江蘇省淮陰中學(xué)開明校區(qū)）

近日，筆者所在的江蘇省淮陰中學(xué)教育集團進行了一場九年級階段性測試，作為數(shù)學(xué)閱卷負(fù)責(zé)人，筆者對試卷的最后一道壓軸題思考頗多，現(xiàn)將思考過程與各位同仁交流如下.

一、題目再現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=9，動點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運動，當(dāng)點Q運動到點A時，點P，Q同時停止運動.以PQ為邊作正方形PQEF（點P，Q，E，F(xiàn)按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH，設(shè)點P運動的時間為t．

（1）求tanA的值；

（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時，求t的值；

（3）當(dāng)t為何值時，正方形PQEF的頂點F落在正方形QCGH的邊上，直接寫出t的值.

圖1

題目提供的參考答案非常簡潔，第（1）（2）小題自然無需研究，關(guān)鍵是第（3）小題，答案是怎么得到的？

二、解決問題

憑借幾何畫板軟件的演示效果，以及空間想象，我們確定點F落在正方形QCGH的邊上只有兩種情況.

情況1：如圖2，當(dāng)點F落在邊HG上時，

圖2

作PM⊥AC于點M，交GH的延長線于點N.

因為AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9-9t.

由△PMQ≌△FNP，

得PN=9-9t.

因為MN=HQ=QC，

所以9-9t+3t=5t.

解得

情況2：如圖3，當(dāng)點F落在邊GC上時，

作PM⊥AC于點M，過點P作TN⊥GC于點N.

因為AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9t-9.

由△QTP≌△PNF，

得PN=PM=3t.

因為TN=QC，

所以9t-9+3t=5t.

解得

因為

所以

上述問題似乎得到圓滿解決，可是仔細(xì)想想，問題很多.

圖3

三、思考之路

1.如何分類

因為正方形QCGH有4條邊，所以點F落在正方形QCGH的邊上應(yīng)該分為四類：點F落在邊QH上；點F落在邊HG上；點F落在邊GC上；點F落在邊CQ上.另外兩類為什么不考慮？學(xué)生在考試中不能利用幾何畫板軟件，空間想象力又達(dá)不到，該怎么辦？當(dāng)然，計算是最有說服力的方法.

情況3：如圖4，當(dāng)點F落在邊QH上時，作PM⊥AC于點M.

圖4

因為AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9-9t.

由△PMQ是等腰直角三角形，得

PM=MQ.

所以9-9t=3t.

解得

情況4：如圖5，當(dāng)點F落在邊AC上時，作PM⊥AC于點M.

圖5

因為AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則QM=9t-9.

由△PMQ是等腰直角三角形，

得PM=MQ.

所以9t-9=3t.

2.如何畫圖

事實上，上述圖形比較難畫，這也是學(xué)生解題時遇到的最大困難.若先在∠A的兩邊上取AP=CQ，確定點P，Q的位置，再畫出正方形PQEF，此時的點F很難恰巧就在正方形QHGC的邊上，要么將就，要么就通過不斷調(diào)整點P，Q的位置來達(dá)到要求.可是即便如此，點F落在邊QH上和邊CQ上還是畫不好，因為根本不可能.

怎樣才能既快又好地畫出體現(xiàn)題意的圖形呢？分析發(fā)現(xiàn)：此題畫圖的關(guān)鍵是畫出兩個正方形的相對位置，而AP與CQ雖然相等，但是不畫相等不影響解題.于是可以采用逆向畫圖的方法：（1）先畫出正方形QHGC；（2）在正方形的一條邊上取一點F；（3）以FQ為對角線畫正方形QPFE；（4）最后畫∠CAP.

下面以圖4為例分步畫圖，如圖6所示.

圖6

這樣的圖形基本上準(zhǔn)確地表達(dá)了題意（除了AP，CQ不相等外），更方便了計算.

3.如何取舍

研究不存在的兩解如何舍去，也就自然涉及到另外兩解為什么合理.

圖2中，當(dāng)時，所以NH＜NF＜NG，即點F在邊HG上.

圖4中，當(dāng)時，F(xiàn)Q=6t，HQ=5t.因為6t＞5t，所以FQ＞HQ，即點F不在邊HQ上.

圖5中，當(dāng)時，F(xiàn)Q=6t，QC=5t.因為6t＞5t，所以QF＞QC，即點F不在邊QC上.

綜上可得，是不符合題意的.同時這一過程也讓我們進一步發(fā)現(xiàn)，情況1和情況2必須通過計算、比較，才能判斷點F一定在邊HG，GC上.情況3和情況4無需計算t的值，只要通過比較，就可以判斷點F不可能在邊HQ，QC上.

4.還可以如何計算

考慮到此題4種情況畫圖難度大，且需要進行比較、取舍，聯(lián)想到平面直角坐標(biāo)系，此題可以通過建立平面直角坐標(biāo)系來解決問題.

以點A為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

當(dāng)點P，Q所在直線垂直于x軸時，因為AM+CQ=9，所以4t+5t=9.解得t=1.

① 當(dāng)0＜t≤1時，如圖7，作PM⊥AC于點M，作FN⊥MP交MP的延長線于點N.

圖7

因為AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9-9t.

由△PMQ≌△FNP，

得NP=9-9t，NM=9-9t+3t=9-6t.

此時N(4t，9-6t)，F(xiàn)(7t，9-6t).

若點F落在QH上，

則點F，H的橫坐標(biāo)相等，

所以7t=9-5t.

解得

此時，點F的縱坐標(biāo)為點H的縱坐標(biāo)為

因為

所以點F不在邊QH上.

若點F落在HG上，

因為點F，H的縱坐標(biāo)相等，

所以5t=9-6t.解得

此時，點F的橫坐標(biāo)為點H的橫坐標(biāo)為點G的橫坐標(biāo)為9.

因為

所以點F在邊HG上.

②當(dāng)時，如圖8，作PM⊥AC于點M，作PN⊥PM交PM的平行線GC于點N.

圖8

因為AP=CQ=5t，所以PM=3t，AM=4t.

則MQ=9t-9.

由△PMQ≌△PNF，

得PN=3t，NF=9t-9.

此時N(7t，3t)，F(xiàn)(7t，9-6t).（這時發(fā)現(xiàn)點F的坐標(biāo)表達(dá)式不變.）

若點F落在GC上，

因為點F，C的橫坐標(biāo)相等，

所以

此時，點F的縱坐標(biāo)為點G的縱坐標(biāo)為

因為

所以點F在邊GC上.

若點F落在CQ上，因為點F，C的縱坐標(biāo)相等，

所以

此時，點F的橫坐標(biāo)為點C的橫坐標(biāo)為9.

因為

所以點F不在邊CQ上.

綜上可得

四、解題感悟

1.分類是方向

關(guān)于分類，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程.教學(xué)活動中，要使學(xué)生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)……

此題是由點P，Q的運動而產(chǎn)生不同的情況，因此，必須考慮動點運動的全過程，即以點F落在正方形QCGH的哪一條邊上作為分類標(biāo)準(zhǔn)，分成四類，這是解題的大方向.至于幾何畫板軟件的演示，它雖然能夠幫助我們直觀地看到動點的運動過程（即符合條件的點只有兩類），但是也只能在教師講解時幫助學(xué)生理解，在實際解題中學(xué)生是無法想象出來的.

2.畫圖是關(guān)鍵

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老也是最基本的研究對象，數(shù)形結(jié)合思想包括以數(shù)解形、以形助數(shù)兩個方面.此題如果沒有圖形，求點P運動的時間（數(shù)）將無法進行，快速畫出能夠恰當(dāng)表達(dá)題意的圖形是解題的關(guān)鍵.此題的四個圖形中有兩個符合題意，畫起來較容易，而另外兩種原本就不存在，如果按照圖形的形成順序畫，就很難畫出頂點F落在正方形QCGH相關(guān)邊上的正方形，即使勉強畫出也會因圖形變形而使計算陷入困境.逆向畫圖的方法成功解決了這一困難，至于圖中AP，CQ長度不等對解題幾乎沒有影響.

3.計算是核心

這里說的計算不僅僅是一般意義上根據(jù)法則和運算律的運算，而是結(jié)合圖形，構(gòu)造模型、思路可行的綜合思維過程，準(zhǔn)確的計算結(jié)果是數(shù)學(xué)綜合能力的展現(xiàn)，也是題目的核心.此題圖2、圖3兩種情況的計算過程中緊扣正方形的特征構(gòu)造基本圖形“一線三等角”，列方程解決問題，而圖7、圖8通過建系，不追求形的到位，通過不同位置的坐標(biāo)特征來解決問題，這也正是數(shù)形結(jié)合的另一方面“以數(shù)解形”的具體體現(xiàn).

4.取舍是點睛

準(zhǔn)確的計算是核心，答案的取舍可謂點睛之筆，是完美解題的收官動作.此題答案的取舍，可以通過符合題意的畫圖進行，但心中難免忐忑.一般綜合題的答案取舍往往由動點運動的時間范圍來確定，但是此題例外，所有答案均在時間范圍內(nèi).通過對計算過程的進一步分析發(fā)現(xiàn)，得出答案的過程都抓住了點運動的一個維度（橫或豎），因此必須檢驗另一個維度是否滿足，建系方法的靈感也就來源于這一檢驗要求，點睛之筆使結(jié)果更加完美，也使解題過程更加豐富.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.