賈晨

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)既是高中數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)的重要要求，也是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師講授的難點(diǎn)之一，將數(shù)學(xué)建模的思想融入這一部分教學(xué)，可有效提高教學(xué)習(xí)效果。本文針對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，介紹了相關(guān)數(shù)學(xué)建模案例設(shè)計(jì)，有一定的教學(xué)意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 模型設(shè)計(jì)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642；O171-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）14-0129-01

一、引言

函數(shù)的定義及其性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，同時(shí)也是后續(xù)學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，但是函數(shù)定義的抽象性給學(xué)生學(xué)習(xí)和老師講授上述概念及性質(zhì)帶來(lái)了很大的困難，因此這一部分內(nèi)容也成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的難點(diǎn)之一。

數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用緊密聯(lián)系起來(lái)，是數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用之間的橋梁，將數(shù)學(xué)建模的思想融入函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)，起到理論聯(lián)系實(shí)際的作用，能提高學(xué)生對(duì)這些抽象概念與性質(zhì)的理解和掌握，是十分必要的。

而在兩者的結(jié)合上，合適的案例的選取與構(gòu)造，又是決定建模思想輔助函數(shù)教學(xué)效果好壞的關(guān)鍵。已有文獻(xiàn)中提出了一些用以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)定義與性質(zhì)理解的數(shù)學(xué)建模案例，但這些案例大多屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題范疇，大多數(shù)已經(jīng)不是直接來(lái)自實(shí)際，而是經(jīng)過(guò)了一定程度的數(shù)學(xué)建模加工得到的成品或半成品，問(wèn)題的提法已經(jīng)是數(shù)學(xué)化、理想化，具有條件清楚準(zhǔn)確、不多不少、結(jié)論確定唯一、結(jié)果符合實(shí)際、不需要進(jìn)一步修改和完善等特點(diǎn)，與數(shù)學(xué)建模有較大差別，因而在上述輔助教學(xué)方面起到的作用較為有限。本文將針對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，介紹相關(guān)的建模案例的設(shè)計(jì)。

二、基于數(shù)學(xué)建模思想的函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

（一）指數(shù)函數(shù)的模型設(shè)計(jì)

諾貝爾獎(jiǎng)是瑞典化學(xué)家諾貝爾設(shè)立的。諾貝爾在逝世前立下遺囑，把遺產(chǎn)的一部分約3100萬(wàn)瑞典克朗作為基金用于證券投資，投資獲利平均分成兩份，一份用于追加投資以彌補(bǔ)物價(jià)上漲帶來(lái)的影響，另一份用于獎(jiǎng)勵(lì)在物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和生理學(xué)、文學(xué)、世界和平方面做成巨大貢獻(xiàn)的人（1968年增設(shè)經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)）。試建立模型分析諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的變化情況。

模型假設(shè)

1.為方便計(jì)算，紅利從頒發(fā)年份（1901）年算起。

2.假設(shè)年利率保持不變。

符號(hào)約定

y0，yn，xn，r分別表示起始本金、第n年本金、第n年利息和年利率。

模型建立

y1=y0+■=y01+■，x1=■

……

yn=yn-1+■=y01+■■，xn=■=y01+■■■

通過(guò)初始年份的獎(jiǎng)金數(shù)據(jù)擬合得到利率r≈0.06640，代入xn即可得到任意年份獎(jiǎng)金的數(shù)值。例如，2015年獎(jiǎng)金值（單位：萬(wàn)瑞典克朗）

. x115=y01+■■■=3100×1+■■×■=710.2

2015年，我國(guó)科學(xué)家屠呦呦與國(guó)外兩名科學(xué)家共同獲得諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，當(dāng)年諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為800萬(wàn)瑞典克朗。

模型分析與改進(jìn)的教學(xué)延展

基于復(fù)利理論，建立了反映獎(jiǎng)金變化規(guī)律的指數(shù)函數(shù)模型，數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果表明該模型具有較好的可信度。 此案例可有我國(guó)數(shù)學(xué)家獲得諾貝爾獎(jiǎng)引入，提出諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金確定問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而在模型建立過(guò)程中通過(guò)教師引導(dǎo)下的學(xué)生自主探索，建立復(fù)利情形下投資增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)模型，這一過(guò)程顯然能較好地幫助學(xué)術(shù)理解指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。同時(shí)，通過(guò)更合理的假設(shè)，模型可進(jìn)一步改進(jìn)，這可以在教師的指導(dǎo)下以學(xué)生小組探索的形式在課后完成。

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)的模型設(shè)計(jì)

1981年4月，中國(guó)社會(huì)科學(xué)院考古研究所宣布，在我國(guó)新疆羅布泊地區(qū)發(fā)現(xiàn)樓蘭古尸，為了科學(xué)研究的需要，必須盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)古尸的年代。

一個(gè)可以考慮的年代估計(jì)方法是利用古尸中的碳14含量，測(cè)量結(jié)果表明女尸中碳14的剩余量為初始值的一半。而研究發(fā)現(xiàn)碳14經(jīng)過(guò)1000年剩余量為初始值的84%。下面建立碳14揮發(fā)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)古尸年代進(jìn)行合理推測(cè)。

假設(shè)初始時(shí)刻碳14含量為1，根據(jù)揮發(fā)速度與剩余量成正比的規(guī)律，剩余量與時(shí)間具有如下關(guān)系x=e-kt，，其中t表示時(shí)間，k為揮發(fā)系數(shù)。則考慮時(shí)間和剩余量的函數(shù)關(guān)系，則有如下對(duì)關(guān)系t=-■lnx。這是一個(gè)單調(diào)遞減的對(duì)數(shù)函數(shù)，其中常數(shù)k計(jì)算如下：

碳14經(jīng)過(guò)1000年剩余量為初始值的84%，計(jì)算得k=0.0001744

代入得到碳14揮發(fā)時(shí)間與剩余量的函數(shù)

t=-■

考慮女尸中碳14含量為初始值一半，即x=0.5，代入得

t（0.5）=-■ln0.5≈3974

根據(jù)模型計(jì)算結(jié)果， “樓蘭女尸”死亡時(shí)距今約4000年。

本節(jié)課從學(xué)生感興趣的“樓蘭古尸”問(wèn)題出發(fā)，采用“引—導(dǎo)—探—?dú)w—用—結(jié)”教學(xué)方法，內(nèi)容不是老師羅列式的拋出而是通過(guò)學(xué)生思考基礎(chǔ)上的探索，進(jìn)而建立變量之間的對(duì)數(shù)函數(shù)模型，讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中掌握相關(guān)知識(shí)。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)教學(xué)，既可以有效提高函數(shù)理論的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，開(kāi)展相關(guān)問(wèn)題的理論研究與實(shí)踐研究都有十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]楊啟帆.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2005.