楊文杰

【摘 要】學(xué)生在走進(jìn)課堂之前，已經(jīng)擁有自然概念，具備解決問(wèn)題的基本策略，以及解決問(wèn)題過(guò)程中的自我監(jiān)控和調(diào)解能力都會(huì)對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。如“平行四邊形的面積”一課，學(xué)生基于長(zhǎng)方形面積公式的經(jīng)驗(yàn)習(xí)得，學(xué)生的元認(rèn)知需要經(jīng)歷從“錯(cuò)誤”的原初構(gòu)想到“正確”的最終認(rèn)知調(diào)正過(guò)程。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中可以先分析學(xué)生平行四邊形面積相異認(rèn)知的形成原因，從各種調(diào)正路徑借鑒調(diào)正經(jīng)驗(yàn)，尋求最利于學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的調(diào)正路徑來(lái)達(dá)成相異構(gòu)想的調(diào)正。

【關(guān)鍵詞】相異構(gòu)想；轉(zhuǎn)化思想；平行四邊形面積

在幾何圖形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軐?duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生促進(jìn)作用，但是也有可能產(chǎn)生一些負(fù)面影響。學(xué)生在解決新的問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)受到一些無(wú)關(guān)特征的影響，從而導(dǎo)致認(rèn)知錯(cuò)誤或者誤解，從而產(chǎn)生對(duì)新事物的錯(cuò)誤認(rèn)知，也就是對(duì)新知識(shí)的錯(cuò)誤的相異構(gòu)想。在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中，很多學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形的面積就是鄰邊相乘這樣的錯(cuò)誤的相異構(gòu)想。而我們?cè)诮虒W(xué)中，要基于這樣的錯(cuò)誤構(gòu)想，進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，從而達(dá)到從“錯(cuò)誤”到“正確”的調(diào)正目的。

一、相異構(gòu)想產(chǎn)生的原因分析

學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形面積計(jì)算方法就是鄰邊相乘這樣錯(cuò)誤的相異構(gòu)想，是受到以往知識(shí)概念、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、心理因素等多種因素的影響。

幾何視覺(jué)的錯(cuò)誤判斷：我們知道長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，兩組對(duì)邊分別平行且相等。在觀察兩個(gè)性質(zhì)類似，大小、邊長(zhǎng)等差距比較小的圖形時(shí)，學(xué)生的幾何視覺(jué)就直接認(rèn)同了兩個(gè)圖形面積計(jì)算的相似性，有些學(xué)生則會(huì)直觀認(rèn)為面積大小相等。“很像”和“真實(shí)”是不同的，這部分學(xué)生僅僅憑借幾何視覺(jué)就定義了平行四邊形面積計(jì)算方法，從而導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的相異構(gòu)想。

上位知識(shí)學(xué)習(xí)程度影響：平行四邊形面積的上位知識(shí)是面積的概念。歐幾里得幾何概念的建構(gòu)認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)面積概念是基于測(cè)量能力的發(fā)展，同時(shí)指出學(xué)生習(xí)得面積概念的發(fā)展形成于十五歲左右。受到個(gè)體心理發(fā)展差異的影響，五年級(jí)的有些兒童，測(cè)量能力還停留在長(zhǎng)度和距離一維程度，無(wú)法建立二維層面上的測(cè)量。而在學(xué)習(xí)平行四邊形面積前，學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形面積，所以簡(jiǎn)單地把平行四邊形面積計(jì)算方法思考為“長(zhǎng)×寬”。

圖形運(yùn)動(dòng)觀念的缺乏：平行四邊形面積的計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程是基于轉(zhuǎn)化的思想，而這個(gè)轉(zhuǎn)化其本質(zhì)是圖形的剪拼，也就是圖形的變換與運(yùn)動(dòng)。圖形的變換概念的形成也是源自學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要具有圖形的直覺(jué)，而且要具有圖形會(huì)動(dòng)的直覺(jué)。產(chǎn)生“S=ab”的錯(cuò)誤相異構(gòu)想，并不是學(xué)生頭腦中無(wú)轉(zhuǎn)化思想，而是恰巧有了轉(zhuǎn)化的想法，卻存在著轉(zhuǎn)化過(guò)程中的錯(cuò)誤。這個(gè)錯(cuò)誤形成的原因主要是學(xué)生在轉(zhuǎn)化過(guò)程中缺乏圖形變換的經(jīng)驗(yàn)，缺少對(duì)于圖形整體拼組過(guò)程中整體的運(yùn)動(dòng)的面積守恒的認(rèn)識(shí)。

幾何推理能力的不足：學(xué)生錯(cuò)誤地把平行四邊形面積計(jì)算為鄰邊相乘，是學(xué)生幾何推理能力不足的體現(xiàn)。因?yàn)闆](méi)有一定的操作指導(dǎo)（學(xué)生對(duì)模型、圖形或表象進(jìn)行思維操作），所以學(xué)生只能“直覺(jué)”對(duì)“空想”，這對(duì)于平行四邊形面積計(jì)算的推導(dǎo)是沒(méi)有根據(jù)的，所以產(chǎn)生錯(cuò)誤的相異構(gòu)想也是情有可原的。這一階段兒童的幾何推理能力還不能脫離直觀的操作實(shí)驗(yàn)，這也是我們教師在課堂上需要補(bǔ)足的短板。

綜上分析，在平行四邊形面積的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生錯(cuò)誤的相異構(gòu)想形成是基于學(xué)生在解決新問(wèn)題中已經(jīng)有了初步的“轉(zhuǎn)化”意識(shí)，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹稗D(zhuǎn)化”方式（面積守恒），從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)化結(jié)果（S=ab）。

二、相異構(gòu)想調(diào)正轉(zhuǎn)化的路徑

基于學(xué)生的錯(cuò)誤相異構(gòu)想，我們需要給學(xué)生提供診斷的調(diào)正路徑，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而有效地根除學(xué)生的錯(cuò)誤概念。當(dāng)然借鑒別人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，選擇最優(yōu)的調(diào)正路徑，也不失為一種好的策略方法。以下筆者將從本節(jié)課的引入—調(diào)正—反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)平行四邊形面積計(jì)算公式從“異”到“正”的調(diào)正目標(biāo)。

調(diào)正引入：不規(guī)則圖形面積比較，引入“轉(zhuǎn)化”思想

生：一樣大。因?yàn)槎加?2格。

師：你是通過(guò)數(shù)格子的方法來(lái)比較的是嗎？

生：是的。

師：一個(gè)圖形包含有幾個(gè)單位面積，面積就是多少。

師：還有不同的方法進(jìn)行比較的嗎？

生：我是把圖形①中的那個(gè)凸出來(lái)的部分移到下面，正好變成了和圖形②一模一樣的長(zhǎng)方形。所以它們的面積相等。

師：（PPT動(dòng)態(tài)演示）是的，這樣利用平移把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形是一個(gè)不錯(cuò)的方法，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，什么變了，什么沒(méi)變？

生：形狀變了，面積沒(méi)變。周長(zhǎng)變了。（生上臺(tái)手指）

師：是的，像這樣經(jīng)過(guò)分割、移補(bǔ)后圖形的面積沒(méi)有改變，這也是數(shù)學(xué)中所說(shuō)的“出入相補(bǔ)”原理。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的原有認(rèn)知已經(jīng)有了轉(zhuǎn)化的意識(shí)，只是在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中缺乏面積守恒的概念。為了弱化其他因素，特別是為了摒棄長(zhǎng)方形面積公式的干擾，筆者借鑒蘇教版和北師大版教材的編排，用不規(guī)則圖形面積大小比較來(lái)引入學(xué)習(xí)。呈現(xiàn)格子圖的目的是為了讓學(xué)生的認(rèn)知回歸到事物的原點(diǎn)，即面積的本質(zhì)屬性——單位面積的累加。分割、移補(bǔ)圖形的過(guò)程讓學(xué)生直面面積轉(zhuǎn)化“形變而積不變?cè)怼?，形成面積守恒的概念。

調(diào)正初階：借助格子圖，回歸面積本質(zhì)的探索糾正

師：同學(xué)們，我們也學(xué)過(guò)平行四邊形了，這個(gè)平行四邊形的面積是多少？

生1：數(shù)格子，36平方厘米。

師：你是怎么數(shù)的？

生1：滿格是1平方厘米，超過(guò)半格的也是1平方厘米，不足半格的就忽略。

師：你是用估計(jì)數(shù)的方法，還有其他數(shù)的方法嗎？

生2：我數(shù)出來(lái)是35平方厘米，我發(fā)現(xiàn)左邊的那個(gè)不足1平方厘米的格子可以拼到右邊，正好是1格。

師：我們一起來(lái)拼一拼（根據(jù)學(xué)生動(dòng)手操作情況，幾何畫板呈現(xiàn)動(dòng)畫過(guò)程）。這時(shí)候誰(shuí)用一個(gè)算式來(lái)簡(jiǎn)便地表示出長(zhǎng)方形的面積？

生：每行有7個(gè)，這樣的有5排，5×7=35（平方厘米）。

師：你還有其他的想法嗎？

生3：我也是像陳科航（生2）一樣的方法，只是我不是一格一格補(bǔ)的，我是一大塊移的（上臺(tái)移動(dòng)，見(jiàn)右圖）。

師：孫婷婷（生3）的想法你看得懂嗎？她這一剪拼，把平行四邊形變成了什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

師：轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)什么變了，什么沒(méi)變。

生：面積沒(méi)變，高也沒(méi)變；形狀變了，那一塊平移過(guò)來(lái)了。

師：現(xiàn)在你能知道原來(lái)平行四邊形的面積嗎？

生：35平方厘米，也就是算長(zhǎng)方形的面積。

師：還有其他不一樣的想法嗎？

生4：我還可以對(duì)半剪開(kāi)，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積也能算出來(lái)。

生操作：

師：這一個(gè)方法和剛才的方法有什么相同的地方，有什么不同的地方？

生：都是轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形。

生：面積都一樣。

生：也可以用算式7×5來(lái)快速算出面積。

生：不一樣，剪的大小不一樣。

師：剪的大小不一樣，怎么剪的？

生：都是豎著剪的，但剪的地方不一樣，所以比剛才的三角形大了很多。

師：豎著剪，那是沿著什么剪的？

生：哦，都是沿著高剪的。

師：我們剛才在格子圖的幫助下成功地計(jì)算出了平行四邊形的面積。這一學(xué)習(xí)過(guò)程，你有什么心得想和大家分享嗎？

生：我們可以沿著高，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積。

【設(shè)計(jì)意圖】圖形的運(yùn)動(dòng)想象是比較復(fù)雜的，特別是二維圖形的組合。而格子圖其實(shí)就是單位面積，借助格子圖進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，是一把很好的輔助梯。學(xué)生可以借助格子圖產(chǎn)生多種剪拼方法，例如生2的想法，就是單位面積的累加，是一種回歸面積本質(zhì)的想法；例如生4的想法，是大板塊的拼組，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生必須分離出更抽象的格子結(jié)構(gòu)進(jìn)行拼組，說(shuō)明學(xué)生的思維經(jīng)過(guò)前面的輔助已經(jīng)開(kāi)始慢慢脫離了背景的限制。這一環(huán)節(jié)的調(diào)正過(guò)程，學(xué)生已經(jīng)明白了平行四邊形的面積與斜邊無(wú)關(guān)。

調(diào)正進(jìn)階：從特殊到一般，發(fā)展幾何推理能力

操作探究1：剛才，我們借助格子圖來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積?，F(xiàn)在老師給每個(gè)小組一些平行四邊形，你們?nèi)ハ朕k法求出它們的面積。（學(xué)具：底邊7cm，高3cm，斜邊5cm；底邊10cm，高3cm，斜邊5cm）

生小組合作探究，教師巡視。

匯報(bào)：（通過(guò)剪拼成長(zhǎng)方形）第一個(gè)面積是21平方厘米，第二個(gè)面積是30平方厘米。

師：計(jì)算了三個(gè)平行四邊形的面積，你覺(jué)得平行四邊形的面積和什么有關(guān)？

生：與高有關(guān)，與底有關(guān)，與長(zhǎng)方形有關(guān)。

師：與長(zhǎng)方形有什么關(guān)系？

生：求平行四邊形的面積，其實(shí)是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底。

師：與斜邊無(wú)關(guān)。

操作探究2：提供一個(gè)標(biāo)有字母的平行四邊形，利用字母進(jìn)行面積公式推導(dǎo)。

師： 如果用 S 表示平行四邊形的面積， 用 a表示平行四邊形的底， 用 h表示平行四邊形的高， 平行四邊形面積的計(jì)算公式你會(huì)表示嗎？

生： S等于a乘 h。根據(jù)學(xué)生回答板書：

長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng) × 寬

平行四邊形面積 = 底 × 高

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的幾何推理能力發(fā)展需要經(jīng)歷想象、思考、操作、計(jì)算等過(guò)程。這一調(diào)正過(guò)程中學(xué)材的選擇從具象到抽象，從特殊到一般，最后到用字母進(jìn)行公式推理。在對(duì)比中強(qiáng)化辯證，理清平行四邊形的面積=底×高，與斜邊無(wú)關(guān)。這一過(guò)程不僅是學(xué)生相異構(gòu)想的調(diào)正過(guò)程，更是幾何推理能力鍛煉與發(fā)展的過(guò)程。

調(diào)正反饋：尋找反例，從變化的角度看問(wèn)題

練習(xí)活動(dòng)1：下面的平行四邊形面積相等嗎？

練習(xí)活動(dòng)2：活動(dòng)平行四邊形的拉升過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

反饋：什么沒(méi)變？平行四邊形的面積怎么變化？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生相異構(gòu)想調(diào)正后，設(shè)計(jì)反饋的練習(xí)，可以是正強(qiáng)化，也可以是反例強(qiáng)化。練習(xí)活動(dòng)1是再次在變與不變中感受等底等高的平行四邊形的面積相等，平行四邊形的面積與斜邊無(wú)關(guān)，同時(shí)面積相等的平行四邊形的形狀可能不同。練習(xí)活動(dòng)2的設(shè)計(jì)目的是為了讓學(xué)生在反例中明白，底邊和斜邊相等的平行四邊形的面積不一定相等，原因是高不相等；同時(shí)滲透極限思想——隨著高的變小，面積越來(lái)越小，最終趨向于0。

學(xué)生相異構(gòu)想的形成是基于其知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維能力和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的。通過(guò)分析其相異構(gòu)想形成的原因，針對(duì)形成原因進(jìn)行調(diào)正路徑的學(xué)習(xí)和分析，借鑒前人的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的引入環(huán)節(jié)，可操作性的調(diào)正活動(dòng)，有探究性的調(diào)正過(guò)程，有正反兩方強(qiáng)化的反饋練習(xí)，能幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤的想法，提高學(xué)生的推理能力，豐富數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

參考資料：

[1]楊靈君、陳慶憲.回歸認(rèn)知本真 關(guān)注自主經(jīng)歷——“平行四邊形的面積”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（12）：22-24.

[2]李幫魁.簡(jiǎn)單之中見(jiàn)豐厚——特級(jí)教師姜錫春執(zhí)教“平行四邊形的面積”教學(xué)賞析[J].教育科學(xué)論壇，2013（10）：46-47.

[3]沈燕.基于學(xué)生，為了學(xué)生———賁友林老師“平行四邊形的面積計(jì)算”教學(xué)賞析[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（6）：70-73.

[4]潘小明.數(shù)學(xué)思維的發(fā)展不是空洞的——“平行四邊形的面積”教學(xué)實(shí)踐及思考[J].人民教育（教學(xué)），2012（12）：34-37.

[注：本文為浙江省教育規(guī)劃課題2018SC086“小學(xué)數(shù)學(xué)相異構(gòu)想調(diào)正策略的研究——以圖形與幾何（測(cè)量）為例”的階段性成果之一。]

（浙江省余姚市梨洲小學(xué) 315400）