崔立功

摘 要：在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用APOS理論有助于數(shù)學(xué)概念的自我建構(gòu)，教師在這個(gè)過(guò)程中通過(guò)設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的一個(gè)能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：APOS理論 高職數(shù)學(xué) 概念學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G718 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）12（c）-0200-02

1 APOS理論涵義

杜賓斯基認(rèn)為，任何一個(gè)人是不可能輕易學(xué)到數(shù)學(xué)的概念的，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是個(gè)體通過(guò)生活中一些具體的實(shí)例，在教師的引導(dǎo)下層層遞進(jìn)不斷建立起來(lái)的，要透過(guò)心智結(jié)構(gòu)使所學(xué)到的數(shù)學(xué)概念有意義，而不是簡(jiǎn)單地教師將概念給出，然后再通過(guò)練習(xí)對(duì)概念強(qiáng)化達(dá)到認(rèn)識(shí)的目的，而這樣的學(xué)習(xí)只是一個(gè)表面的膚淺的認(rèn)識(shí)，當(dāng)堂課上或者很短的時(shí)間內(nèi)可能會(huì)記住，但是沒(méi)有做到真正地理解其實(shí)質(zhì)，一段時(shí)間之后幾乎忘光。APOS理論應(yīng)該以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，要充分考慮學(xué)生是如何能夠?qū)W會(huì)，能夠掌握，教師所有的教學(xué)理念、所有的一切準(zhǔn)備都應(yīng)該以從學(xué)生出發(fā)，以讓學(xué)生自己完全理解，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)為原則，設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)劃。

APOS分別是由英文Action（操作）、Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象）和Schema（圖式）的第一個(gè)字母所組合而成。下面筆者將介紹在運(yùn)用APOS理論在高職課堂的概念教學(xué)實(shí)踐。

2 基于APOS理論談概念教學(xué)的實(shí)際意義

高職提前單招的學(xué)生，普遍對(duì)自己的學(xué)習(xí)沒(méi)有信心，他們中很多人都有學(xué)習(xí)習(xí)慣不好和學(xué)習(xí)動(dòng)力不足的毛病。對(duì)于這樣的試教對(duì)象來(lái)說(shuō)過(guò)分地強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)本來(lái)就是較難的，但是有部分概念在高職數(shù)學(xué)中也是尤為重要的，比如說(shuō)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念問(wèn)題必須要讓學(xué)生理解和領(lǐng)會(huì)，為此在具體的授課過(guò)程中我們采用了APOS理論，來(lái)確保學(xué)生能夠領(lǐng)會(huì)和理解這些概念，讓他們領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。

3 基于APOS理論談概念教學(xué)的具體實(shí)施

筆者結(jié)合APOS理論的四步驟設(shè)計(jì)了微分概念的教學(xué)進(jìn)程。

3.1 第一：操作階段

問(wèn)題一：質(zhì)地均勻的正方形金屬薄片由于受熱脹冷縮的影響，邊長(zhǎng)由原來(lái)的X0增加了VX，請(qǐng)問(wèn)該薄片面積變化了多少？

給班級(jí)學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行思考，不久全部同學(xué)都能寫出薄片面積增加的量為：

VS=2X0VX+（VX）2

問(wèn)題二：質(zhì)地均勻的正方形金屬薄片由于受熱脹冷縮的影響，邊長(zhǎng)由原來(lái)的X0增加了，請(qǐng)問(wèn)該薄片面積變化了多少？

題目和第一題是一樣的不過(guò)是數(shù)據(jù)換一下而已，很快學(xué)生就能寫出答案：

3.2 第二：過(guò)程階段

問(wèn)題四：請(qǐng)同學(xué)們尋找一下上面幾題的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，透過(guò)這個(gè)你能發(fā)現(xiàn)什么呢？

這個(gè)題目下去以后全班討論氣氛很熱烈，不停地有人在發(fā)表自己的見(jiàn)解。最后我請(qǐng)了一位同學(xué)做了總結(jié)發(fā)言，共同點(diǎn)是自變量都是在定點(diǎn)X0處開(kāi)始變化的，不同點(diǎn)是不同的增量最后得到的結(jié)果卻是不一樣的，而且可以發(fā)現(xiàn)隨著增量的變小，這個(gè)增加值也隨之變小，并且還可以發(fā)現(xiàn)VS-2X0VX=（VX）2該等式隨著增量的減小左邊兩個(gè)式子的差值會(huì)愈來(lái)愈小。

在此基礎(chǔ)上，我趁熱打鐵進(jìn)一步抽象，擺出如果函數(shù)不是僅在一點(diǎn)X0而是在某個(gè)區(qū)間上任意點(diǎn)處，也做同樣的變化，那么函數(shù)的增量是多少呢？

這次我給了很短的思考時(shí)間，學(xué)生們都能報(bào)出：VS=2XVX+（VX）2進(jìn)而得到VS-2XVX=（VX）2。隨著VX的變小，VS與2XVX的差會(huì)越來(lái)越小。

3.3 第三：對(duì)象階段

問(wèn)題5：請(qǐng)問(wèn)2X與X2是什么關(guān)系呢？

同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了：2X是X2的導(dǎo)函數(shù)，則VS-s'VX=（VX）2隨著VX變小，VS與s'VX的差會(huì)愈來(lái)愈小。因此可以得出一個(gè)函數(shù)的增量與函數(shù)導(dǎo)數(shù)和自變量乘積的差隨著自變量的增量的逐漸變小而變小。

3.4 第四階段：圖式階段

隨著自變量增量的逐漸變小，函數(shù)的增量與函數(shù)導(dǎo)數(shù)和自變量乘積的差距會(huì)越來(lái)越小，因此這兩個(gè)量會(huì)逐漸靠近，在自變量的增量逐漸趨近于零時(shí)，函數(shù)增量和函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積將近似相等。函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積我們用一個(gè)新的名詞來(lái)刻畫(huà)，這就是我們今天要講的微分。所以請(qǐng)同學(xué)們給微分下個(gè)定義，只要大家的意思對(duì)就可以了。

全班同學(xué)在這樣的引導(dǎo)下，很自然就能夠給出函數(shù)的微分的定義，在此基礎(chǔ)上老師再進(jìn)行個(gè)別地方的修正和說(shuō)明。最后達(dá)到了給出微積分中非常重要的微分的定義。

4 課堂小結(jié)

再次強(qiáng)調(diào)微分的定義，明確微分和函數(shù)增量的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)微分的深刻內(nèi)涵，為進(jìn)一步微分在近似計(jì)算方面的計(jì)算做好鋪墊。

5 對(duì)APOS理論指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐的反思

APOS理論揭示了學(xué)生學(xué)習(xí)微分概念的整個(gè)過(guò)程，經(jīng)過(guò)“操作”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段，生動(dòng)地反映了學(xué)生在學(xué)習(xí)微分概念過(guò)程中的思考活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)這個(gè)案例我發(fā)現(xiàn)只要我們教師肯下力氣苦鉆研，確實(shí)可以帶領(lǐng)我們的學(xué)生掌握好這些較為苦澀難懂的概念。

具體在每個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)于問(wèn)題的設(shè)計(jì)還是較為麻煩的，既要考慮問(wèn)題的可操作性還要考慮和我們概念的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題。情景創(chuàng)設(shè)是為了更好的教學(xué)服務(wù)的，也需要學(xué)生們積極地去思考，從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美。概念教學(xué)從過(guò)程到對(duì)象的過(guò)程是最困難也是最漫長(zhǎng)的，需要多次講解和引導(dǎo)，讓學(xué)生真正掌握概念的本質(zhì)。圖式階段是實(shí)際教學(xué)中容易忽視的環(huán)節(jié)也是體現(xiàn)教師能力的重要方面。圖式階段是最難的方面，需要學(xué)生從舊知識(shí)過(guò)渡到新知識(shí)，把握新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到它們的微小差距，這個(gè)過(guò)程對(duì)老師的要求更加的高，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要有不錯(cuò)的數(shù)學(xué)功底還要有較好的教育學(xué)和心理學(xué)方面的知識(shí)儲(chǔ)備，這樣才可以設(shè)計(jì)出符合我們學(xué)生水平的教學(xué)設(shè)計(jì)。

APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，我個(gè)人也是在校級(jí)課題的申請(qǐng)時(shí)候才開(kāi)始接觸，本人也有很多地方需要學(xué)習(xí)和提高，爭(zhēng)取在未來(lái)的教學(xué)工作過(guò)程中，力爭(zhēng)把這個(gè)理論和分層教學(xué)糅合到一起，爭(zhēng)取讓我們的學(xué)生有更大的受益。

參考文獻(xiàn)

[1] 王彩芬.基于APOS理論的無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念認(rèn)知分析[J].高等理科教育，2016（4）：86-90.

[2] 曾玉祥.APOS視野下的分層合作學(xué)習(xí)應(yīng)用研究[J].黑龍江高教研究，2013（4）：171-173.

[3] 曹榮榮.APOS理論視角下無(wú)窮概念認(rèn)知分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（1）：17-19.

[4] 曾玉祥.APOS理論在高等數(shù)學(xué)概念探究式教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育探索，2013（5）：42-43.