曹家慶, 吳觀茂

(安徽理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引言

期望最大化算法(Expectation Maximization Algorithm，EM算法)是一種在概率模型中尋找參數(shù)最大似然估計(jì)或者最大后驗(yàn)估計(jì)的迭代算法，可以極大地降低求解最大似然估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜度。然而傳統(tǒng)EM算法作為數(shù)據(jù)挖掘中非常重要的聚類算法，在面對(duì)TB級(jí)別、PB級(jí)別等大規(guī)模數(shù)據(jù)集和高維數(shù)據(jù)集時(shí)，其缺陷顯得越來(lái)越突出。因此如何對(duì)傳統(tǒng)EM算法進(jìn)行優(yōu)化是機(jī)器學(xué)習(xí)算法的研究熱點(diǎn)之一?，F(xiàn)階段對(duì)于EM算法優(yōu)化的具體方向便是如何有效地處理如下兩個(gè)問(wèn)題：(1)初始模型成分?jǐn)?shù)目需要人為設(shè)定；(2)收斂速度隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大而急劇減慢。

針對(duì)上述第一個(gè)問(wèn)題，在傳統(tǒng)EM算法的基礎(chǔ)上使用貪心策略(貪心EM算法)，通過(guò)對(duì)僅含一個(gè)模型成分的高斯混合模型迭代增加新模型分量，直到滿足某種終止條件為止。雖然該算法有效地提高了算法的準(zhǔn)確度，但是上述第二個(gè)問(wèn)題仍未得到有效解決。

為了解決上述問(wèn)題，本文提出了一種分布式貪心EM算法。

1 相關(guān)工作

在EM算法和MapReduce的領(lǐng)域內(nèi),國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有很多學(xué)者進(jìn)行過(guò)深入的研究，因此本文基于EM算法和MapReduce的相關(guān)工作做進(jìn)一步研究。

1.1 EM算法的相關(guān)工作

文獻(xiàn)[1]中提出了一種基于MapReduce的EM算法，通過(guò)MapReduce的并行化處理解決了傳統(tǒng)EM算法收斂速度隨著數(shù)據(jù)規(guī)模變大而減慢的問(wèn)題，但存在初始模型數(shù)需要預(yù)先設(shè)定的問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]中通過(guò)使用牛頓法求解beta分布參數(shù)的算法，并提出一個(gè)合適的初值選擇算法，使得EM算法能夠有效地求解隱回歸模型的參數(shù)，但是對(duì)所有的分布都采用beta分布作為自變量的假設(shè)會(huì)帶來(lái)一定的偏差。文獻(xiàn)[3]中提出了一種基于密度檢測(cè)的EM算法，通過(guò)基于密度和距離的方法對(duì)初始值進(jìn)行選擇，降低傳統(tǒng)EM算法的初始值選擇對(duì)收斂效果的影響，但算法性能仍需提高。文獻(xiàn)[4]中提出了一種快速、魯棒的有限高斯混合模型聚類算法，通過(guò)對(duì)模型成分混合系數(shù)及樣本所屬成分的概率系數(shù)施加熵懲罰算子的方法，使算法在很少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂到確定值，但算法運(yùn)行效率還需進(jìn)一步提高。文獻(xiàn)[5]中提出了一種快速、貪心的高斯混合模型EM算法，通過(guò)采用貪心的策略以及對(duì)隱含參數(shù)設(shè)置適當(dāng)閾值的方法，使算法能快速收斂，并在很少的迭代次數(shù)內(nèi)獲取高斯混合模型的模型成分?jǐn)?shù)，但是不能保證有噪聲數(shù)據(jù)集的聚類效果。

1.2 MapReduce的相關(guān)工作

文獻(xiàn)[6]中對(duì)Hadoop云平臺(tái)下的聚類算法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]中采用MapReduce編程模型，對(duì)特征選擇算法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]中提出了基于MapReduce模型的高效頻繁項(xiàng)集挖掘算法，利用MapReduce框架對(duì)Apriori算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了Apriori算法運(yùn)行速度。文獻(xiàn)[9]中提出了一種基于MapReduce的Bagging決策樹(shù)算法，運(yùn)用MapReduce框架對(duì)決策樹(shù)算法進(jìn)行了并行化處理，提高了決策樹(shù)算法對(duì)大數(shù)據(jù)集的分析能力。文獻(xiàn)[10]中提出了一種基于MapReduce的文本聚類算法，運(yùn)用MapReduce分布式框架對(duì)K-means算法進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[11]中對(duì)MapReduce近年來(lái)在文本處理各個(gè)方面的應(yīng)用進(jìn)行分類總結(jié)和處理，并對(duì)MapRedcue的系統(tǒng)和性能方面的研究做了一些介紹。文獻(xiàn)[12]中總結(jié)了近年來(lái)基于MapReduce編程模型的大數(shù)據(jù)處理平臺(tái)與算法的研究進(jìn)展。文獻(xiàn)[13]中基于MapReduce計(jì)算框架，對(duì)傳統(tǒng)蟻群算法進(jìn)行了改進(jìn)，使得算法能夠快速有效地處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集。

2 分布式貪心EM算法

2.1 貪心EM算法

貪心EM算法的關(guān)鍵是通過(guò)全局搜索將原始數(shù)據(jù)集初始化為一個(gè)僅含有一個(gè)模型分量的高斯混合模型，然后通過(guò)局部搜索逐漸增加新的模型分量到原有的高斯混合模型中，不斷更新混合模型分量的參數(shù)使得似然度最大。算法過(guò)程如下：

假設(shè)樣本集X={x1,x2,x3,…,xm}，并服從高斯混合分布，則高斯混合分布的概率密度函數(shù)fk(x)[14]為：

(1)

其中，xi是p維向量，Φj(xi;θj)是第j個(gè)高斯模型分量的概率密度，θj是它的參數(shù)，wj是第j個(gè)分量的混合系數(shù)，表示第j個(gè)高斯模型分量包含的樣本所占樣本總數(shù)的比例,k是高斯混合模型的模型成分?jǐn)?shù)[15]。θj=(μj,Σj)，μj為高斯模型分量均值，Σj為高斯模型分量協(xié)方差矩陣。其中高斯分量概率密度Φj(xi;θj)表達(dá)式為：

(2)

此時(shí)將某一新分量δ(x;θ)加入一個(gè)已有k個(gè)分量的混合密度函數(shù)fk(x)，則生成的新的高斯混合模型密度函數(shù)如下式所示:

fk+1(x)=(1-α)fk(x)+αδ(x;θ)

(3)

其中，α是新增模型分量的混合系數(shù)，0<α<1。則新生成的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(4)

已知新的高斯混合模型包括混合模型分量和新增分量，而混合模型fk(x)已被設(shè)置為不變，所以貪心EM算法的核心就是優(yōu)化新增模型分量的混合系數(shù)α以及新增分量的參數(shù)，使新生成對(duì)數(shù)似然函數(shù)Lk+1最大化。所以，首先通過(guò)全局搜索找到一組新增分量的初始參數(shù)μ0、Σ0和α0。在α0處展開(kāi)Lk+1的二階泰勒公式并且最大化關(guān)于α的二次函數(shù)得到似然函數(shù)的一個(gè)近似:

(5)

(6)

則Lk+1在α0=0.5附近的對(duì)數(shù)似然局部最優(yōu)可以寫(xiě)成：

(7)

(8)

在求出新增模型分量估計(jì)值之后，通過(guò)傳統(tǒng)EM算法可得:

(9)

(10)

通過(guò)公式迭代獲取新增模型參數(shù)最優(yōu)解{αk+1,μk+1,Σk+1}，從而獲取新的高斯混合模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值Lk+1。

2.2 分布式貪心EM算法

依據(jù)MapReduce的框架結(jié)構(gòu)，在設(shè)計(jì)分布式貪心EM算法時(shí)，首要的考慮便是定義Map函數(shù)和Reduce函數(shù)。算法過(guò)程如下：

(1)Mapper階段

(2)Reducer階段

步驟三：將所有節(jié)點(diǎn)得到的鍵值對(duì)進(jìn)行整合，將高斯混合模型密度函數(shù)進(jìn)行求和，然后再取對(duì)數(shù)，得到整合后的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

(11)

步驟五:判斷滿足收斂條件的Fk是否滿足Fk+1≤Fk，如不滿足則重新進(jìn)行步驟一，如果滿足則結(jié)束算法，輸出理想模型成分?jǐn)?shù)k。

具體算法流程如下所示：

算法：分布式貪心EM算法

輸入：樣本集X={x1,x2,x3,…,xm}

輸出：高斯混合模型理想模型成分?jǐn)?shù)k

1 將數(shù)據(jù)集平均分配到h個(gè)節(jié)點(diǎn)中

2 While(true)

3 對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)：

4 初始化節(jié)點(diǎn)，設(shè)置迭代次數(shù)ε=1

9 ifλ<10-6，則收斂結(jié)束

10 else跳轉(zhuǎn)到步驟4，ε+1

11 end if

12 ifFk+1≤Fk，輸出理想模型成分?jǐn)?shù)為k，break

13 else跳轉(zhuǎn)到步驟2。

14 end if

15 end while

本算法主要是在Map(映射)、Reduce(歸化)、判斷的過(guò)程中得到最優(yōu)的最大似然Fk，從而得到理想模型成分值k。

上述算法中，步驟1～7為Mapper階段，首先對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)初始化高斯混合模型參數(shù)，然后通過(guò)更新參數(shù)得到最新的高斯混合模型密度函數(shù)，最后將數(shù)據(jù)映射處理并生成相應(yīng)的鍵值對(duì)，并作為Reducer階段的輸入。步驟8～11為Reducer階段，此階段是將Mapper階段傳遞過(guò)來(lái)的鍵值對(duì)進(jìn)行整合得到Fk，再利用判斷因子λ判斷是否滿足收斂條件，當(dāng)λ<10-6時(shí)，F(xiàn)k達(dá)到收斂值，迭代結(jié)束。步驟12～15，因?yàn)樵趯?duì)原高斯混合模型添加新模型分量的過(guò)程中，數(shù)據(jù)集的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值呈逐漸增長(zhǎng)的趨勢(shì)，所以當(dāng)高斯混合模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)取得最大值，即當(dāng)Fk+1≤Fk時(shí)，F(xiàn)k為收斂值，即為最優(yōu)解，則算法循環(huán)結(jié)束，k即為理想模型成分?jǐn)?shù)。

算法復(fù)雜度分析如下：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

整個(gè)實(shí)驗(yàn)是在Hadoop平臺(tái)下進(jìn)行的，所用的版本為Hadoop2.6.5。每臺(tái)主機(jī)系統(tǒng)使用的是Unbuntu14.04版本。建立的集群由1個(gè)主節(jié)點(diǎn)、4個(gè)從節(jié)點(diǎn)組成。所有節(jié)點(diǎn)的硬件設(shè)備為聯(lián)想主機(jī)，其中使用了主頻為3.3 GHz的Intel四核處理器，內(nèi)存為2 GB。

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自UCI機(jī)器學(xué)習(xí)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)研究中使用的大型數(shù)據(jù)集KDD數(shù)據(jù)庫(kù)存儲(chǔ)庫(kù)。其中第一組數(shù)據(jù)大小為0.6 GB，包含200個(gè)數(shù)據(jù)，模型成分?jǐn)?shù)為9；第二組數(shù)據(jù)大小為1.4 GB，包含500個(gè)數(shù)據(jù)，模型成分?jǐn)?shù)為9；第三組數(shù)據(jù)大小為2.0 GB，包含1 000個(gè)數(shù)據(jù)，模型成分?jǐn)?shù)為15；第四組數(shù)據(jù)大小為3.2 GB，包含1 500個(gè)數(shù)據(jù)，模型成分?jǐn)?shù)為15。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.3.1運(yùn)行時(shí)間

將本文算法與傳統(tǒng)EM算法、貪心EM算法在求解高斯混合模型理想成分?jǐn)?shù)的時(shí)間上作比較。固定節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，分別使用本文算法、傳統(tǒng)EM算法、貪心算法對(duì)4組實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)求解高斯混合模型的成分?jǐn)?shù)，并進(jìn)行時(shí)間對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1 算法運(yùn)行時(shí)間比較圖

三種算法下對(duì)于第一組和第二組實(shí)驗(yàn)輸出模型成分?jǐn)?shù)都為9，第三組和第四組實(shí)驗(yàn)輸出模型成分?jǐn)?shù)都為15，輸出結(jié)果正確。由圖1可以看出，對(duì)于這4組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文算法相對(duì)于傳統(tǒng)EM算法以及貪心EM算法在處理數(shù)據(jù)集時(shí)運(yùn)行時(shí)間大幅減少，當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模更大時(shí)，速度優(yōu)勢(shì)更為明顯，同時(shí)可以看出，隨著數(shù)據(jù)集的變大，本文算法的運(yùn)行時(shí)間基本呈線性增長(zhǎng)，具有較好的數(shù)據(jù)可擴(kuò)展性。

3.3.2系統(tǒng)的可擴(kuò)展性

實(shí)驗(yàn)二通過(guò)改變節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)置節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為2，4，6，8，觀察本文算法下求解4組數(shù)據(jù)的模型成分?jǐn)?shù)的時(shí)間變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同節(jié)點(diǎn)下算法運(yùn)行時(shí)間

由圖2可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，本文算法運(yùn)行時(shí)間逐漸減少，因此可以通過(guò)增加計(jì)算節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)增加本算法運(yùn)行速度。同時(shí)在數(shù)據(jù)集較小的時(shí)候，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，算法運(yùn)行時(shí)間減少的幅度非常小，這是由于在小規(guī)模數(shù)據(jù)集下算法迭代計(jì)算的時(shí)間很小，時(shí)間大部分都花費(fèi)在節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的通信上。

4 結(jié)論

本文在貪心EM算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于MapReduce分布式框架的貪心EM算法，該算法在保證了無(wú)需預(yù)先指定初始模型成分?jǐn)?shù)目并能準(zhǔn)確得到模型成分?jǐn)?shù)的前提下，極大地提高了處理大數(shù)據(jù)集時(shí)的收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析表明，本文算法較之傳統(tǒng)EM算法和貪心EM算法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)上有明顯的加速效果，并且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加可以進(jìn)一步提高收斂速度，并且具有很好的擴(kuò)展性。實(shí)驗(yàn)僅對(duì)求解高斯混合模型的模型成分?jǐn)?shù)的時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比，并未對(duì)聚類的準(zhǔn)確度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因此后續(xù)研究者可以就高斯混合模型聚類的準(zhǔn)確度作進(jìn)一步研究。

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