李 默，劉永葆，劉李歡，王 強(qiáng)，c

(海軍工程大學(xué) a.動(dòng)力工程學(xué)院; b.電氣工程學(xué)院; c.兵器工程學(xué)院， 武漢 430033)

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一種典型的機(jī)械結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用在艦艇、飛機(jī)、車(chē)輛等設(shè)備中，其支撐方式以滾動(dòng)軸承為支撐，滾動(dòng)軸承具有復(fù)雜的非線性行為。目前，對(duì)以滾動(dòng)軸承為支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究還不夠完善，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者應(yīng)用非線性理論對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究，陳果、張利芹、張耀強(qiáng)、Tiwari、S.H.UPANDHYAY[1-5]建立了兩端都是滾動(dòng)軸承為支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，利用軸承的Hertz接觸力，綜合考慮了軸承的變剛度頻率和轉(zhuǎn)子的不平衡量，研究了軸承的徑向游隙與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性行為的關(guān)系；陶海亮[6]利用有限元軟件，建立了滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，考慮了轉(zhuǎn)子不平衡量和碰摩故障的耦合作用，研究了軸承對(duì)故障耦合的影響；白長(zhǎng)青[7]根據(jù)Floquet理論研究了軸承的徑向游隙與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性的關(guān)系；魏彬[8]建立了滾球軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了軸承的預(yù)緊力、內(nèi)外滾道的曲率等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；Alireza Moazenahmadi[9]建立了有缺陷的故障滾球軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，研究了軸承的故障信號(hào)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；文獻(xiàn)[10]建立了滾柱軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析了軸承的缺陷故障對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響；黃亞明、葉鵬[11-12]在研究軸承缺陷故障對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響時(shí)，建立了考慮赫茲接觸和軸承變剛度頻率的軸承-轉(zhuǎn)子模型。

以上學(xué)者建立的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的支撐結(jié)構(gòu)都是對(duì)稱(chēng)的，而且支撐軸承都是滾球軸承。但是在實(shí)際旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，如某型艦用燃?xì)廨啓C(jī)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其支撐結(jié)構(gòu)一端為滾球軸承，同時(shí)受到軸向力和徑向力，另一端為滾柱軸承，主要承受徑向力，起到支撐作用，該支撐結(jié)構(gòu)方式的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)常發(fā)生故障。因此迫切需要開(kāi)展對(duì)非對(duì)稱(chēng)支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究，為此類(lèi)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的理論設(shè)計(jì)和故障診斷提供理論依據(jù)。

1 非對(duì)稱(chēng)支撐的軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

圖1中，OL、OR、OP1、OP2分別為滾球軸承的形心、滾柱軸承的形心、轉(zhuǎn)子形心和轉(zhuǎn)子質(zhì)心，圖2是滾動(dòng)軸承的支撐模型圖，Ri是軸承的內(nèi)徑，Ro是軸承的外徑。本文所構(gòu)建的非對(duì)稱(chēng)支撐的集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)子模型，考慮了兩類(lèi)滾動(dòng)軸承的非線性Hertz接觸力，并且綜合了轉(zhuǎn)盤(pán)的不平衡量，根據(jù) Lagrange方程原理，建立了非對(duì)稱(chēng)支撐的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組：

(1)

方程組(1)中符號(hào)的意義見(jiàn)表1。

根據(jù)實(shí)際軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各部分之間的連接情況，為了更好的分析軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，做出如下假設(shè)：軸承的內(nèi)滾道與轉(zhuǎn)子剛性連接；軸承的外滾道與基座剛性連接；滾動(dòng)體在內(nèi)、外滾道之間做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，不產(chǎn)生滑移?；谝陨霞僭O(shè)，軸承的支撐力為：

當(dāng)滾動(dòng)軸承為滾球軸承時(shí)，n=3/2，當(dāng)滾動(dòng)軸承為滾柱軸承時(shí)，n=10/9。

第j個(gè)滾動(dòng)單元的接觸變形量為χj=xcosθj+ysinθj-Gr。

圖1 非對(duì)稱(chēng)支撐的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型圖

圖2 滾動(dòng)軸承支撐模型圖

對(duì)方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，引入無(wú)量綱參數(shù)：

根據(jù)無(wú)量綱參數(shù)和方程(1)，得到如下的無(wú)量綱方程：

(2)

2 非對(duì)稱(chēng)支撐軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真分析

2.1 模型的參數(shù)設(shè)置

本文所建立的非對(duì)稱(chēng)支撐軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型中，轉(zhuǎn)盤(pán)的參數(shù)為mp=120 kg，kp=2.5×107N/m，cp=1 050 N ·s/m，e=10 μm，左端為滾珠軸承SKF 6204支撐，右端為滾柱軸承SKF NJ204ECP支撐，軸承的參數(shù)來(lái)自文獻(xiàn)[10]，詳細(xì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2。

表2 軸承參數(shù)

方程組(2)中的兩個(gè)軸承的支撐力是一個(gè)復(fù)雜的非線性形式的力，方程組(2)具有強(qiáng)烈的非線性，難以用的小參數(shù)法、平均法等近似分析方法求解析解。因此本文采用比較成熟的四階Runge-Kutta 法對(duì)非線性方程組進(jìn)行數(shù)值求解，利用系統(tǒng)相圖、Poincare圖、FFT圖對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行可視化處理并分析，F(xiàn)FT圖的橫坐標(biāo)為信號(hào)頻率與旋轉(zhuǎn)頻率的比值，定義為頻率比。

2.2 轉(zhuǎn)速對(duì)非對(duì)稱(chēng)支撐軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響

轉(zhuǎn)速是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)最基本的參數(shù)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在啟動(dòng)、正常工作和停止時(shí)，都要對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行監(jiān)測(cè)，所以必須研究轉(zhuǎn)速變化時(shí)，非對(duì)稱(chēng)支撐軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

圖3是轉(zhuǎn)盤(pán)位移xp隨轉(zhuǎn)速增加的分岔圖，從圖3可知非對(duì)稱(chēng)支撐軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性行為。隨著系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速增加，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)了擬周期、單周期、周期二、混沌、周期二、單周期的現(xiàn)象，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)通往混沌的倍周期分岔途徑和陣發(fā)性途徑。

圖3 轉(zhuǎn)盤(pán)位移xp隨轉(zhuǎn)速增加的分岔圖

轉(zhuǎn)速在100～453 rad/s時(shí)，由于系統(tǒng)存在滾球軸承和滾柱軸承兩個(gè)變剛度頻率以及不平衡量頻率，三個(gè)頻率互相影響，存在復(fù)雜的頻率組合情況，在此轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，出現(xiàn)擬周期環(huán)面破裂和重組的間隔運(yùn)動(dòng)。圖4(a)是轉(zhuǎn)速為100 rad/s時(shí)系統(tǒng)FFT圖，在頻率比為4.28處有個(gè)最大峰值，圖4(b)是轉(zhuǎn)速為150時(shí)，系統(tǒng)的FFT圖，在頻率比為3.05時(shí)，出現(xiàn)了一個(gè)最大波峰，在頻率比為4.28和1時(shí)，有兩個(gè)小的波峰，得知系統(tǒng)仍然為擬周期狀態(tài)，說(shuō)明此時(shí)滾球軸承的變剛度頻率影響大。通過(guò)分析轉(zhuǎn)速100 rad/s和150 rad/s時(shí)的FFT圖，得知低轉(zhuǎn)速時(shí)，不平衡量頻率對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響比較小，支撐軸承的變剛度頻率對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)影響比較大， Fukata[13]研究也表明，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，滾動(dòng)軸承的變剛度頻率起主導(dǎo)作用，本文的計(jì)算結(jié)果與Fukata的結(jié)論一致，說(shuō)明非對(duì)稱(chēng)支撐軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的正確性和求解結(jié)果的合理性。

轉(zhuǎn)速435～670 rad/s時(shí)，不平衡量的大小與轉(zhuǎn)速的平方成正比，隨著轉(zhuǎn)速的增加，不平衡量迅速增加，不平衡強(qiáng)迫振動(dòng)的影響越來(lái)越大，體現(xiàn)為系統(tǒng)逐漸做以不平衡頻率為主要頻率的運(yùn)動(dòng)。圖5是轉(zhuǎn)速為540 rad/s時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤(pán)出x方向的位移相圖、Poincare截面圖和FFT圖，相圖是一個(gè)封閉的圓環(huán)，Poincare截面圖集中于一點(diǎn)，F(xiàn)FT圖顯示只在不平衡量的頻率處出現(xiàn)峰值。

轉(zhuǎn)速在670～800 rad/s時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)出現(xiàn)不平衡量頻率的分頻和滾動(dòng)軸承兩種變剛度頻率互相影響的和或差的頻率，系統(tǒng)Poincare圖由不規(guī)則的封閉環(huán)形變成規(guī)則的環(huán)狀，擬周期運(yùn)動(dòng)逐漸穩(wěn)定。圖6是轉(zhuǎn)速為670 rad/s時(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤(pán)位移xp的相圖、Poincare截面圖和FFT圖，F(xiàn)FT圖上有三個(gè)頻率峰值，分別是不平衡量的1/3分頻諧波、不平衡量的2/3分頻諧波和不平衡量的頻率；圖7是轉(zhuǎn)速為720 rad/s時(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤(pán)位移xp的相圖、Poincare截面圖和FFT圖，F(xiàn)FT圖上有一個(gè)頻率峰值，由此可見(jiàn)隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)的分頻消失。

轉(zhuǎn)速在800～920 rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)速增加時(shí)，系統(tǒng)又出現(xiàn)不平衡量頻率的1/2分頻諧波，擬周期環(huán)面開(kāi)始破裂，出現(xiàn)兩個(gè)擬周期環(huán)；轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，1/2分頻的影響增強(qiáng)，兩個(gè)擬周期環(huán)越來(lái)越清晰，環(huán)面的范圍逐漸縮小，演變成周期二運(yùn)動(dòng)，并逐漸穩(wěn)定。圖8顯示了系統(tǒng)的Poincare圖的變化過(guò)程。

轉(zhuǎn)速在920～978 rad/s時(shí)，系統(tǒng)由周期二運(yùn)動(dòng)倒分岔進(jìn)去單周期運(yùn)動(dòng)，其相圖映射為一個(gè)圓環(huán)，Poincare映射圖集中于一點(diǎn)。圖9是轉(zhuǎn)速961 rad/s時(shí)系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖，F(xiàn)FT圖上只在不平衡量頻率處出現(xiàn)一個(gè)最高峰，隨著轉(zhuǎn)速增加，F(xiàn)FT圖上又出現(xiàn)不平衡量頻率的1/2分頻諧波，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由單周期倍周期分岔進(jìn)去周期二運(yùn)動(dòng)，這是典型的倍周期分岔行為。

轉(zhuǎn)速在978～1 139 rad/s時(shí)，如圖10和圖11，周期二變成混沌行為，F(xiàn)FT圖上在1/2倍分頻周?chē)霈F(xiàn)連續(xù)譜，表明系統(tǒng)存在混沌行為。轉(zhuǎn)速增加，系統(tǒng)又從混沌行為進(jìn)去單周期，只有不平衡量頻率，然后又進(jìn)去混沌行為，這是一種通往混沌行為的陣發(fā)性途徑。

轉(zhuǎn)速在1 139～1 200 rad/s時(shí)，混沌行為演變成周期二行為，并在轉(zhuǎn)速的增加時(shí)，1/2分頻諧波的影響變小，系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定在單周期運(yùn)動(dòng)，只有不平衡量頻率出現(xiàn)。圖12顯示了系統(tǒng)的周期二運(yùn)動(dòng)。

圖4 轉(zhuǎn)速為100 rad/s、150 rad/s系統(tǒng)的FFT圖

圖5 轉(zhuǎn)速為540 rad/s時(shí)系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖6 轉(zhuǎn)速為670 rad/s時(shí)系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖7 轉(zhuǎn)速為720 rad/s時(shí)系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖8 轉(zhuǎn)速為800 rad/s、890 rad/s、913 rad/s系統(tǒng)的Poincare圖

圖9 轉(zhuǎn)速為961rad/s系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖10 轉(zhuǎn)速為970rad/s系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖11 轉(zhuǎn)速為1090rad/s系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

圖12 轉(zhuǎn)速為1160rad/s系統(tǒng)的相圖、Poincare圖和FFT圖

3 結(jié)論

1) 非對(duì)稱(chēng)支撐的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在三個(gè)頻率，滾球軸承的變剛度頻率、滾柱軸承的變剛度頻率和系統(tǒng)的不平衡量頻率；軸承的支撐力主要與軸承質(zhì)心位移有關(guān)，不平衡量與系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的平方成正比。因此低轉(zhuǎn)速時(shí)，不平衡量對(duì)系統(tǒng)的影響較小，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為軸承的變剛度頻率振動(dòng)與Fukata的研究結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文建立的非對(duì)稱(chēng)支撐的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的正確性及變步長(zhǎng)四階RK 法數(shù)值求解此類(lèi)非線性方程組的合理性，并能夠滿(mǎn)足精度要求。

2) 在高轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)的不平衡量迅速增加，成為系統(tǒng)振動(dòng)的主要影響因素，非對(duì)稱(chēng)滾動(dòng)軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要出現(xiàn)不平衡量的1/2分頻和1倍頻。

3) 通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)處橫向位移隨轉(zhuǎn)速的分岔行為分析，發(fā)現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)滾動(dòng)軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通往混沌的兩種途徑：倍周期分岔和陣發(fā)性途徑。

[1] 陳果.滾動(dòng)軸承支撐下的不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)分析[J].中國(guó)機(jī)械工程,2007,18(23):2773-2778.

[2] 張利芹.滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)分析[J].重型機(jī)械科技,2007(1):20-26.

[3] 張耀強(qiáng).滾動(dòng)軸承-Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2008,27(5):56- 59.

[4] TIWARI M,GUPTA K．Effect of radial internal clearance of a ball bearing on the dynamics of a balanced horizontal rotor[J]．Journal of sound and Vibration,2000,238(5):723- 756．

[5] UPANDHYAY S H.Analysis of Nonlinear Phenomena in High Speed Ball Bearing due to Radial Clearance and Unbalanced Rotor Effects[J].Journal of Vibration and Control,2010,16(1):65-88.

[6] 陶海亮.滾動(dòng)軸承- 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)分析[J].燃?xì)廨啓C(jī)技術(shù),2013,26(1):15-20.

[7] 白長(zhǎng)青.考慮徑向內(nèi)間隙的滾動(dòng)軸承平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2006,27(2):159-169.

[8] 魏斌.滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析[J].軸承,2012(10):1-6.

[9] ALIREZA M.A nonlinear dynamic model of the vibration response of defective rolling element bearings[J].Australian Acoustical Society,2013,17:1-7.

[10] GHAFARI S H.GOLNARAGHI F，ISMAIL F.Effect of localized faults on chaotic vibration of rolling element beariongs[J].Nonlinear Dynamic,2008,53:287-301.

[11] 黃亞明.含典型軸承故障的雙盤(pán)轉(zhuǎn)子—滾動(dòng)軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[C]//第十六屆全國(guó)模態(tài)分析與試驗(yàn)學(xué)術(shù)會(huì)議.天津：2016.

[12] 葉鵬.滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)缺陷故障建模及動(dòng)力學(xué)行為分析[J],西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(7):607-612.

[13] FUKATA.On the Radial Vibration of Ball Bearings (Computer Simulation) [J].Bulletin of the JSME,1985,28:899- 904.

[14] 葉鵬,武澎,李振.含雙時(shí)滯紊流滑動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(8)：52-56.