趙建峰

摘要：計(jì)數(shù)總數(shù)或種類的趣題，有些因其數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，不容易計(jì)數(shù)。根據(jù)這類題的特點(diǎn)，可以分成五類。前三種法適合于數(shù)目、種類不很繁雜的題，后兩種比較適合可能情形及答案較多的題，需分類枚舉的，這是應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握的。分析時(shí)應(yīng)盡量做到分類全面、合理、正確，不重不漏，快速、簡(jiǎn)捷地思考解答。

關(guān)鍵詞：枚舉問(wèn)題；列舉枚舉；畫(huà)圖列舉；標(biāo)數(shù)枚舉；例推枚舉；公式枚舉

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）10-0179-02

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有許多需要計(jì)數(shù)其總數(shù)或種類的趣題，因其數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，很難找到“正統(tǒng)”的列式，讓人感到無(wú)從下手。我們可以先初步估計(jì)其數(shù)目的大小，若數(shù)目不是太大，就按照一定的順序，一一列舉問(wèn)題的可能情況及答案；若數(shù)目過(guò)大，且問(wèn)題繁雜，我們就抓住特征，選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限種情形，通過(guò)一一列舉或計(jì)數(shù)、計(jì)算，來(lái)解決問(wèn)題。這就是枚舉法，也叫做列舉法或窮舉法。為了便于掌握，根據(jù)這類題的特點(diǎn)，我們可以分類如下：

1.列舉枚舉

特點(diǎn)是有條理，不易重復(fù)或遺漏，使人一目了然，適用于要求的對(duì)象是有限個(gè)。

例1：有一張伍元幣，4張貳元幣，8張壹元幣。要取出8元，可以有多少種不同的取法？

分析與解答：如果隨便取出8元，那是比較容易做到的。但要把所有的情況都想到，并且做到不重復(fù)、不遺漏，可以按伍元、貳圓、壹元的順序來(lái)列表枚舉。

2.畫(huà)圖列舉

為了更清楚地表示出可能情形，用畫(huà)樹(shù)形圖枚舉法，能做到形象直觀，條分理明，簡(jiǎn)練易懂。特別適用于找所有的情形與答案。

例2：暑假里，一個(gè)學(xué)生在A、B、C、三個(gè)城市游覽。他今天在這個(gè)城市，明天就到另一個(gè)城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，問(wèn)他有幾種不同的游覽方案？

分析與解答：根據(jù)游覽要求，第二天可能是B市或C市；若為B市，第三天又可能是A市或C市；若為C市，第四天可能是A市或B市 。 如此考慮，極可能會(huì)把自己弄糊涂了。但畫(huà)一個(gè)樹(shù)形圖，則會(huì)清晰明了地顯示出所有的游覽方案：

從樹(shù)形圖上可以看出：在三個(gè)城市游覽，第五天回到A市，只有4種符合要求的答案。

3.標(biāo)數(shù)枚舉

例3：如圖，在中國(guó)象棋盤(pán)上，紅兵要走最短的距離到對(duì)方老將處，共有多少種不同的走法？

分析與解答：紅兵要走最短的距離到老將處，只能向下向右。因此原圖可化簡(jiǎn)為圖2，兵走過(guò)第一排各點(diǎn)、第一列各點(diǎn)處都是1種走法，在各點(diǎn)處分別標(biāo)上“1”；經(jīng)過(guò)第二排、第二列各點(diǎn)時(shí)，走法則是它前邊相鄰兩點(diǎn)走法的總和依次標(biāo)數(shù)如圖3共得到15種不同的走法。

運(yùn)用該方法的關(guān)鍵，是要找準(zhǔn)后面每一點(diǎn)的前面相鄰兩點(diǎn)的數(shù)目。

當(dāng)然，此題還可以這樣考慮：由題意可知，紅兵到對(duì)方將處的各條最短的路線中，都必須先后經(jīng)過(guò)兩小橫段與四小豎段。這實(shí)際上是他們之間相距最近的不同的組合問(wèn)題，可得解如下：

C24+2=6×52×1= 15（種）

4.例推枚舉

適用于規(guī)律性強(qiáng)，情形較多的題?？梢员苊庠S多相似的列舉，簡(jiǎn)化解答過(guò)程。

例4：從1到100的自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)數(shù)，使他們的和大于100，取法肯定繁多。但其中一定有一個(gè)較小的數(shù)，因此我們可以采用例舉類推法，通過(guò)枚舉較小的數(shù)的所有可能性來(lái)例舉分析，類推解答。

較小的數(shù)是1，只有一種取法，即【1，100】。

較小的數(shù)是2，只有兩種取法，即【2，99】、【2，100】。

較小的數(shù)是3，只有三種取法，即【3，98】、【3，99】、【3，100】……

較小的數(shù)是50，有50種取法，即【50，51】、【50，52】……【50，100】。

較小的數(shù)是51，有49種取法，即【51，52】、【51，53】……【51，100】。

較小的數(shù)是99的只有一種取法，即【99，100】。

因此一共有：1+2+3……+50+49+……+2+1=50^2=2500種。

5.公式枚舉

此法比較適合題目涉及的對(duì)象比較富有規(guī)律性，且情形繁多，數(shù)目很大，不宜用逐一列舉來(lái)解。但通過(guò)適當(dāng)?shù)姆诸?，逐一分析后，可利用公式解答?/p>

例5：用5種顏色染方格圖（2×2的），要求每個(gè)小格染同一種顏色，相鄰（即有公共邊的）方格要染不同的顏色。有幾種不同的染色方法？

分析與解答：此題可分四步染色：左上角先染色，有5種顏色可選，再染右上角，有4種顏色可選；接著染左下角，如果與右上角同色，則最后一格有4種顏色可選；如果與右上角不同色，則最后一格只剩3種顏色可選.此時(shí)不必逐一或分類列舉?？山栌贸朔?、加法原理得到：

5 × 4 × 4 + 5 × 4 × 3× 3 = 180 + 80 = 260 （種）

綜上所述可看出：前三種法適合于數(shù)目、種類不很繁雜的題，后兩種比較適合可能情形及答案較多的題，需分類枚舉的，這是應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握的。分析時(shí)應(yīng)盡量做到分類全面、合理、正確，不重不漏，以便于簡(jiǎn)捷地思考解答。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《華羅庚數(shù)學(xué)金杯賽試題》 單遵的《初中奧林匹克競(jìng)賽》.