林亞波

(浙江省寧波市第十五中學(xué) 315000)

一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數(shù)變化，如千紙鶴、飛機(jī)、青蛙等等，大部分學(xué)生只學(xué)會(huì)了一種折法，但不知道為什么這么折，也不會(huì)去創(chuàng)造新的折法.很多文章也介紹過如何折 角，如何折特殊正多邊形，但也都是先給出折法，再證明圖形，而對(duì)為什么這么折沒有進(jìn)行探究.本文筆者要尋找如何折紙的源頭，在草稿紙上先畫出要折的多邊形，再利用折疊的原理分析折痕的產(chǎn)生過程.先畫后折使折紙問題知其然并知其所以然.

一、折紙的基本原理

其實(shí)質(zhì)是：圖形作軸對(duì)稱變換(對(duì)稱軸：折痕所在的直線)，折疊產(chǎn)生折痕，這也就是尋找折紙方法的主要出發(fā)點(diǎn).

二、利用矩形折正方形

如圖1，假設(shè)已經(jīng)折出正方形，先在矩形上畫出正方形ABCD.怎么通過折疊得到AB=AD？過點(diǎn)A將AB與AD所在直線重合，對(duì)折得到折痕AC，再沿CD對(duì)折就能得到正方形ABCD.在分析圖形的過程中自然找出折痕，從而得到折法.

三、利用正方形折正三形

方法一：如圖2，假設(shè)已經(jīng)折出了正三角形，先在正方形紙片上畫出這個(gè)正三角形△BCE，再去尋找折痕.正三角形的頂點(diǎn)E肯定在BC中垂線上，所以AB和CD重合，對(duì)折得到折痕.中垂線上有許多點(diǎn)，怎么確定點(diǎn)E呢？正三角形的邊BE=BC，而AB=BC，所以BE=AB，只要把AB過點(diǎn)B對(duì)折過來，讓點(diǎn)A落在中垂線上，再沿BE折疊.另外一邊同樣折法.利用折疊的基本原理，通過幾何圖形的分析找到折痕，折法順利出現(xiàn).

方法二：如圖3，BE=BC還可以怎么實(shí)現(xiàn)？直接將BC過點(diǎn)B對(duì)折，使點(diǎn)C落在BC中垂線上，沿BE折疊，再沿CE折疊.

方法三：如圖4， 第一種折正三角形的方法中∠ABF等于15°，利用15°的折法得到∠FBC=75°，而75°-15°=60°，那么75°-15°怎么通過折疊實(shí)現(xiàn)呢？以BC為邊再折一個(gè)∠CBG=15°，再沿FG折疊.

四、利用正三角形折正六邊形

如圖5，假設(shè)已經(jīng)折出正六邊形，正三角形和正六邊形有公共的中心點(diǎn).那么中心點(diǎn)由已知的正三角形怎么折疊得到？將三角形沿兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)折兩次，這兩次折痕的交點(diǎn)就是中心點(diǎn)O.以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三個(gè)小三角形都全等，中心點(diǎn)O到正六邊形各頂點(diǎn)距離都相等，而將中心點(diǎn)和正六邊形的各頂點(diǎn)連起來以后所得到的所有正三角形也全等，那么怎么通過折疊得到全等三角形呢？只要將頂點(diǎn)A折疊下來和點(diǎn)O重合，點(diǎn)B和點(diǎn)C也同樣處理就可以得到正六邊形.通過圖形研究，找到折痕，也就決定了折疊方法.

五、利用正方形折正八邊形

方法二：如圖7，方法一是從正八邊形的邊長角度分析來找折痕，下面從角的角度分析來找折痕.把正八邊形的中心點(diǎn)和頂點(diǎn)連起來，發(fā)現(xiàn)對(duì)角線之間的夾角為45°.只要將正方形的四條對(duì)稱軸連起來，就能折出這樣的45°角.每條正八邊形的對(duì)角線和正方形的對(duì)稱軸之間的夾角為22.5°，可以通過將正方形紙片多次對(duì)折實(shí)現(xiàn).

以上幾種對(duì)正多邊形折法的尋找可以發(fā)現(xiàn)，折紙不再是別人告訴你怎么折，而是自己去探究.例如以前要折一個(gè)正八邊形，沒有人教你怎么折的情況下無從下手，而先畫出要折疊的圖形，紙上談兵，通過數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合圖形分析可以尋找折痕的蛛絲馬跡，折法自然就出現(xiàn)了.解決折紙問題要溯其根源，在折紙中折出數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)略折紙背后的數(shù)學(xué)之美.

參考文獻(xiàn)：

[1]萬濤.有關(guān)初中數(shù)學(xué)折紙問題的分析[J].數(shù)學(xué)之友,2012(24).

[2]陸劍鳴.用長方形紙折出多種圖形[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2015(1).